232 Ähnlichkeit J 1 1.2 Eigenschaften einer zentrischen Streckung Johannes findet bei seinen Großeltern im Keller Dias aus der Kindheit seiner Eltern. Er schaut sich die kleinen Bildchen an und kann wenig erkennen. Seine Oma holt den Diaprojektor. Mit diesem werden die Bilder groß an die Wand projiziert. Bei einer zentrischen Streckung bleibt die Form der Objekte gleich, sie sind aber im Allgemeinen verschieden groß. Die Projektion eines Dias (Urbild) auf eine Leinwand (Bild) ist eine räumliche zentrische Streckung. Im linken Bild sind die Punkte auf der Leinwand jeweils doppelt so weit vom Licht entfernt wie die Punkte des Urbildes (bei einem wirklichen Diaprojektor ist dies anders). Und noch etwas kann man an obigem Beispiel beobachten: Nicht nur die Abstände von Z haben sich verdoppelt, sondern auch die Abstände der Punkte zueinander. ___ AqBq = 2· ___ AB , ____ B qCq = 2· , ____ C qDq = , = Außerdem ist jede Bildstrecke offenbar immer parallel zur Urbildstrecke: AqBq u AB usw. Zusammengefasst haben Urbild und Bild einer zentrischen Streckung mit Zentrum Z und Streckfaktor k folgende Eigenschaften: • Bildstrecken sind immer parallel zu ihren Urbildstrecken. AqBq u AB Daraus ergibt sich, dass alle Winkel unverändert bleiben. • Bildstrecken sind immer k-mal so lang wie ihre Urbildstrecken. αq = α Diese Zusammenhänge werden in der Aufgabe 946 begründet! 1) Konstruiere eine zentrische Streckung des Vierecks ABCD mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k = 4 und gib die Koordinaten der Bildpunkte an! 2) Überprüfe durch Messen, ob alle Seiten des großen Vierecks die vierfache Länge des kleinen haben! a) A = (3 1 2), B = (6 1 2), C = (6 1 5), D = (4 1 5), Z = (2 1 2) c) A = (1 1 1), B = (5 1 1), C = (5 1 5), D = (1 1 4), Z = (3 1 3) b) A = (0 1 4), B = (1 1 1), C = (3 1 2), D = (4 1 4), Z = (‒1 1 1) d) A = (4 1 4), B = (5 1 3), C = (7 1 4), D = (6 1 5), Z = (6 1 7) β Bild A δ γ α B C D β’ A’ δ’ γ’ α’ B’ C’ D’ Leinwand Lichtquelle Bei zentrischen Streckungen mit Faktor k bleiben alle Winkel erhalten und alle Längen werden mit k multipliziert. Eigenschaften einer zentrischen Streckung Beispiel A = (2 1 1), B = (4 1 1), C = (4 1 2), D = (3 1 2) Z = (1 1 1) 1) Aq = (5 1 1), Bq = (13 1 1), Cq = (13 1 5), Dq = (9 1 5) 2) __ AB = 2 __ EH ; ___ A qBq = 8 __ EH , ✓ __ BC = 1 __ EH ; ___ B qCq = 4 __ EH , ✓ ___ AD = 1 Diagonale ; ___ A qDq = 4 Diagonalen, ✓ __ CD = 1 __ EH , ___ C qDq = 4 __ EH , ✓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314 1 2 6 5 4 3 x y Z A B C D A’ B’ C’ D’ 897 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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