236 Ähnlichkeit J 3 3.1 Ähnlichkeitssätze Bei der Ähnlichkeit haben Dreiecke eine Besonderheit. Bei ihnen genügt schon eine der beiden Bedingungen für Ähnlichkeit (gleiche Winkel, „Verhältnisse der Seiten ist gleich“), die andere ist dann automatisch erfüllt. In der zweiten Klasse hast du die Kongruenzsätze (SWS, SSS, , ) für Dreiecke kennengelernt. Diese besagen, dass zwei Dreiecke genau dann kongruent (deckungsgleich) sind, wenn sie in gewissen Bestimmungsstücken übereinstimmen. Diese Kongruenzsätze spielen bei den folgenden Beweisen der Ähnlichkeitssätze eine zentrale Rolle. Mit den Ähnlichkeitssätzen kann man überprüfen, ob zwei Dreiecke, bei denen gewisse Bedingungen erfüllt sind, ähnlich sind. Der Seiten-Winkel-Seiten-Satz (SWS): Dieser Satz besagt, dass zwei Dreiecke ABC und A1B1C1 ähnlich zueinander sind, wenn sie in einem Winkel (zB α = α1) und im Längenverhältnis der an- liegenden Seiten (zB c1 = k·c, b1 = k·b) übereinstimmen. Dies soll nun gezeigt werden: Man geht dabei folgendermaßen vor: 1. Dreieck 1 wird durch eine zentrische Streckung passend gestreckt. 2. Es wird gezeigt, dass das gestreckte Dreieck 1 und Dreieck 2 kongruent sind (mit Hilfe der Kongruenzsätze). Dann sind die Dreiecke 1 und 2 ähnlich. Schritt 1: Das Dreieck ABC wird mittels einer zentrischen Streckung mit dem Streckfaktor k = c 1 __ c gestreckt und man erhält das Dreieck AqBqCq. Im Dreieck AqBqCq bleiben die Winkel unverändert, also α = αq, β = βq, γ = γq und die Seitenlängen wurden mit k gestreckt, also k·c, k·b und k·a. Schritt 2: Die beiden Dreiecke AqBqCq und A1B1C1 sind laut SWS-Kongruenzsatz kongruent, weil sie in einem Winkel (α) und den beiden anliegenden Seiten (k·b, k·c) übereinstimmen. Deshalb sind die beiden ursprünglichen Dreiecke ABC und A1B1C1ähnlich. interaktive Vorübung 5fe26z AH S. 70 A c a b B C α β γ A1 B1 C1 k . c k . b a1 α β1 γ1 Behauptung A’ Z A c a b B’ B C’ C c’ = k . c = c1 k . a k . b α’ α β’ β γ’ γ A1 B1 C1 k . c a1 k . b α β1 γ1 Wenn zwei Dreiecke ABC und A1B 1C 1 in einem Winkel und im Längenverhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen (zB α1 = α und c1 = k·c bzw. b1 = k·b), dann sind sie ähnlich. Der Seiten-Winkel-Seiten-Satz (SWS) 3 Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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