237 J 3 Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken Der Winkel-Winkel-Winkel-Satz (WWW) Dieser Satz besagt, dass zwei Dreiecke ABC und A1B1C1 ähnlich sind, wenn sie in allen drei Winkeln überein- stimmen, also α = α1, β = β1, γ = γ1. Schritt 1: Das Dreieck ABC wird mittels einer zentrischen Streckung so mit dem Streckfaktor k gestreckt, dass es eine passende Grundseitenlänge c1 erhält. Dafür müssen wir für k = c1 __ c wählen. Somit erhält man das Dreieck AqBqCq. In diesem bleiben die Winkel unverändert, also α = αq, β = βq, γ = γq und die Seitenlängen wurden mit k gestreckt, also cq = k·c = c1, k·b und k·a. Schritt 2: Die beiden Dreiecke AqBqCq und A1B1C1 sind laut WSW-Kongruenzsatz kongruent, weil sie in einer Seitenlänge (c1) und den beiden anliegenden Winkeln (α und β) übereinstimmen. Da zwei Winkel übereinstimmen, muss der dritte Winkel auch gleich groß sein. Deshalb sind die beiden ursprünglichen Dreiecke ABC und A1B1C1ähnlich. Der Seiten-Seiten-Seiten Satz Zwei Dreiecke, bei denen einander entsprechende Seiten im selben Längenverhältnis stehen (a 1 = k·a, b 1 = k·b, c 1 = k·c), sind zueinander ähnlich. Begründe diesen Satz mit derselben Vorgehensweise wie oben beschrieben! 1) Drei entsprechende Seitenlängen stehen im selben Längenverhältnis. 2) Wie muss der Streckungsfaktor gewählt werden? 3) Welcher Kongruenzsatz sichert die Kongruenz der beiden gleich großen Dreiecke? Im rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe h eingezeichnet. Die beiden Teilabschnitte der Seite c werden mit p und q bezeichnet. 1) Welche Dreiecke sind ähnlich? Vervollständige und begründe mit den Ähnlichkeitssätzen: ¶ABC ~ ¶AF ~ ¶FB 2) Welche Beziehungen gelten? Fülle die Lücken! ab = q cb = a ph = h A c a b B C α β γ A1 B1 C1 c1 b1 a1 α β γ A’ Z A c a b B’ B C’ C c’=k.c=c1 k . a k . b α α β β γ γ A1 B1 C1 c1 a1 b1 α β γ Wenn zwei Dreiecke ABC und A1B1C1 in den drei Winkeln übereinstimmen α = α1, β = β1 (bzw. γ = γ1, wegen der Innenwinkelsumme 180° reichen auch schon zwei gleiche Winkel), dann sind sie ähnlich. Der Winkel-Winkel-Winkel-Satz (WWW) 911 * B O M DI * Sprachliche Bildung und Lesen A F h q p B C c b a 912 * B O M DI Überlege jeweils Sätze wie zB: „Kurze Kathete zu langer Kathete im Dreieck ABC verhält sich wie kurze Kathete zu langer Kathete im Dreieck FBC.“ Tipp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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