238 Ähnlichkeit J 3 3.2 Anwendungen der Ähnlichkeit: Strahlensatz Die Strahlen g und h bilden einen Winkel mit dem Scheitel S. Sie werden von den beiden parallelen Geraden a und b geschnitten. Die Schnittpunkte bezeichnen wir mit A, B, C und D. Überlege, wie das mit dem Bild des Baugerüsts zusammenhängt! Weil a und b parallel sind und somit wegen des WWW-Ähnlichkeitssatzes die ähnlichen Dreiecke SAC und SBD entstehen, können wir die folgenden Aussagen machen. 1. „ __ SAverhält sich zu __ SB wie __ SC zu __ SD.“ __ SA __ SB = __ SC __ SD Außerdem kann man zeigen (vgl. Aufgabe 914): __ SA __ AB = __ SC __ CD. „Die Längen zweier Strecken auf dem einen Strahl verhalten sich wie die Längen der entsprechenden Strecken auf dem anderen Strahl.“ 2. „ __ SAverhält sich zu __ SB wie __ AC zu ___ BD.“ __ SA __ SB = __ AC ___ BD Außerdem gilt: __ SC __ SD = __ AC ___ BD. „Die Längen der Strecken auf einem Strahl (vom Scheitel gemessen) verhalten sich wie die Längen der entsprechenden Strecken auf den parallelen Geraden.“ Die Zusammenhänge gelten auch in dem Fall, dass die parallelen Geraden nicht auf derselben „Seite” des Scheitels liegen (➞ Figur rechts): a c b d e f Die nebenstehende Figur zeigt zwei ähnliche Dreiecke. 1) Welche Seitenlängen entsprechen einander? 2) Gib möglichst viele Proportionen an, die aus dieser Figur abgelesen werden können! g h b a A B C D S g h b a A B C D S g h b a A B C D S Werden zwei Strahlen g und h mit dem gemeinsamen Anfangspunkt S von parallelen Geraden a und b geschnitten, so gilt: __ SA __ SB = __ SC __ CD Die Längen der Abschnitte auf dem Strahl g verhalten sich wie die entsprechenden Abschnittslängen auf dem Strahl h. __ SA __ SB = __ AC ___ BD Die Längen der Scheitelabschnitte auf einem Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnittslängen auf den parallelen Geraden. Strahl g Strahl h Strahl g parallele Geraden Strahlensatz 913 B O M DI 5k5yn8 Arbeitsblatt Plus Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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