247 Vernetzte Aufgaben J Welche der unten angeführten Eigenschaften ähnlicher Figuren treffen zu, welche nicht? Gib bei den nicht zutreffenden Eigenschaften jeweils an, was daran falsch ist! trifft zu trifft nicht zu A In ähnlichen Figuren sind einander entsprechende Winkel gleich groß. B In ähnlichen Figuren sind einander entsprechende Seiten gleich lang. C In ähnlichen Figuren stehen die Längen einander entsprechender Seiten im gleichen Verhältnis. D Wenn in zwei Figuren einander entsprechende Winkel gleich groß sind, dann stehen die Längen einander entsprechender Seiten immer im gleichen Verhältnis. E Die Umfänge ähnlicher Figuren verhalten sich wie ihre Flächeninhalte. F Die Flächeninhalte ähnlicher Figuren verhalten sich wie die Quadrate einander entsprechender Seitenlängen. Zeige, dass bei einer zentrischen Streckung mit Faktor k (dh ___ ZA q = k· ___ ZA) die Bildstrecken immer parallel zu den Urbildstrecken und k-mal so lang wie die Urbildstrecken sind! a) Die Gerade AB geht durch das Streckzentrum Z. Z, A und B liegen genauso wie Aq und Bq auf derselben Geraden, damit ist AqBq u AB. 1) Überlege, welche Länge durch folgende Rechnung angegeben ist! ___ ZB – ___ ZAentspricht der Länge von und ___ ZB q – ___ ZA q entspricht der Länge von . 2) Fülle die Lücken, sodass die Behauptung für diesen Fall begründet ist! ____ A qBq = ___ ZB q – ___ ZA q = k· ___ ZB – k· ___ ZA = k·( ___ ZB – ___ ZA ) = k· Demnach ist der Abstand der k-mal der Abstand der Urbildpunkte. b) Die Gerade AB geht nicht durch das Streckzentrum Z. Wir machen die Zeichnung für k = 3 (für andere k funktioniert es genauso). Wir müssen zeigen: AqBq u AB und ____ A qBq = 3· ___ AB . Dazu verwenden wir das Dreieck ¶ZAB 1) Die Seite b wurde bereits zwei weitere Male aufgetragen (B1 bzw. B2). Vervollständige nun die Konstruktion! Verschiebe dazu die Dreiecksseite a zweimal parallel nach rechts (durch B1 bzw. B2) und die Seite c zweimal parallel nach oben (durch B und B1)! Dadurch entstehen weitere zwei Dreiecke und drei Parallelogramme. 2) Begründe mit Hilfe eines Kongruenzsatzes, dass die roten Dreiecke kongruent sind! Die auftretenden Parallelogramme garantieren, dass auf der Geraden g dreimal c und auf A2B2 dreimal a auftritt. Beschrifte diese Strecken jeweils in der Zeichnung! 3) Begründe mit Hilfe eines Kongruenzsatzes, dass die Dreiecke ZAqBq und ZA2B2 kongruent sind! Damit ist die Behauptung bewiesen. 945 B O M DI 946* B O M DI * Sprachliche Bildung und Lesen Z A A’ B b a c c c b b B’ Z A A2 B2 B1 B b γ α γ α γ α a g c b b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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