249 Vernetzte Aufgaben J Zeige, dass die drei Schwerlinien eines Dreiecks einander in einem Punkt, nämlich dem Schwerpunkt des Dreiecks, schneiden! 1) S teilt AD im Verhältnis 2:1. Betrachte das Dreieck! Man sieht die Seitenmittelpunkte E und D sowie die beiden Schwerlinien sa = AD und sb = BE mit Schnittpunkt S. Dabei ist AB parallel zu ED und doppelt so lang (wegen der zentrischen Streckung von AB mit dem Streckzentrum C und dem Streckfaktor 1 __ 2 ). Deshalb sind die beiden Dreiecke ABS und ESD ähnlich (WWW-Satz) mit dem Faktor 2. AS ist also so lang wie SD. 2) Geht man mit der gleichen Überlegung von den Eckpunkten A und C aus, entsteht der Schnittpunkt S1 der Schwerlinien sa und sc. S 1 teilt auch diese im Verhältnis 21. Die Schwerlinie sa kann aber nur von einem Punkt im Verhältnis 21 geteilt werden. Deshalb muss S = S 1 sein. Die Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … spielt in der Natur eine wichtige Rolle. Sie wurde nach dem italienischen Mathematiker Leonardo da Pisa (ca. 1170 – ca. 1250, genannt „Fibonacci”) „Fibonacci-Folge“ benannt. 1) Versuche zu erkennen, wie eine Zahl der Folge aus den vor ihr stehenden Zahlen entsteht! Wie lauten die nächsten drei Zahlen? 2) Berechne für je zwei aufeinander folgende Zahlen das Verhältnis der größeren zur kleineren Zahl! Je höher die Zahlen werden, desto mehr nähert sich dieses Verhältnis der Verhältniszahl 1,618… des „Goldenen Schnittes“. 954 B O M DI A S C B D E A S1 C B sc sa B O M DI 955 Zentrische Streckung Bei einer Vergrößerung oder Verkleinerung durch eine zentrische Streckung werden von einem Streckzentrum ausgehend alle Abstände mit demselben Faktor k multipliziert. Dabei bleiben alle Winkel erhalten und alle Längen werden mit k multipliziert. Ähnlichkeit Zwei Vielecke (Dreiecke, Vierecke, …) heißen ähnlich, wenn gilt: 1) Entsprechende Längen stehen zueinander im gleichen Verhältnis. 2) Entsprechende Winkel sind gleich groß. Bei Dreiecken gilt: Wenn nur eine dieser beiden Bedingungen erfüllt ist, so ist die andere automatisch auch erfüllt und die Dreiecke sind ähnlich. Dies kann mittels einer entsprechenden zentrischen Streckung und der Kongruenzsätze gezeigt werden. In allen ähnlichen Figuren gilt für die Flächeninhalte: Die Flächeninhalte verhalten sich wie die Quadrate entsprechender Längen. Mit anderen Worten: Wenn der Längenstreckfaktor k ist, dann ist der Flächenstreckfaktor k2. AH S. 72 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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