267 K 2 Pyramide 2.4 Volumen (Rauminhalt) der Pyramide Marin findet in einer Zeitschrift die Abbildung einer Milchpackung aus früherer Zeit. Dieses Milchpäckchen hatte die Form einer (➞ Bild rechts). Durch einen Versuch kann man feststellen, dass in ein prismenförmiges Gefäß mit derselben Grundfläche und Höhe etwa dreimal so viel Milch passt wie in die Pyramide. Das Experiment lässt vermuten, dass für das Pyramidenvolumen gilt: V = G·h ____ 3 . Die Figur rechts unten zeigt dieses Ergebnis für spezielle Pyramiden. Wir zerlegen einen Würfel in sechs kleine (regelmäßige vierseitige) Pyramiden, deren Grundkanten (2h) doppelt so lang wie ihre Höhen (h) sind. Jede Teilpyramide hat dieselbe Grundfläche G. Damit ergibt sich unmittelbar: V Pyramide = 1 _ 6 ·V Würfel = 1 _ 6 ·G·2 h = 1 _ 3 ·G·h = G·h ___ 3 . Man kann beweisen: Die gefundene Formel gilt für alle Pyramiden, gleichgültig welches Vieleck die Grundfläche ist und gleichgültig, wo der Fußpunkt F der Höhe liegt. Berechne den Rauminhalt der Pyramide! a) Grundfläche rechtwinkliges Dreieck: a = 8 m, b = 3 m, Pyramidenhöhe h = 10 m b) rechteckige Pyramide: a = 5,5 cm; b = 7,3 cm; h = 3,2 cm c) regelmäßige vierseitige Pyramide: a = 4 dm, h = 53 cm d) Tetraeder: a = 2 m; h 1 = 1,7 m; h = 1,6 m Ordne zu (alle Grundflächen sind quadratisch)! 1 Pyramide a = 2 cm, h = 6 cm A V = 8 cm 3 D V = 20 cm 3 2 Pyramide a = 6 cm, h = 2 cm B V = 10 cm 3 E V = 24 cm 3 3 Prisma a = 2 cm, h = 5 cm C V = 15 cm 3 F V = 72 cm 3 4 Prisma a = 6 cm, h = 2 cm Umkehraufgaben Stelle die Formeln für das Volumen einer Pyramide so um, dass man 1) den Grundflächeninhalt berechnen kann, wenn V und h gegeben sind, 2) die Höhe berechnen kann, wenn V und G gegeben sind! Von einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide kennt man das Volumen und die Länge der Grundkante a. Berechne die Körperhöhe h! a) V = 400 cm3, a = 10 cm c) V = 54 cm3, a = 6 cm e) V = 7 260 m3, a = 22 m b) V = 3 cm3, a = 3 cm d) V = 25 l, a = 20 cm f) V = x m3, a = y m V = G·h ___ 3 Kurzsprechweise: Volumen = Grundfläche mal Höhe durch drei Rauminhalt (Volumen) der Pyramide 1017 B O M DI 1018 B O M DI B O M DI 1019 1020 B O M DI 2h 2h h S 5jj27b Arbeitsblatt 5ju72x Arbeitsblatt Plus Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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