Das ist Mathematik 4, Schulbuch [Teildruck]

Humenberger (Hrsg.) Aue, Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl Das ist Mathematik A B C Teildruck Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN 978-3-209-12274-2 4

Das ist Mathematik 4, Schülerbuch + E-Book Teildruck zu ISBN 978-3-209-12274-2, W6519-167 Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Dr. Herbert Löffler, Wien Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Bildnachweis: S. 162: akg-images / picturedesk.com; S. 163.3: Iryna Murselovic, MSc / öbv, Wien; S. 163.1: Science Photo Library / picturedesk.com; S. 163.2: Hervé Champollion / akg-images / picturedesk.com; S. 180.1: Roger-Viollet / Roger Viollet / picturedesk.com; S. 180.2: Griechische Post / z.V.g.v. Dr. Manfred Börgens; S. 182: Wavebreakmedia / Getty Images - iStockphoto; S. 185: Rudzhan Nagiev / Getty Images - iStockphoto; S. 187: ; S. 189: Stephan Zabel / iStockphoto; S. 190: Wanderhotel Gassner, Neukirchen; S. 191: golibo / Getty Images - iStockphoto; S. 194: Iryna Murselovic, MSc / öbv, Wien; S. 196: juergen2008 / Getty Images - iStockphoto; S. 198: moonrun / Fotolia; S. 201.1: Jacqueline Guillot / akg-images / picturedesk.com; S. 201.2: Reklame Kontor Peter Franc, Wien; S. 204: Alois / Fotolia; S. 205: Karim Hesham / iStockphoto.com; S. 207.1: rraheb / Thinkstock; S. 207.2: Pia Moest / öbv, Wien; S. 208: Francesco Ferrarini / Shutterstock; S. 238: Michael Schmeling / stock.adobe.com; S. 243: Thaut Images / stock.adobe.com; S. 244: Ernst Daniel Scheffler / Thinkstock; S. 249: PhotoRedHeart / Shutterstock Teildruck © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: weissbunt, design und kontext, Berlin Layout: weissbunt, design und kontext, Berlin Satz: CMS - Cross Media Solutions GmbH, Würzburg Druck: Brüder Glöckler GmbH, Wöllersdorf Teildruck zu ISBN 978-3-209-12274-2 (Das i. Mathematik SB 4 + E-Book) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A B C Das ist Mathematik 4 www.oebv.at Interaktive Übungen auf www.oebv.at von: Dipl.-Päd. Thomas Schroffenegger, BEd MAS MSc Lösungen sind in jeder Buchhandlung und auf www.oebv.at erhältlich Univ.-Prof. Mag. Dr. Hans Humenberger (Hrsg.) HR Mag.a Vera Aue Mag. Johannes Hasibeder DI Mag. Dr. Michael Himmelsbach, MA Mag.a Johanna Schüller-Reichl Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis 2 Inhaltsverzeichnis Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Mathematische Zeichen 8 Wiederholung 10 Kompetenzbereich – Zahlen und Maße A Reelle Zahlen 16 1 Wurzeln 18 1.1 Einführung von Wurzeln 18 1.2 Eigenschaften von Wurzeln 20 1.3 Rechenregeln für Wurzeln 21 2 Zahlenmengen 23 2.1 Natürliche und ganze Zahlen 23 2.2 Rationale und irrationale Zahlen 25 3 Reelle Zahlen 27 3.1 Eigenschaften reeller Zahlen 27 3.2 Reelle Zahlen und Zahlenmengen 29 4 Intervalle 31 Vernetzte Aufgaben 33 Wissensstraße 35 Technologie – Zahlen und Maße 36 Kompetenzbereich – Variablen und Funktionen B Terme 38 1 Eigenschaften von Termen 40 1.1 Termarten 40 1.2 Rechnen mit Termen 42 1.3 Termstrukturen 47 2 Bruchterme 51 2.1 Eigenschaften von Bruchtermen 51 2.2 Kürzen und Erweitern von Bruchtermen 52 2.3 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen 54 2.4 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen 56 Vernetzte Aufgaben 59 Wissensstraße 61 C Gleichungen und Formeln 62 1 Äquivalente Gleichungen 64 2 Formeln 69 Vernetzte Aufgaben 71 Wissensstraße 73 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

3 D Funktionen 74 1 Einführung von Funktionen 76 1.1 Eindeutige Zuordnungen 76 1.2 Darstellungsarten von Funktionen 77 1.3 Wechsel zwischen den Darstellungsarten 79 2 Lineare Funktionen 85 2.1 Direkt proportionale Funktionen 85 2.2 Steigung der Geraden 86 2.3 Allgemeines Steigungsdreieck 88 2.4 Allgemeine lineare Funktionen 90 2.5 Eigenschaften linearer Funktionen 93 3 Weitere Funktionstypen 96 3.1 Quadratische Funktionen 96 3.2 Indirekt proportionale Funktionen 98 Vernetzte Aufgaben 99 Wissensstraße 102 E Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 104 1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 106 1.1 Lösungen und Lösungsmenge 106 1.2 Lösungsmenge graphisch darstellen 108 2 Graphisches Lösen linearer Gleichungssysteme 110 3 Koeffizienten und Lösungsfälle 112 4 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme 115 4.1 Einsetzungsverfahren 115 4.2 Gleichsetzungsverfahren 116 4.3 Eliminationsverfahren (Additionsverfahren) 117 5 Lösen von Textaufgaben 119 Vernetzte Aufgaben 123 Wissensstraße 126 Technologie – Variablen und Funktionen 128 Kompetenzbereich – Daten und Zufall F Statistik und Wahrscheinlichkeit 134 1 Häufigkeiten und Diagramme 136 2 Mittelwerte 138 2.1 Wiederholung 138 2.2 Gewichtetes arithmetisches Mittel 140 2.3 Mittelwert von Mittelwerten 142 3 Vierfeldertafel 144 4 Wahrscheinlichkeit 147 4.1 Baumdiagramme und relative Anteile 147 4.2 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten nach Laplace 149 4.3 Wahrscheinlichkeiten bei zwei- und mehrstufigen Zufallsexperimenten 151 Vernetzte Aufgaben 155 Wissensstraße 158 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis 4 Technologie – Daten und Zufall 160 Kompetenzbereich – Figuren und Körper G Berechnungen am Kreis 162 1 Die Kreiszahl π 164 2 Umfang des Kreises 166 3 Länge des Kreisbogens 169 4 Flächeninhalt des Kreises 171 5 Flächeninhalt des Kreissektors 174 Vernetzte Aufgaben 176 Wissensstraße 179 H Satz des Pythagoras 180 1 Satz des Pythagoras 182 2 Beweise für den Satz des Pythagoras 185 3 Berechnungen in ebenen Figuren 187 3.1 Dreiecke 187 3.2 Rechteck und Quadrat 191 3.3 Drachenviereck (Deltoid) 193 3.4 Raute und Parallelogramm 194 3.5 Trapez 196 3.6 Regelmäßige Vielecke 198 4 Katheten- und Höhensatz 199 5 Berechnungen in Körpern 201 5.1 Prisma 201 5.2 Pyramide 204 Vernetzte Aufgaben 208 Wissensstraße 210 I Zylinder, Kegel und Kugel 212 1 Zylinder 214 2 Kegel 219 2.1 Volumen des Kegels 219 2.2 Oberfläche des Kegels 221 3 Kugel 224 Vernetzte Aufgaben 226 Wissensstraße 229 Technologie – Figuren und Körper 230 Übungen für die Oberstufe Zahlen und Maße 234 Variablen und Funktionen 239 Daten und Zufall 245 Figuren und Körper 250 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 Anhang Lösungen zu den Wissensstraßen 255 Lösungen zu Übungen für die Oberstufe 257 Bildnachweis 260 Formelsammlung 261 Register 268 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Willkommen zu Das ist Mathematik Liebe Schülerin, lieber Schüler, wir möchten dich herzlich in der vierten Klasse begrüßen. Das Buch Das ist Mathematik wird dich wieder im Mathematikunterricht begleiten. Wir möchten dir zeigen, dass Mathematik mehr als Rechnen ist. Mathematik ist… … eine Sprache. Deswegen werden dir sogenannte Sprachbausteine bei der Übersetzung von Mathematik in die Alltagssprache und umgekehrt helfen. Insbesondere unterstützen dich die Sprachbausteine, wenn du Sachverhalte interpretieren und begründen sollst. … wichtig für die geschichtliche Entwicklung der Menschheit. Deswegen wirst du einen Teil davon mit Hilfe der geschichtlichen Motivationsseiten am Anfang jedes Abschnitts kennenlernen. Hier findest du auch Rätsel und interessante Aufgaben zu den Bildern. Die Lösungen dazu findest du auf www.oebv.at unter dem digitalen Zusatzmaterial von Das ist Mathematik. Der Term und der angegebene Term sind aquivalent, weil … Sprachbaustein Berechnungen am Kreis G 162 Berechnungen am Kreis gj7xu3 Video Das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises Die Bestimmung des Verhältnisses von Umfang und Durchmesser eines Kreises war lange Zeit eine der größten Herausforderungen der Mathematik. Ägyptische Vermessungsbeamte gaben dieses Verhältnis mit 4434 = 25681 ≈ 3,16 an. Darüber wissen wir aus der altägyptischen Abhandlung zu mathematischen Themen, dem Papyrus Rhind. Babylonische Gelehrte schlugen 3 + 1 _ 8 = 3,125 als Wert dieses Verhältnisses vor. 430 n. Chr. gab der chinesische Mathematiker Tsu Chung Chih eine Abschätzung von π auf 7 Kommastellen genau an: 3,141 592 6 < π < 3,1415927. Erst der englische Mathematiker William Oughtred (1574– 1630) hat die Bezeichnung π (griechischer Buchstabe p) für das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, wegen des griechischen Wortes „periphereia“ für Umkreis eingeführt. Was wären Berechnungen am Kreis, ohne den Namen Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) zu nennen. Seine legendären Worte „Störe meine Kreise nicht!“ sind sehr bekannt. Er soll sie zu einem römischen Soldaten gesagt haben, als er gerade geometrische Figuren in den Sand zeichnete. Der Römer war darüber so zornig, dass er ihn erstach. Kupferstich von Matthäus Merian (16. Jh.): Tod des Archimedes im Jahr 212 v. Christus. Was hält Archimedes in dieser Darstellung in der linken Hand? Näherungsweise Berechnung von π nach Archimedes Auf Archimedes geht ein Verfahren zurück, wie man das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises beliebig genau berechnen kann. Er schrieb dem Kreis mit dem Durchmesser d = 1 regelmäßige Vielecke ein und um. Je mehr Ecken diese Vielecke hatten, desto besser näherten sich ihre Umfänge dem Umfang des Kreises und damit π an (weil der Durchmesser den Wert 1 hat). Eingeschriebenes Quadrat: Diagonale des Quadrats = Durchmesser des Kreises d = 1 w s4 ≈ 0,707 w u4 (innen) = 4·s4 ≈ 2,828 Umgeschriebenes Quadrat: Seite des Quadrats = Durchmesser des Kreises d = 1 w a4 = 1 w u4 (außen) = 4·a4 = 4 Für den Umfang des Kreises bedeutet das: 2,828 < u < 4 Eingeschriebenes Sechseck: Seite des Sechsecks = Radius des Kreises s6 = r = 1 _ 2 w u6 (innen) = 6·s6 = 3 Umgeschriebenes Sechseck: Höhe der Teildreiecke = Radius des Kreises h6 = r = 1 _ 2 w a6 ≈ 0,577 w u6 (außen) = 6·a6 ≈ 3,464 Für den Umfang des Kreises heißt das: 3 < u < 3,464 d s4 a4 r s6 a6 h6 G 163 Worum geht es in diesem Abschnitt? • näherungsweises Berechnen von π • Umfang und Flächeninhalt des Kreises, des Kreisabschnittes, des Kreisausschnittes und des Kreisringes • Länge des Kreisbogens π – eine irrationale Zahl Tatsächlich hat Archimedes nicht beim Quadrat begonnen, sondern beim Sechseck (sowie mit r = 1 nicht d = 1). Er begann anschließend mit dem Einschreiben und Umschreiben des 12-Ecks, des 24-Ecks und 48-Ecks. Schließlich begnügte er sich mit den Umfängen des ein- und umgeschriebenen 96-Ecks. Er erkannte, dass das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, also π, ein wenig größer als 3 + 10 __ 71 = 3,140 84… und ein wenig kleiner als 3 + 10 __ 70 = 3,142 87… sein muss. Archimedes war überzeugt, dass es wenig Sinn macht, die Größe von π noch genauer zu berechnen. Denn einerseits reichten die beiden Näherungen für praktische Berechnungen aus, andererseits war nicht zu erwarten, dass sich plötzlich ein besonders „schöner“ wahrer Wert für π herausstellen wird. Man vermutete schon relativ bald, dass π nicht als Bruch darstellbar, also eine irrationale Zahl, ist. Erst 1761 wurde diese Vermutung vom schweizerisch-elsässischen Mathematiker Johann Heinrich Lambert (1728–1777) bestätigt. Archimedes erkannte auch, dass die gleiche Größe π nicht nur für die Berechnung des Umfangs, sondern auch für die Berechnung des Flächeninhalts des Kreises, für die Berechnungen des Rauminhalts von Zylinder, Kegel und Kugel sowie für deren Oberflächeninhalte heranzuziehen ist. Archimedes war sich der Wichtigkeit dieser Tatsache so bewusst, dass er verfügte, dass auf sein Grabmal eine Kugel und der sie umschreibende Zylinder zu gravieren und anzugeben sei, dass das Verhältnis ihrer Volumina 23 ist. Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) Angeblich fand Cicero (römischer Politiker, Schriftsteller und Redner, 106–43 v. Chr.) das Grab des Archimedes in Syrakus. Auf welcher Insel liegt Syrakus? Die Pi-Torte zum Pi-Tag am 14.3. (US-amerikanische Datumsschreibweise 3/14) Online Codes zu Videos, Übungen oder Arbeitsblättern Inhalte des Abschnitts Spielerischer Abschluss der Einstiegsseite Quick Media App für Videos Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 18 5cv2s5 engl. AB Vernetzte Aufgaben 1 B O M DI B DI 2 B O M DI 3 B O M DI 4 B O M DI 5 B O M DI Zusammenfassung 19 Lernziele: Ich kann … Wissensstraße Wissensstraße Z 1: Z 2: Z 3: Z 4: Z 5: 6 Z 4 B O M DI 7 Z 2 B O M DI 8 Z 2 Z 3 B O M DI 9 Z 2 B O M DI 10 Z 2, Z 3, Z 4 B O M DI 11 Z 4 B O M DI 12 Z 4 B O M DI 13 Z 5 B O M DI 14 Z 5 Hier findest du Aufgaben, die den gesamten Abschnitt wiederholen oder auch verschiedene Abschnitte miteinander verbinden. Die Aufgabenstellung gilt hier für mehrere Aufgaben Die Lernziele werden oben mit Z1, Z2, Z3, … bezeichnet und im Aufgabenbereich entsprechend geübt. Setze bei jenen Aufgaben, die du beherrscht, ein Häkchen. In der Zusammenfassung findest du die gesamte Theorie des Abschnitts. … Entdecken, Probieren und Knobeln. Deswegen wirst du viele interessante Denksportaufgaben und ein paar harte Nüsse im Buch entdecken. Denksportaufgaben sind mit gekennzeichnet und der Erweiterungsstoff mit . … ein Werkzeug im Alltag. Deswegen findest du interessante Aufgabenstellungen in diesem Buch, die sich aus Informationstexten ergeben. Da oft im Alltag nicht ganz eindeutig ist, welche Information man eigentlich zum Lösen eines Problems braucht, musst du den Text und die Fragestellung genau durchlesen. Aufgaben, die diese Problematik aufgreifen, sind mit gekennzeichnet. … strukturiertes Denken. Deswegen ist auch dieses Buch ganz klar aufgebaut. Am Anfang jedes Kapitels erwartet dich ein kurzer Einstieg, bei dem du auch selbst aktiv wirst. Dann wird das grundlegende Wissen dieses Kapitels vermittelt und in einem Merkkasten zusammengefasst. Beispiele helfen dir beim Anwenden des Wissens und beim Lösen der Aufgaben. Tipps unterstützen dich gezielt beim Lösen der Aufgaben. Damit du alle Inhalte eines gesamten Abschnitts nochmals wiederholst, findest du am Ende die Aufgabensammlung Vernetzte Aufgaben und eine Zusammenfassung. Die anschließende Wissensstraße fasst die Lernziele zusammen und bietet Aufgaben, um diese zu erreichen und zu überprüfen. Wir wünschen dir viel Freude an der Mathematik und mit unserem Buch! Mit Hilfe einer schiefen Ebene kann der Kraftaufwand zur Überwindung … Infobox Tipp Beim Ordnen von Bruchzahlen … Terme können aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern bestehen. Spezielle Terme sind zB Binome, Polynome oder Bruchterme. Termarten Beispiel ​√ ____ 6 400 ​= ​√ ______ 100 · 64 ​ = ​√ ___ 100 ​ · ​√ __ 64 ​ = 10 · 8 = 80 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematische Zeichen 8 Symbole und Zeichen Zeichen: ℕ = {0, 1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen Q = Menge der rationalen Zahlen ℕu = {1, 3, 5, …} Menge der ungeraden nat. Zahlen ​Q ​ +​ = Menge der pos. rationalen Zahlen ℕg = {0, 2, 4, 6, …} Menge der geraden nat. Zahlen ​Q ​ –​ = Menge der neg. rationalen Zahlen Z = {…, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, …} Menge der ganzen Zahlen { } oder Ø: leere Menge Z+ = {1, 2, 3, …} Menge der positiven ganzen Zahlen Z‒ = {…, ‒3, ‒2, ‒1} Menge der negativen ganzen Zahlen = ist gleich ≠ ist nicht gleich, ungleich < kleiner als ≤ kleiner gleich, höchstens gleich > größer als ≥ größer gleich, mindestens gleich ≈ rund, etwa, angenähert gleich š entspricht w daraus folgt É ist gleichbedeutend mit, ist äquivalent zu * ist Element von, gehört zu + ist kein Element von, gehört nicht zu ​1 a 1​ Betrag von a ​a ​n​ a hoch n, a zur n-ten Potenz ​√ __ a ​ Quadratwurzel aus a Abkürzungen: Ü Überschlagsrechnung f. A. falsche Aussage P Probe ggT größter gemeinsamer Teiler w. A. wahre Aussage kgV kleinstes gemeinsames Vielfaches Symbole: * Diese Aufgabe bezieht sich auf ein bestimmtes übergreifendes Thema des Lehrplans. Lies genau bei dieser Aufgabe! Du lernst dabei zu beachten, welche Angaben zur Lösung einer Aufgabe wichtig sind. schwierige, herausfordernde Aufgabe, Erweiterungsstoff Denksportaufgabe zum Knobeln Hake die Aufgabe in der Wissensstraße ab, die du richtig gelöst hast! Dieses Symbol gibt die entsprechende Seite im Arbeitsheft an. Damit wird angezeigt, welche der Prozesse (Operieren, Rechnen, Konstruieren; Modellieren, Problemlösen; Darstellen, Interpretieren; Vermuten, Begründen) in der Aufgabe behandelt werden. ! teilt, ist Teiler von … ~ teilt nicht, ist kein Teiler von … % Prozent ‰ Promille u parallel û nicht parallel ¾ rechter Winkel © rechtwinklig zu, normal auf AB Strecke AB ​ __ AB​ Länge der Strecke AB ¼ ab Winkel zwischen a und b ¼ ABC Winkel zwischen AB und BC t kongruent, deckungsgleich r ähnlich weiterführende Materialien 6xf34v B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

9 Online-Code Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Im Digitalen Zusatzmaterial befinden sich Videos, Technologieanleitungen, interaktive Übungen und Arbeitsblätter. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / Online-Code Suchen 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. öbv QuickMedia App Android iOS Die Prozesse werden bei Das ist Mathematik bei jeder Aufgabe angeführt und mit folgenden Buchstaben gekennzeichnet: Modellieren meint das Bearbeiten außermathematischer Aufgabenstellungen mit Hilfe von Mathematik. Problemlösen meint das Bearbeiten innermathematischer Aufgabenstellungen, die für Schülerinnen und Schüler keine Routineaufgaben sind, insbesondere, wenn ihnen (noch) kein passendes Lösungsverfahren bekannt ist. Operieren meint das Durchführen von Rechen- oder Konstruktionsabläufen. Rechnen meint das Durchführen von Rechenoperationen mit konkreten Zahlen (auch Abschätzen von Größenordnungen) ebenso wie das Umformen algebraischer Ausdrücke und das Lösen von Gleichungen. Konstruieren meint das regelhafte Erstellen von Bildern geometrischer Objekte. B O M DI Darstellen meint das verbale, grafische, tabellarische oder algebraische Beschreiben inner- und außermathematischer Sachverhalte und umfasst auch den Wechsel zwischen solchen Darstellungsarten. Interpretieren meint das Entnehmen von Informationen aus verbalen, grafischen, tabellarischen oder algebraischen Darstellungen und das Deuten im jeweiligen Kontext. Vermuten meint das Aufstellen von Hypothesen aufgrund von Beobachtungen und steht häufig am Beginn eines Begründungsprozesses. Begründen meint das Anführen von Argumenten bzw. das Bilden von Argumentationsketten, um eine Vermutung bzw. Behauptung zu bestätigen oder zu widerlegen. Die mathematische Kompetenz der Schülerinnen und Schüler zeigt sich in der Fähigkeit, diese Handlungen im Rahmen der zentralen fachlichen Konzepte durchführen zu können. Übergreifende Themen Das Ziel der übergreifenden Themen ist die fächerübergreifende Kompetenzentwicklung sowie das vernetzte Lernen der Schülerinnen und Schüler über die fachspezifischen Grenzen hinaus zu unterstützen und mit gesellschaftlich relevanten aktuellen Themen zu verbinden. Insgesamt werden 13 übergreifende Themen im neuen Lehrplan genannt, wobei drei davon nicht verpflichtend für den Mathematiklehrplan sind: • Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung1, • Entrepreneurship Education2, • Gesundheitsförderung3, • Informatische Bildung4, • Interkulturelle Bildung5, • Medienbildung6, • Politische Bildung7, • Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung8, • Sexualpädagogik9 • Sprachliche Bildung und Lesen10, • Umweltbildung für nachhaltige Entwicklung11, • Verkehrs- und Mobilitätsbildung12, • Wirtschafts- Finanz- und Verbraucher/innenbildung13 B O M DI B O M DI B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras H 180 Satz des Pythagoras Der Satz des Pythagoras Die Tatsache, dass die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten mit dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse übereinstimmt, wird als „Satz des Pythagoras“ bezeichnet. Wie Pythagoras zu dieser Ehre kam, wissen wir nicht. Sicher hat er bei seinen Studien in Ägypten und in Babylon diesen Satz kennen gelernt und in der von ihm gegründeten Schule gelehrt. Sein eigentliches Interesse galt den Quadratzahlen selbst, die er als geometrisches Muster verstand. Berechnungen in Babylon Man darf es als eine der wichtigsten Errungenschaften der gesamten Mathematik bezeichnen, dass es babylonischen Mathematikern ca. 2 000 v. Chr. gelang, die Hypotenusenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck ohne maßstäbliches Zeichnen und Messen zu berechnen. Sie teilten uns aber nicht mit, wie sie zu ihrer Methode gekommen waren, allein das Verfahren lehrten sie: Man quadriere die beiden Kathetenlängen, zB 3 und 4! In dem konkreten Beispiel erhält man die Zahlen 32 = 9 und 42 = 16. Dann addiert man die beiden Ergebnisse und erhält das Quadrat der Hypotenusenlänge, also 25 = 52! Die Babylonier waren von der universellen Gültigkeit dieses Verfahrens völlig überzeugt. Auch chinesische Mathematiker hatten spätestens 300 v. Chr. den gleichen Zusammenhang zwischen den Katheten und der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks entdeckt. Anders als die Babylonier teilten sie in ihren Lehrbüchern mit, warum diese Berechnung stimmen muss. Der Lehrsatz des Pythagoras wurde anschaulich auf einer Briefmarke Griechenlands 1955 abgedruckt. Zähle die Kästchen der Quadrate über den Katheten und des Quadrats über der Hypotenuse! Was fällt dir auf? Pythagoras von Samos (um 570 – 500 v. Chr.) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

H 181 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Satz des Pythagoras • Beweise für den Satz des Pythagoras • Anwenden des Lehrsatzes in ebenen Figuren und Körpern Zeichne obenstehende Figur nach! Beginne mit einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 4 cm! Errichte darüber ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck und verfahre weiter wie in der Figur! Die Quadratmuster des Pythagoras Quadratzahlen heißen die Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, … deshalb, weil man sie als quadratische Punktmuster zeichnen kann. Das geometrische Muster von 9 (roten) Punkten stellt die Quadratzahl 9 dar. Es entspricht einem Quadrat mit der Seitenlänge 3. An dieses Quadrat fügt man rechts und oben jeweils 3 (blaue) Punkte an. Das sind doppelt so viele Punkte, wie eine (rote) Quadratseite hat. Schließlich gibt man noch einen (gelben) Punkt in der rechten oberen Ecke dazu und erhält auf diese Weise das geometrische Muster der nächsten Quadratzahl 16 = 42. Dieses Prinzip gilt allgemein, von 12 auf 22, von 22 auf 32 usw. Zur Quadratzahl 9 wird also die ungerade Zahl 7 ( = 6 + 1) addiert, um die nächste Quadratzahl 16 zu erhalten. Zur Quadratzahl 16 wird die ungerade Zahl 9 addiert, um 25 zu erhalten. Rückblickend kann man erkennen, dass zur Quadratzahl 1 die ungerade Zahl 3 addiert wird, um 4 zu erhalten. Zur Quadratzahl 4 wird die ungerade Zahl 5 addiert, um 9 zu erhalten, usw. Es werden also der Reihe nach die ungeraden Zahlen 3, 5, 7, 9, … addiert und immer ergibt sich eine Quadratzahl. Zeichne in das Punktmuster (rechts oben) den Schritt von 42 auf 52 ein! 3 3 . 1 = 3 3 . 1 = 3 12 = 1 32 = 9 1 3 1 Pythagoreische Tripel Wenn man das Punktmuster – wie oben beschrieben – fortsetzt, wird zur Quadratzahl 16 = 42 die ungerade Zahl 9 = 32 addiert, die selbst eine Quadratzahl ist. Das Ergebnis ist wieder eine Quadratzahl, nämlich 25 = 52! Damit hat man ein Beispiel natürlicher Zahlen a, b, c gefunden, für die die Beziehung a2 + b2 = c2 gilt. Natürliche Zahlen, die in einer derartigen Beziehung zueinander stehen, heißen pythagoreische Tripel. Für solche hat sich Pythagoras besonders interessiert. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras 182 H 1 1 Satz des Pythagoras Livia und Lea spielen im Park. Sie sehen eine Rutsche, die 1,6 m hoch ist. Lea schätzt, dass das Ende der Rutsche ca. 3 m vom Klettergerüst entfernt ist. Livia fragt: „Wie lang ist die Rutsche?“ – „Machen wir eine Zeichnung im Maßstab 1:100 und messen wir die Länge!“ Die Mädchen fertigen die Zeichnung im Maßstab 1100 an. 3 m š 1,6 m š Die Länge der Rutsche können sie somit aus der Konstruktion entnehmen, sie ist ca. lang. Livia denkt einen Augenblick nach und meint: „Die Skizze hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem wir die beiden Kathetenlängen kennen. Kann man die Länge der Hypotenuse auch berechnen?“ Eine Formel für die Berechnung der Hypotenusenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck aus den gegebenen Kathetenlängen gibt es tatsächlich. Sie ist seit fast 4 000 Jahren bekannt und folgt aus dem sogenannten Lehrsatz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt für die Seitenlängen: Erste Kathete2 + zweite Kathete2 = Hypotenuse2 Der Einfachheit halber werden oft a und b für die beiden Katheten und c für die Hypotenuse verwendet. a2 + b2 = c2 Bei dieser Kurzform muss man wissen, dass die Formel nur im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c gilt! Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras können wir die oben gestellte Aufgabe lösen: ​c ​2 ​= 1,​6 ​2 ​+ ​3 ​2 ​= daraus ergibt sich: c = ​√ __________ ​= Durch Umformen kann man aus der gegebenen Hypotenusenlänge und einer Kathetenlänge die jeweils andere Kathetenlänge berechnen: ​a​2 ​+ ​b ​2 ​= ​c ​2 ​w ​a ​2 ​= ​c ​2 ​‒ ​b ​2 ​ und ​b ​2 ​= ​c ​2 ​‒ ​a ​2​ a = ​√ _____ ​c ​ 2 ​‒ ​b ​2 ​ b = ​√ _____ ​c ​2 ​‒ ​a ​2 ​ Umkehrung des Satzes von Pythagoras Umgekehrt ist ein Dreieck, dessen Seitenlängen a, b, c die Beziehung a​ ​2 ​+ ​b ​2 ​= ​c ​2 ​erfüllen, immer auch rechtwinklig mit Hypotenusenlänge c (Begründung in Aufgabe 726). interkative Vorübung gp3k5k AH S. 56 In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt für die Seitenlängen: a2 + b2 = c2 É Kurzsprechweise: Kathete a hoch 2 plus Kathete b hoch 2 gleich Hypotenuse c hoch 2 Umgekehrt: Jedes Dreieck, in dem ​a ​2 ​+ ​b ​2 ​= ​c ​2 ​gilt, ist rechtwinklig beim Eckpunkt C. a c A B C b c = ​√ _____ a2 + b2 ​ a = ​√ _____ c2 – b2 ​ b = ​√ _____ c2 – a2 ​ Satz des Pythagoras c = b = a = Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras 183 H 1 Markiere die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks blau und die Hypotenuse grün! Miss die Seitenlängen ab und überprüfe damit den Satz des Pythagoras! a) a b c b) a b c c) a b c Konstruiere aus den gegebenen Seitenlängen ein rechtwinkliges Dreieck ABC (γ = 90°)! Miss die dritte Seite und bestätige den Satz des Pythagoras! a) a = 60 mm, c = 100 mm b) b = 55 mm, c = 73 mm c) a = 117mm, b = 44 mm Die angegebenen Seitenlängen gehören zu einem rechtwinkligen Dreieck ABC. 1) Überprüfe mit Hilfe des TR den Satz des Pythagoras! 2) Zeichne das Dreieck und bestätige durch Messen der Winkel, dass es rechtwinklig ist! a) a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm b) a = 68 mm, b = 51 mm, c = 85 mm Formuliere den Satz des Pythagoras für alle abgebildeten rechtwinkligen Dreiecke! Verwende dazu den angegebenen Tipp! a) s r t S R T c) m g r w t e b) h s r d) x z y Kreuze alle Dreiecke an, die rechtwinklig sind (ohne Konstruktion)! A a = 22 mm, b = 31 mm, c = 54 mm B a = 6 m, b = 8 m, c = 10 m­ C a = 16 cm, b = 30 cm, c = 34 cm D a = 1 dm, b = 3 dm, c = 5 dm Von einem rechtwinkligen Dreieck sind zwei Seitenlängen gegeben. 1) Ordne die entsprechende Länge der dritten Seite zu! 2) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Dreiecke! 1 a = 20 mm, b = 48 mm A 30 mm C 52 mm 2 a = 24 mm, c = 51 mm B 58 mm D 45 mm 713 B O M DI Video gp7e5i 714 B O M DI 715 B O M DI 716 * * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI Achte auf die Seitenbezeichnungen! Wenn diese anders lauten, so ändern sich auch die Bezeichnungen im Satz des Pythagoras. Tipp 717 B O M DI Verwende die längste Seite als Hypotenuse und nütze die „Umkehrung“ des Satzes von Pythagoras! Tipp 718 B O M DI gs7u7w Arbeitsblatt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras 184 H 1 Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind der Flächeninhalt und die Länge einer Kathete gegeben. Berechne 1) die Länge der anderen Kathete, 2) die Länge der Hypotenuse, 3) die Höhe des Dreiecks! a) A = 2 400 mm2 b) A = 50,7 m2 c) A = 693,6 cm2 d) A = 21 m2 e) A = 120 m2 a = 80 mm b = 15,6 m a = 27,2 cm b = 12 m a = 24 m Eine s Meter lange Leiter wird an eine lotrechte Wand gelehnt. Ihr unteres Ende hat von der Wand r Meter Abstand. Bis zu welcher Höhe h reicht die Leiter? Ordne die Lösungen richtig zu! 1 s = 5 m, r = 1,4 m 3 s = 6,25 m, r = 1,75 m 2 s = 7,40 m, r = 2,40 m 4 s = 9,75 m, r = 3,75 m 719 B O M DI s r h Überprüfe immer, ob bei deiner Berechnung die Hypotenuse länger als jede der Katheten ist! Tipp Beispiel A = 480 ​cm​2​, b = 20 cm2 1) a = ​2A __ b ​w a = 48 cm 2) c = ​√ _____ ​a ​2 ​+ ​b ​2 ​w c = 52 cm 3) h = ​2A __ c ​w h = 18,46… cm ≈ 18,5 cm 720 B O M DI E h = 5,2 m A h = 6 m B h = 9 m C h = 4,8 m D h = 7 m Längen im Koordinatensystem Berechne den Abstand der angegebenen Punkte! Überprüfe die Rechnung durch eine Zeichnung! a) P = ​(1 1 7)​,Q = ​(7 1 2) ​ c) T = ​(‒1 1 0)​, U = ​(6 1 4) ​ e) A = (3 1 ‒2), B = (1 1 ‒3) b) R = ​(2 1 1)​, S = ​(7 1 5) ​ d) V = ​(‒3 1 ‒2)​, W = (0 1 6) f) M = ​(‒2 1 ‒4)​, N = (‒5 1 2) Berechne die Seitenlängen und den Umfang des Dreiecks ABC! a) A = ​(1 1 3)​, B = ​(12 1 1)​, C = ​(6 1 9) ​ c) A = ​(‒3 1 ‒2)​, B = ​(4 1 0)​, C = ​(0 1 6)​ b) A = ​(1 1 ‒4)​, B = ​(11 1 0)​, C = (7 1 8) d) A = ​(‒8 1 1)​, B = ​(5 1 4)​, C = (7 1 10) Berechne den Umfang der angegebenen Figur! 721 B O M DI Beispiel A = (1 1 4), B = (6 1 1) B Kathete x Kathete y A x y 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 Hypotenuse z z = ​√ _____ ​x ​2 ​+ ​y ​2 ​ x: Unterschied der x-Koordinaten: † 6 – 1 † = 5 y: Unterschied der y-Koordinaten: † 1 – 4 † = 3 z = ​√ _____ ​5 ​2 ​+ ​3 ​2 ​= ​√ __ 34 ​= 5,83… w ​ __ AB ​≈ 5,8 E 722 B O M DI 723 B O M DI x y 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 A a b c d e f B C D E F Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Beweise für den Satz des Pythagoras 185 H 2 2 Beweise für den Satz des Pythagoras Dora ist nach wie vor skeptisch, ob der Satz des Pythagoras auch wirklich in jedem rechtwinkligen Dreieck ganz genau stimmt. Axel möchte ihr helfen und meint: „Jetzt haben wir schon gefühlt 100 Dreiecke mit dem Satz des Pythagoras vermessen und immer hat es gestimmt, was zweifelst du noch?“ Das Vermessen der Dreiecke stellt Dora jedoch nicht zufrieden. Sie weiß, dass es in der Mathematik nicht reicht, ein anzugeben, um einen Sachverhalt zu beweisen. Sie sucht nach einem Beweis. Messungen bei einzelnen geometrischen Figuren können niemals die Gültigkeit eines Gesetzes für alle gleichartigen Figuren beweisen. Jedoch sollte man nicht auf Konstruieren und Messen verzichten, da sie häufig helfen, geometrische Zusammenhänge zu erkennen. Oft legen sie auch nahe, wie ein Beweis geführt werden kann. Beweis durch Umlegen a c b a c b α β δ a c b c a b c2 a c c b a2 b2 a b a b a b 1) Zeichne zunächst zwei Quadrate mit Seitenlänge a + b (als Rahmen)! 2) Schneide vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit Katheten a und b und Hypotenuse c aus! 3) Lege diese so wie in der linken Figur in den quadratischen Rahmen! 4) Überlege, warum das Viereck in der Mitte ein Quadrat mit Flächeninhalt ​c​2 ​ist! 5) Die vier rechtwinkligen Dreiecke aus der linken Figur kannst du auch so wie in der rechten Figur anordnen. Begründe, warum die blauen Quadrate rechts zusammen gleich groß wie das linke blaue Quadrat sein müssen und beweise damit den Satz des Pythagoras! Rechnerischer Beweis 1) Begründe folgenden Zusammenhang zwischen den Flächeninhalten im linken Quadrat oben: ​A ​blaues Quadrat ​= ​A ​großes Quadrat ​– 4·​A ​rechtwinkliges Dreieck​ 2) Zeige, dass daraus ​c​2 ​= ​a ​2 ​+ ​b ​2 ​folgt! 3) Recherchiere im Internet zum Beweis von Garfield! Wie hängt sein Beweis mit diesem zusammen? interaktive Vorübung kv7dj9 AH S. 58 Um die allgemeine Gültigkeit eines mathematischen Satzes zu zeigen, braucht es einen Beweis. Für den Satz des Pythagoras sind ca. 500 verschiedene Beweise bekannt. Diese Beweise sind sehr unterschiedlich (rechnerisch, geometrisch durch Umlegen,…). Beweise für den Satz des Pythagoras 724 * B O M DI Im rechtwinkligen Dreieck gilt: α + β = 90°. Damit kann man sich die Größe von δ überlegen! Tipp 725 * * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras 186 H 2 Umkehrung des Satzes von Pythagoras Für die Seitenlängen des Dreiecks ABC soll gelten: ​a​2 ​+ ​b ​2 ​= ​c ​2​. 1) Konstruiere ein Dreieck DEF mit den folgenden Angaben: ​ __ EF ​= a, ​ __ DF ​= b, ¼ DFE = 90°! Nach welchem Kongruenzsatz ist dieses eindeutig bestimmt? 2) Weil ΔDEF rechtwinklig ist, gilt nach dem Satz des Pythagoras für die Seite x = ​ __ DE​die Gleichung ​ x ​2 ​= ​a ​2 ​+ ​b ​2​. Somit folgt, dass ​x​2 ​= ​c ​2​, also x = c ist, weil Seitenlängen immer positiv sind. Nach welchem Kongruenzsatz ist damit ΔABC kongruent zu ΔDEF? Da ΔDEF rechtwinklig ist, muss also auch ΔABC rechtwinklig sein. Verwende für den Schaufelradbeweis von Henry Perigal das Schnittmuster im Anhang! Bei diesem Beweis wird das Quadrat mit Seitenlänge b durch zwei rechtwinklige Strecken in vier Teile geteilt. Der Kreuzungspunkt der Strecken liegt genau im Mittelpunkt des Quadrates. Sie ergeben gemeinsam die Fläche des Quadrats mit Seitenlänge b. 1) Gib mit den Variablen a, c, x, y an, wie lang die Seiten des Parallelogramms ABDE sind! 2) Begründe, warum die freie weiße Fläche im unteren Quadrat genau vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten haben muss! 3) Wie groß ist die Seitenlänge dieses Quadrats? Das rechtwinklige Dreieck ABC (➞ Figur rechts) mit den Seitenlängen a, b, c und dem Flächeninhalt ​ A ​1​ wird durch die Höhe h in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke mit den Flächeninhalten ​A​2​ und ​A ​3​ zerlegt. Es gilt also ​A ​1 ​= + . 1) Zeige, dass die drei rechtwinkligen Dreiecke zueinander ­ ähnlich sind! 2) Für ähnliche Figuren gilt, dass sich die Flächeninhalte wie die Quadrate einander entsprechender Längenstücke verhalten, dh. ​A​2​​A ​1 ​= ​a ​ 2​​c ​2​ und ​A ​ 3​​A ​1 ​= ​b ​ 2​​c ​2​. Drücke aus den beiden Proportionen ​ A ​2​ bzw. ​A ​3​ aus! 3) Setze diese Terme in die Gleichung ​A​1 ​= ​A ​2 ​+ ​A ​3​ ein und forme so um, dass sich der Satz des Pythagoras ergibt! Klappt man die drei Dreiecke ​A​1​, ​A ​2​, ​A ​3​ aus Aufgabe 728 nach außen (➞ Figur rechts), so gilt ​A​ 2 ​+ ​A ​3 ​= ​A ​1​. Diese Besonderheit gilt auch für die Flächeninhalte beliebiger ähnlicher Figuren, die man über den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks errichtet (➞ Figuren unten). Da diese Figuren jeweils zueinander ähnlich sind, kannst du die Terme für die Flächeninhalte ​A​2 ​und ​A​3 ​aus Aufgabe 728 verwenden. Begründe, dass aus ​A​2 ​+ ​A ​3 ​= ​ ​a ​2​ __ ​c ​2​ ​·​A ​1 ​+ ​ ​b ​2​ __ ​c ​2​ ​·​A ​1​ der Zusammenhang ​A​1 ​= ​A ​2 ​+ ​A ​3​ folgt! 726 B O M DI a a c c y y x x A B C D E b b 727 * B O M DI A B C a b c h A2 A3 728 * B O M DI A B C A2 A3 A1 729 * * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI A B C A 2 A3 A1 A B C A2 A3 A1 A B C A2 A3 A1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Berechnungen in ebenen Figuren 187 H 3 3 Berechnungen in ebenen Figuren Um den Satz des Pythagoras anwenden zu können, sucht man in den Figuren nach rechtwinkligen Dreiecken. Höhen und Diagonalen sind dabei oft hilfreich. 3.1 Dreiecke Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck Das gleichschenklige Giebeldreieck im Bild links hat eine 7m lange Basis und 3,7m lange Seitenkanten. Um den Flächeninhalt mit der Formel A = ​ c·​h ​c​ ___ 2 ​zu berechnen, benötigt man die Länge von ​h​c​. Im gleichschenkligen Dreieck ist ​h​c ​= ​√ ______ ​a ​2 ​‒ ​( ​c _ 2 ​) ​ 2 ​. Damit ergibt sich eine Höhe von m und somit beträgt der Flächeninhalt ​m ​2​. Beim gleichseitigen Dreieck ist die Basis ebenso lang wie die anderen Seiten. Daher ergibt sich für die Höhe im gleichseitigen Dreieck h = ​√ ______ ​a ​2 ​‒ ​( ​a _ 2 ​) ​ 2 ​. Diese Formel lässt sich weiter vereinfachen: h = ​√ _____ ​a ​2 ​‒ ​​a ​ 2​ __ 4 ​ = ​√ ___ ​ 3 _ 4 ​​a ​ 2 ​ = ​ ​√ _ 3 ​ __ 2 ​a. Für den Flächeninhalt gilt daher: A = h· ​a _ 2 ​= ​ ​√ _ 3 ​ __ 2 ​a· ​ a _ 2 ​= ​ ​√ _ 3 ​ __ 4 ​​a ​ 2​. Steigung und Steigungsdreieck Die Steigung (bzw. das Gefälle) berechnet man mit dem Quotienten ​h __ w ​= ​ Höhenunterschied ______________ waagrechte Entfernung ​. Da man auf der Straße meist die Entfernung s (= Hypotenuse) misst, muss man die waagrechte Entfernung w mit dem Satz des Pythagoras berechnen: w = ​√ _____ ​s ​2 ​– ​h ​2 ​. Zeichne in den allgemeinen Dreiecken rechtwinklige Dreiecke ein! Verwende dafür eine geeignete Höhe! interaktive Vorübung kw47qn AH S. 59 A B C F a a hc c 2 c 2 A B C a a h a 2 a 2 s h w Gleichschenkliges Dreieck: ​h ​c ​= ​√ _______ ​a ​ 2 ​− ​( ​c __ 2 ​) ​ 2 ​ Gleichseitiges Dreieck: h = ​ ​√ __ 3 ​ ___ 2 ​a A = ​ ​√ __ 3 ​ ___ 4 ​a ​ 2​ Das Steigungsdreieck: Die Steigung (bzw. das Gefälle) berechnet man mit dem Quotienten ​h __ w ​= ​ Höhenunterschied ______________ waagrechte Entfernung ​. Der Satz des Pythagoras in Dreiecken 730 B O M DI A B C a b c A B C a b c A B C a b c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras 188 H 3 Das rechtwinklige Giebeldreieck einer Hausfront hat eine 12,0 m lange Hypotenuse. Die eine Kante des Giebeldreiecks ist 9,6 m lang. a) Wie lang ist die zweite Kante des Giebeldreiecks? b) Wie groß ist der Flächeninhalt des Giebeldreiecks? Ein Seilbagger soll Erde aus einem Teich schaufeln (➞ Abb. rechts). Die Schaufel hat vom Bagger 5,2 m waagrechte Entfernung. Der Ausleger ist 17,3 m lang. 1) Wie lang ist das Seil vom Ende des Auslegers bis zur Wasseroberfläche? 2) Welchen Winkel schließen Ausleger und Seil ein? Fertige eine Zeichnung im Maßstab 1500 an (ohne den Bagger zu zeichnen)! Im ebenen Gelände ist die Länge einer Strecke AB zu ermitteln. Dabei ist eine direkte Messung wegen eines Hindernisses nicht möglich (Wasser, Berg, …). In solchen Fällen kann man AB als Hypotenuse eines rechwinkligen Dreiecks auffassen. Man nimmt einen Punkt P so an, dass AP © BP ist und misst die Längen der Katheten ​ __ AP ​= a, ​ __ BP ​= b (➞ Figur rechts). Berechne die Länge der Strecke AB! a) a = 45 m b) a = 580 m c) a = 450 m d) a = 3,60 km e) a = 4,2 km b = 24 m b = 609 m b = 240 m b = 2,70 km b = 4,0 km 1) Berechne die waagrechte Entfernung w! 2) Berechne die Steigung und drücke sie in Prozent aus! a) s = 168,1 m, h = 36,9 m b) s = 585 m, h = 144 m Die Länge der Hahnenkammabfahrt in Kitzbühel („Streif“) beträgt 3 312 m. Dabei wird ein Höhenunterschied von h = 860 m überwunden. Berechne die mittlere Steigung der „Streif“! Alexandra fährt mit dem Rad auf den Linzer Pöstlingberg. Sie überwindet auf einer Strecke von 3,6 km einen Höhenunterschied von 261 m. Berechne die mittlere Steigung! 1) Berechne die mittlere Steigung für nachfolgende Angaben! 2) Bei welchen Angaben könnte man anstelle der korrekten Formel auch mit ​h _ s ​näherungsweise die mittlere Steigung berechnen? Begründe deine Antwort! a) h = 12 m, s = 150 m c) h = 75 cm, s = 3 m e) h = 200 m, s = 300 m b) w = 340 m, s = 370 m d) w = 5 400 m, s = 5 500 m f) w = 54 dm, s = 75 dm Ein Radweg soll eine Höhendifferenz von 12 m überwinden. Der direkte Weg hat eine Länge von 130 m (Bild rechts). 1) Welche Steigung hätte diese Rampe? 2) Der Radweg wird mit einem Umweg als Serpentine geplant. Wie lange muss dieser Umweg sein, wenn eine mittlere Steigung von 6 % nicht überschritten werden darf? 731 B O M DI Erde Schaufel Ausleger (Baggerarm) 732 B O M DI A B P 733 B O M DI 734 B O M DI 735 B O M DI 736 B O M DI Radweg r 12 737* * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI 738 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Berechnungen in ebenen Figuren 189 H 3 Kreuze für ➀ und ➁ so an, dass eine korrekte Aussage entsteht! ➀ ist immer kürzer als die Streckenlänge s, da die Streckenlänge s der ➁ des rechtwinkligen Steigungsdreiecks entspricht. ➀ ➁ Die waagrechte Entfernung w Kathete Der Anstieg Hypotenuse Die Steigung Steigung Manuel fährt Ski. Bei der Talstation eines Schlepplifts liest er: Länge: 565 m, Fahrzeit: 3 min 50 s, Höhenunterschied 75 m, Beförderungskapazität: 1 200 Personen/Stunde. 1) Berechne die mittlere Steigung des Hanges! 2) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Schlepplifts! Kreistangente Legt man in einem Punkt T eines Kreises die Tangente, so steht diese immer im rechten Winkel zum Berührradius (➞ Figur links unten). Wenn man nun von einem Punkt P außerhalb des Kreises die Tangente t an den Kreis legen möchte, dann muss der Berührpunkt T erst gefunden werden. Die Normale auf die Tangente bei T muss durch den Kreismittelpunkt M verlaufen (➞ Figur rechts unten). Es entsteht also ein rechtwinkliges Dreieck ¶MPT mit ¼ PTM = 90°. Ein Punkt P hat vom Mittelpunkt M eines Kreises mit dem Radius r den Abstand z. 1) Berechne die Länge x der Tangentenstrecke PT mit dem Satz des Pythagoras! 2) Konstruiere die Tangente durch den Punkt P, indem du die Stecke x von P aus mit dem Zirkel abschlägst! a) r = 24 mm, z = 74 mm b) r = 3,6 cm, z = 8,5 cm c) r = 32 mm, z = 70 mm Welchen Abstand z muss ein Punkt P vom Mittelpunkt M eines Kreises mit dem Radius r = 28 mm haben, wenn die Tangentenstrecke die Länge x haben soll? a) x = 96 mm b) x = 45 mm c) x = 70 mm d) x = 28 mm e) x = 57 mm Sichtweite von Berggipfeln und Türmen Auf Segelkursen wird oft ein „Mann-über-Bord“-Manöver trainiert. Dabei wird eine Schwimmboje ins Wasser geworfen, die wieder gefunden werden soll. Wie groß ist der Bereich, der von einem Boot aus 3 Meter über der Wasseroberfläche überblickt werden kann? (➞ Infobox Seite 190) 739 B O M DI B O M DI 740 741 B O M DI M r t T M r t T x z P 742 B O M DI 743 B O M DI gi6n8h Arbeitsblatt Plus Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras 190 H 3 1) Betrachte die Figur rechts! Ordne die Begriffe korrekt zu! R = ca. h = t = (entspricht der Länge der Tangentenstrecke) M R t T R h 2) Zeige, dass die Sichtweite t = ​√ _______ ​h ​2 ​+ 2 hR ​ist! 3) Begründe, dass selbst für den höchsten Berg der Erde gilt: ​h​2​ ist viel kleiner als 2 hR. Ordne die theoretische Sichtweite t (➞ Infobox) von den angegebenen Berggipfeln zu! a) Schöpfl (≈ 890 m) b) Birnhorn (≈ 2 600 m) c) Dachstein (≈ 3 000 m) d) Großglockner (≈ 3 800 m) e) Mont Blanc (≈ 4 800 m) t ≈ 220 km Zeige, dass sich die Näherungsformel für die Sichtweite (➞ Infobox) zu t ≈ 3,6·​√ __ h​verändert, wenn man die Höhe h in Meter einsetzt (t in km)! Gehe dazu wie in der Infobox vor! Verwende die Näherungsformel aus Aufgabe 746! a) Wie weit kann man vom Ufer des Meeres aus sehen, wenn man seine Augenhöhe 1) in 1 m, 2) in 1,7 m Höhe hat? b) In welcher Entfernung könnte der Kapitän eines Kreuzfahrtschiffes, das auf hoher (und ruhiger) See ist, frühestens ein auf dem Wasser treibendes Rettungsboot eines anderen Schiffes sehen? Die Kapitänsbrücke des Schiffs befindet sich 55 m über dem Meeresspiegel. c) Wie weit ist der Horizont entfernt, wenn man im Wasser schwimmt (Augenhöhe ca. 30 cm)? Man sagt, dass man vom Gipfel des Großvenediger (3 674 m), einem Berg an der Grenze zwischen Salzburg und Osttirol, bei guter Sicht das rund 200 km (Luftlinie) entfernte Venedig sehen kann. Begründe, ob diese Aussage richtig ist oder ob es sich um „Bergsteigerlatein“ handelt! a) Wie weit könnte eine Astronautin von der internationalen Raumstation ISS aus (mittlere Entfernung von der Erde ca. 400 km) theoretisch bis zum Horizont der Erde sehen? Berechne das Ergebnis mit der exakten Formel und mit der Näherungsformel und begründe, warum sich hier ein großer Unterschied ergibt! b) Wie weit müsste man von der Erde entfernt sein, damit man die halbe Erdkugel überblicken kann? 744 * B O M DI Sichtstrecke/Sichtweite Höhe eines Turmes oder eines Berggipfels (mittlerer) Erdradius 6 370 km 745 B O M DI t ≈ 125 km t ≈ 196 km t ≈ 248 km t ≈ 107 km t ≈ 182 km 746 * B O M DI 747 B O M DI 748 * B O M DI 749 * * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI Sichtweite Weil für gewöhnlich die Höhe h viel kleiner als der Erdradius R ist, vereinfacht sich die Formel für die Sichtweite t = ​√ _______ h2 + 2 hR ​durch Vernachlässigen von ​h​2​ zu t ≈ ​√ ____ 2 hR ​. Da R ≈ 6 370 km ist, ergibt sich t ≈ ​√ ______ 12 740 h ​ ≈ 113 ​√ __ h​. Die Höhe h muss dabei in Kilometer angegeben werden; die Sichtweite t erhält man ebenfalls in Kilometer. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Berechnungen in ebenen Figuren 191 H 3 3.2 Rechteck und Quadrat Monas Handydisplay ist 57mm breit und 100 mm lang. Aus diesen Angaben möchte Mona die Bildschirmdiagonale ausrechnen, um diese mit der Herstellerangabe zu vergleichen. Da jedes Rechteck durch seine Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt wird, rechnet Mona d = ​√ ____________ + ​≈ mm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm und somit erhält sie für die Bildschirmdiagonale d ≈ Zoll. Das Quadrat ist ein besonderes Rechteck. Daher lässt sich die Diagonale auf die gleiche Weise berechnen. Da beide Seiten gleich lang sind, ergibt sich: d = ​√ ____________ + ​= = ​√ _ 2 ​·a. Von einem Rechteck ABCD sind die Längen der Diagonale und einer Seite gegeben. Berechne 1) die Länge der anderen Seite, 2) den Flächeninhalt und 3) den Umfang! a) d = 89 mm, a = 80 mm b) d = 72,4 m, b = 7,60 m c) d = 296 m, a = 198 m Ein Volleyballfeld besteht aus zwei aneinandergrenzenden gleich großen Quadraten. Die Seiten dieser Quadrate sind a) bei einem Volleyballfeld 9 m lang, b) bei einem Beachvolleyballfeld 8 m lang. Wie lang ist die Diagonale 1) des gesamten Feldes, 2) einer Spielfeldhälfte? In der Abbildung sind die Maße eines Tennisplatzes angegeben. Beim Aufschlag muss der Spieler vom Punkt A aus den Ball in die orange markierte Fläche schlagen. Profitennisspieler schaffen dabei eine Aufschlaggeschwindigkeit von ca. 200 km/h und mehr. Berechne die Zeit zwischen dem Aufschlag und dem Aufkommen des Balles in der orangen Fläche! Nimm die längstmögliche Strecke an! Die Diagonale eines Rechtecks mit der Seitenlänge b = 4 m beträgt a) 7,4 m, b) 16,25 m, c) 5 m. Berechne 1) die Länge der Seite a, 2) den Flächeninhalt und 3) den Umfang des Rechtecks! Ordne dem entsprechenden rechteckigen Turnsaal die Länge der Diagonale zu! 1 Länge: 24 m, Breite: 18 m A d = 32,5 m 2 Länge: 28 m, Breite: 16,5 m B d = 30 m 3 Länge: 40 m, Breite: 9 m C d = 41 m D d = 36 m A B C D a d b = a Diagonale im Rechteck: d = ​√ _____ ​a ​ 2 ​+ ​b ​2 ​ Diagonale im Quadrat: d = ​√ _ 2 ​·a Satz des Pythagoras in Rechteck und Quadrat Video kw686g 750 B O M DI 751 B O M DI 752 B O M DI A 8,23 m 6,40 m 11,89 m Netz 753 D A O I 754 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras 192 H 3 Von einem rechteckigen Bildschirm eines Fernsehgerätes kennt man die Diagonalenlänge. Wie groß sind die ungefähren Ausmaße des Rechtecks, wenn sich die Breite zur Höhe des Bildschirmes etwa wie 43 verhält? a) d = 20 cm b) d = 55 cm c) d = 72 cm d) d = 85 cm Verwende bei Aufgabe 755 das Verhältnis 169! Ein Foto soll gerahmt werden. Die Diagonale des Fotos ist 12 cm lang und dessen Seitenlängen verhalten sich wie 43. Berechne den Umfang des Rahmens, wenn um das Foto 2 cm freier Platz bleiben soll! Von einem Rechteck kennt man den Umfang u und das Verhältnis der Seitenlängen a und b. Berechne die Seitenlängen und den Radius des Umkreises! a) u = 56 mm, ab = 43 b) u = 109,6 m, ab = 7265 Die Größe von Bildschirmen wird in Zoll angegeben. Gib die Diagonale in Zoll (1 Zoll š 2,54 cm) an! a) Smartphone: 150 mm × 69 mm c) Computerbildschirm: 620 mm × 295 mm b) Tablet: 210 mm × 138 mm Von verschiedenen Rechtecken ABCD sind die Längen der Diagonalen und einer Seite gegeben. Kreuze die beiden Vierecke an, bei denen es sich jeweils um ein Quadrat handelt! A d = ​√ __ 50 ​, a = 5 B d = ​√ __ 49 ​, a = 4 C d = ​√ __ 18 ​, b = 9 D d = ​√ __ 72 ​, b = 6 E d = ​√ __ 12 ​, b = 3 Von einem Quadrat ist die Länge der Diagonale gegeben. Berechne 1) die Länge der Seite, 2) den Flächeninhalt, 3) den Radius des Inkreises, 4) den Radius des Umkreises! a) d = 5,0 cm c) d = 830 mm e) d = 0,75 m b) d = 6,7 cm d) d = 1,15 m Quadratische Fliesen mit a) 25 cm, b) 30 cm Kantenlänge sollen wie in der Figur rechts verlegt werden. Dabei müssen einige Fliesen geschnitten werden. Für welche Länge muss der Fliesenschneider mindestens geeignet sein? Drücke a) den Flächeninhalt, b) den Umfang der orangen Fläche in der nebenstehenden Figur mit Hilfe von a aus! Von einem quadratischen Tischtuch ist die Seitenlänge bekannt. Berechne 1) den Flächeninhalt, 2) die Diagonalenlänge des Tischtuches! a) a = 70 cm b) a = 1,10 m c) a = 1,40 m d) a = 1,75 m e) a = 2,05 m 755 B O M DI Beispiel d = 37 cm 1. Art: d = ​√ _____ ​a ​2 ​+ ​b ​2 ​ ​a _ b ​= ​4 _ 3 ​É a = ​4 _ 3 ​b 2. Art: a š 4 Teile, b š 3 Teile; a = 4 t, b = 3 t d = ​√ _______ ​( ​4 _ 3 ​b ) ​ 2 ​+ ​b ​2 ​= ​√ _______ ​16 __ 9 ​b ​2 ​+ ​b ​2 ​= ​√ ____ ​ 25 __ 9 ​b ​2 ​= ​ 5 _ 3 ​b d = ​√ _________ ​(4 t) ​2 ​+ ​(3 t) ​2 ​= ​√ ____ 25 t​​2 ​= 5 t 37 = ​ 5 _ 3 ​b É b = 22,2 cm t = ​d _ 5 ​= 7,4 cm b = 22,2 cm, a = ​4 _ 3 ​·22,2 = 29,6 cm a = 4·t = 29,6 cm, b = 3·t = 22,2 cm 756 B O M DI 757 B O M DI 758 B O M DI 759 B O M DI 760 B O M DI 761 B O M DI 762 B O M DI a a 763 B O M DI 764 B O M DI gs2ex2 Arbeitsblatt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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