Humenberger (Hrsg.) Aue, Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl A B C Das ist Mathematik QuickMedia App für Videos 4
Das ist Mathematik 4, Schülerbuch + E-Book Schulbuchnummer: 225368 Das ist Mathematik 4, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 225370 Das ist Mathematik 4, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer: 225371 Das ist Mathematik 4, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer: 225373 Mit Bescheid des Bundesministeriums Bildung vom 17. Februar 2026, Geschäftszahl: 2024-0.697.760, gemäß § 14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 4. Klasse an Mittelschulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) und für die 4. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Dr. Herbert Löffler, Wien Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: weissbunt, design und kontext, Berlin Layout: weissbunt, design und kontext, Berlin Satz: CMS - Cross Media Solutions GmbH, Würzburg Druck: Brüder Glöckler GmbH, Wöllersdorf ISBN 978-3-209-12274-2 (Das i. Mathematik SB 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-12278-0 (Das i. Mathematik SB 4 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13081-5 (Das i. Mathematik SB 4 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13085-3 (Das i. Mathematik SB 4 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
A B C Das ist Mathematik 4 www.oebv.at Interaktive Übungen auf www.oebv.at von: Dipl.-Päd. Thomas Schroffenegger, BEd MAS MSc Lösungen sind in jeder Buchhandlung und auf www.oebv.at erhältlich Univ.-Prof. Mag. Dr. Hans Humenberger (Hrsg.) HR Mag.a Vera Aue Mag. Johannes Hasibeder DI Mag. Dr. Michael Himmelsbach, MA Mag.a Johanna Schüller-Reichl Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis 2 Inhaltsverzeichnis Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Mathematische Zeichen 8 Wiederholung 10 Kompetenzbereich – Zahlen und Maße A Reelle Zahlen 16 1 Wurzeln 18 1.1 Einführung von Wurzeln 18 1.2 Eigenschaften von Wurzeln 20 1.3 Rechenregeln für Wurzeln 21 2 Zahlenmengen 23 2.1 Natürliche und ganze Zahlen 23 2.2 Rationale und irrationale Zahlen 25 3 Reelle Zahlen 27 3.1 Eigenschaften reeller Zahlen 27 3.2 Reelle Zahlen und Zahlenmengen 29 4 Intervalle 31 Vernetzte Aufgaben 33 Wissensstraße 35 Technologie – Zahlen und Maße 36 Kompetenzbereich – Variablen und Funktionen B Terme 38 1 Eigenschaften von Termen 40 1.1 Termarten 40 1.2 Rechnen mit Termen 42 1.3 Termstrukturen 47 2 Bruchterme 51 2.1 Eigenschaften von Bruchtermen 51 2.2 Kürzen und Erweitern von Bruchtermen 52 2.3 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen 54 2.4 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen 56 Vernetzte Aufgaben 59 Wissensstraße 61 C Gleichungen und Formeln 62 1 Äquivalente Gleichungen 64 2 Formeln 69 Vernetzte Aufgaben 71 Wissensstraße 73 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 D Funktionen 74 1 Einführung von Funktionen 76 1.1 Eindeutige Zuordnungen 76 1.2 Darstellungsarten von Funktionen 77 1.3 Wechsel zwischen den Darstellungsarten 79 2 Lineare Funktionen 85 2.1 Direkt proportionale Funktionen 85 2.2 Steigung der Geraden 86 2.3 Allgemeines Steigungsdreieck 88 2.4 Allgemeine lineare Funktionen 90 2.5 Eigenschaften linearer Funktionen 93 3 Weitere Funktionstypen 96 3.1 Quadratische Funktionen 96 3.2 Indirekt proportionale Funktionen 98 Vernetzte Aufgaben 99 Wissensstraße 102 E Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 104 1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 106 1.1 Lösungen und Lösungsmenge 106 1.2 Lösungsmenge graphisch darstellen 108 2 Graphisches Lösen linearer Gleichungssysteme 110 3 Koeffizienten und Lösungsfälle 112 4 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme 115 4.1 Einsetzungsverfahren 115 4.2 Gleichsetzungsverfahren 116 4.3 Eliminationsverfahren (Additionsverfahren) 117 5 Lösen von Textaufgaben 119 Vernetzte Aufgaben 123 Wissensstraße 126 Technologie – Variablen und Funktionen 128 Kompetenzbereich – Daten und Zufall F Statistik und Wahrscheinlichkeit 134 1 Häufigkeiten und Diagramme 136 2 Mittelwerte 138 2.1 Wiederholung 138 2.2 Gewichtetes arithmetisches Mittel 140 2.3 Mittelwert von Mittelwerten 142 3 Vierfeldertafel 144 4 Wahrscheinlichkeit 147 4.1 Baumdiagramme und relative Anteile 147 4.2 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten nach Laplace 149 4.3 Wahrscheinlichkeiten bei zwei- und mehrstufigen Zufallsexperimenten 151 Vernetzte Aufgaben 155 Wissensstraße 158 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis 4 Technologie – Daten und Zufall 160 Kompetenzbereich – Figuren und Körper G Berechnungen am Kreis 162 1 Die Kreiszahl π 164 2 Umfang des Kreises 166 3 Länge des Kreisbogens 169 4 Flächeninhalt des Kreises 171 5 Flächeninhalt des Kreissektors 174 Vernetzte Aufgaben 176 Wissensstraße 179 H Satz des Pythagoras 180 1 Satz des Pythagoras 182 2 Beweise für den Satz des Pythagoras 185 3 Berechnungen in ebenen Figuren 187 3.1 Dreiecke 187 3.2 Rechteck und Quadrat 191 3.3 Drachenviereck (Deltoid) 193 3.4 Raute und Parallelogramm 194 3.5 Trapez 196 3.6 Regelmäßige Vielecke 198 4 Katheten- und Höhensatz 199 5 Berechnungen in Körpern 201 5.1 Prisma 201 5.2 Pyramide 204 Vernetzte Aufgaben 208 Wissensstraße 210 I Zylinder, Kegel und Kugel 212 1 Zylinder 214 2 Kegel 219 2.1 Volumen des Kegels 219 2.2 Oberfläche des Kegels 221 3 Kugel 224 Vernetzte Aufgaben 226 Wissensstraße 229 Technologie – Figuren und Körper 230 Übungen für die Oberstufe Zahlen und Maße 234 Variablen und Funktionen 239 Daten und Zufall 245 Figuren und Körper 250 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Anhang Lösungen zu den Wissensstraßen 255 Lösungen zu Übungen für die Oberstufe 258 Formelsammlung 262 Register 269 Bildnachweis 271 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Willkommen zu Das ist Mathematik Liebe Schülerin, lieber Schüler, wir möchten dich herzlich in der vierten Klasse begrüßen. Das Buch Das ist Mathematik wird dich wieder im Mathematikunterricht begleiten. Wir möchten dir zeigen, dass Mathematik mehr als Rechnen ist. Mathematik ist… … eine Sprache. Deswegen werden dir sogenannte Sprachbausteine bei der Übersetzung von Mathematik in die Alltagssprache und umgekehrt helfen. Insbesondere unterstützen dich die Sprachbausteine, wenn du Sachverhalte interpretieren und begründen sollst. … wichtig für die geschichtliche Entwicklung der Menschheit. Deswegen wirst du einen Teil davon mit Hilfe der geschichtlichen Motivationsseiten am Anfang jedes Abschnitts kennenlernen. Hier findest du auch Rätsel und interessante Aufgaben zu den Bildern. Die Lösungen dazu findest du auf www.oebv.at unter dem digitalen Zusatzmaterial von Das ist Mathematik. Der Term und der angegebene Term sind aquivalent, weil … Sprachbaustein Berechnungen am Kreis G 162 Berechnungen am Kreis gg75vt gj7xu3 Video Das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises Die Bestimmung des Verhältnisses von Umfang und Durchmesser eines Kreises war lange Zeit eine der größten Herausforderungen der Mathematik. Ägyptische Vermessungsbeamte gaben dieses Verhältnis mit 4434 = 25681 ≈ 3,16 an. Darüber wissen wir aus der altägyptischen Abhandlung zu mathematischen Themen, dem Papyrus Rhind. Babylonische Gelehrte schlugen 3 + 1 _ 8 = 3,125 als Wert dieses Verhältnisses vor. 430 n. Chr. gab der chinesische Mathematiker Tsu Chung Chih eine Abschätzung von π auf 7 Kommastellen genau an: 3,141 592 6 < π < 3,141 592 7. Erst der englische Mathematiker William Oughtred (1574– 1630) hat die Bezeichnung π (griechischer Buchstabe p) für das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, wegen des griechischen Wortes „periphereia“ für Umkreis eingeführt. Was wären Berechnungen am Kreis, ohne den Namen Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) zu nennen. Seine legendären Worte „Störe meine Kreise nicht!“ sind sehr bekannt. Er soll sie zu einem römischen Soldaten gesagt haben, als er gerade geometrische Figuren in den Sand zeichnete. Der Römer war darüber so zornig, dass er ihn erstach. Kupferstich von Matthäus Merian (16. Jh.): Tod des Archimedes im Jahr 212 v. Chr. Was hält Archimedes in dieser Darstellung in der linken Hand? Näherungsweise Berechnung von π nach Archimedes Auf Archimedes geht ein Verfahren zurück, wie man das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises beliebig genau berechnen kann. Er schrieb dem Kreis mit dem Durchmesser d = 1 regelmäßige Vielecke ein und um. Je mehr Ecken diese Vielecke hatten, desto besser näherten sich ihre Umfänge dem Umfang des Kreises und damit π an (weil der Durchmesser den Wert 1 hat). Eingeschriebenes Quadrat: Diagonale des Quadrats = Durchmesser des Kreises d = 1 w s4 ≈ 0,707 w u4 (innen) = 4·s4 ≈ 2,828 Umgeschriebenes Quadrat: Seite des Quadrats = Durchmesser des Kreises d = 1 w a4 = 1 w u4 (außen) = 4·a4 = 4 Für den Umfang des Kreises bedeutet das: 2,828 < u < 4 Eingeschriebenes Sechseck: Seite des Sechsecks = Radius des Kreises s6 = r = 1 _ 2 w u6 (innen) = 6·s6 = 3 Umgeschriebenes Sechseck: Höhe der Teildreiecke = Radius des Kreises h6 = r = 1 _ 2 w a6 ≈ 0,577 w u6 (außen) = 6·a6 ≈ 3,464 Für den Umfang des Kreises heißt das: 3 < u < 3,464 d s4 a4 r s6 a6 h6 G 163 Worum geht es in diesem Abschnitt? • näherungsweises Berechnen von π • Umfang und Flächeninhalt des Kreises, des Kreisabschnittes, des Kreisausschnittes und des Kreisringes • Länge des Kreisbogens π – eine irrationale Zahl Tatsächlich hat Archimedes nicht beim Quadrat begonnen, sondern beim Sechseck (sowie mit r = 1 nicht d = 1). Er begann anschließend mit dem Einschreiben und Umschreiben des 12-Ecks, des 24-Ecks und 48-Ecks. Schließlich begnügte er sich mit den Umfängen des ein- und umgeschriebenen 96-Ecks. Er erkannte, dass das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, also π, ein wenig größer als 3 + 10 __ 71 = 3,140 84… und ein wenig kleiner als 3 + 10 __ 70 = 3,142 85… sein muss. Archimedes war überzeugt, dass es wenig Sinn macht, die Größe von π noch genauer zu berechnen. Denn einerseits reichten die beiden Näherungen für praktische Berechnungen aus, andererseits war nicht zu erwarten, dass sich plötzlich ein besonders „schöner“ wahrer Wert für π herausstellen wird. Man vermutete schon relativ bald, dass π nicht als Bruch darstellbar, also eine irrationale Zahl, ist. Erst 1761 wurde diese Vermutung vom schweizerisch-elsässischen Mathematiker Johann Heinrich Lambert (1728–1777) bestätigt. Archimedes erkannte auch, dass die gleiche Größe π nicht nur für die Berechnung des Umfangs, sondern auch für die Berechnung des Flächeninhalts des Kreises, für die Berechnungen des Rauminhalts von Zylinder, Kegel und Kugel sowie für deren Oberflächeninhalte heranzuziehen ist. Archimedes war sich der Wichtigkeit dieser Tatsache so bewusst, dass er verfügte, dass auf sein Grabmal eine Kugel und der sie umschreibende Zylinder zu gravieren und anzugeben sei, dass das Verhältnis ihrer Volumina 23 ist. Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) Angeblich fand Cicero (römischer Politiker, Schriftsteller und Redner, 106–43 v. Chr.) das Grab des Archimedes in Syrakus. Auf welcher Insel liegt Syrakus? Die Pi-Torte zum Pi-Tag am 14.3. (US-amerikanische Datumsschreibweise 3/14) Online Codes zu Videos, Übungen oder Arbeitsblättern Inhalte des Abschnitts Spielerischer Abschluss der Einstiegsseite Quick Media App für Videos Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 18 5cv2s5 engl. AB Vernetzte Aufgaben 1 B O M DI B DI 2 B O M DI 3 B O M DI 4 B O M DI 5 B O M DI Zusammenfassung 19 Lernziele: Ich kann … Wissensstraße Wissensstraße Z 1: Z 2: Z 3: Z 4: Z 5: 6 Z 4 B O M DI 7 Z 2 B O M DI 8 Z 2 Z 3 B O M DI 9 Z 2 B O M DI 10 Z 2, Z 3, Z 4 B O M DI 11 Z 4 B O M DI 12 Z 4 B O M DI 13 Z 5 B O M DI 14 Z 5 Hier findest du Aufgaben, die den gesamten Abschnitt wiederholen oder auch verschiedene Abschnitte miteinander verbinden. Die Aufgabenstellung gilt hier für mehrere Aufgaben Die Lernziele werden oben mit Z1, Z2, Z3, … bezeichnet und im Aufgabenbereich entsprechend geübt. Setze bei jenen Aufgaben, die du beherrscht, ein Häkchen. In der Zusammenfassung findest du die gesamte Theorie des Abschnitts. … Entdecken, Probieren und Knobeln. Deswegen wirst du viele interessante Denksportaufgaben und ein paar harte Nüsse im Buch entdecken. Denksportaufgaben sind mit gekennzeichnet und der Erweiterungsstoff mit . … ein Werkzeug im Alltag. Deswegen findest du interessante Aufgabenstellungen in diesem Buch, die sich aus Informationstexten ergeben. Da oft im Alltag nicht ganz eindeutig ist, welche Information man eigentlich zum Lösen eines Problems braucht, musst du den Text und die Fragestellung genau durchlesen. Aufgaben, die diese Problematik aufgreifen, sind mit gekennzeichnet. … strukturiertes Denken. Deswegen ist auch dieses Buch ganz klar aufgebaut. Am Anfang jedes Kapitels erwartet dich ein kurzer Einstieg, bei dem du auch selbst aktiv wirst. Dann wird das grundlegende Wissen dieses Kapitels vermittelt und in einem Merkkasten zusammengefasst. Beispiele helfen dir beim Anwenden des Wissens und beim Lösen der Aufgaben. Tipps unterstützen dich gezielt beim Lösen der Aufgaben. Damit du alle Inhalte eines gesamten Abschnitts nochmals wiederholst, findest du am Ende die Aufgabensammlung Vernetzte Aufgaben und eine Zusammenfassung. Die anschließende Wissensstraße fasst die Lernziele zusammen und bietet Aufgaben, um diese zu erreichen und zu überprüfen. Wir wünschen dir viel Freude an der Mathematik und mit unserem Buch! Mit Hilfe einer schiefen Ebene kann der Kraftaufwand zur Überwindung … Infobox Tipp Beim Ordnen von Bruchzahlen … Terme können aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern bestehen. Spezielle Terme sind zB Binome, Polynome oder Bruchterme. Termarten Beispiel √ ____ 6 400 = √ ______ 100 · 64 = √ ___ 100 · √ __ 64 = 10 · 8 = 80 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematische Zeichen 8 Symbole und Zeichen Zeichen: ℕ = {0, 1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen Q = Menge der rationalen Zahlen ℕu = {1, 3, 5, …} Menge der ungeraden nat. Zahlen Q + = Menge der pos. rationalen Zahlen ℕg = {0, 2, 4, 6, …} Menge der geraden nat. Zahlen Q – = Menge der neg. rationalen Zahlen Z = {…, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, …} Menge der ganzen Zahlen { } oder Ø: leere Menge Z+ = {1, 2, 3, …} Menge der positiven ganzen Zahlen Z‒ = {…, ‒3, ‒2, ‒1} Menge der negativen ganzen Zahlen = ist gleich ≠ ist nicht gleich, ungleich < kleiner als ≤ kleiner gleich, höchstens gleich > größer als ≥ größer gleich, mindestens gleich ≈ rund, etwa, angenähert gleich š entspricht w daraus folgt É ist gleichbedeutend mit, ist äquivalent zu * ist Element von, gehört zu + ist kein Element von, gehört nicht zu 1 a 1 Betrag von a a n a hoch n, a zur n-ten Potenz √ __ a Quadratwurzel aus a Abkürzungen: Ü Überschlagsrechnung f. A. falsche Aussage P Probe ggT größter gemeinsamer Teiler w. A. wahre Aussage kgV kleinstes gemeinsames Vielfaches Symbole: * Diese Aufgabe bezieht sich auf ein bestimmtes übergreifendes Thema des Lehrplans. Lies genau bei dieser Aufgabe! Du lernst dabei zu beachten, welche Angaben zur Lösung einer Aufgabe wichtig sind. schwierige, herausfordernde Aufgabe, Erweiterungsstoff Denksportaufgabe zum Knobeln Hake die Aufgabe in der Wissensstraße ab, die du richtig gelöst hast! Dieses Symbol gibt die entsprechende Seite im Arbeitsheft an. Damit wird angezeigt, welche der Prozesse (Operieren, Rechnen, Konstruieren; Modellieren, Problemlösen; Darstellen, Interpretieren; Vermuten, Begründen) in der Aufgabe behandelt werden. ! teilt, ist Teiler von … ~ teilt nicht, ist kein Teiler von … % Prozent ‰ Promille u parallel û nicht parallel ¾ rechter Winkel © rechtwinklig zu, normal auf AB Strecke AB __ AB Länge der Strecke AB ¼ ab Winkel zwischen a und b ¼ ABC Winkel zwischen AB und BC t kongruent, deckungsgleich r ähnlich weiterführende Materialien 6xf34v B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Online-Code Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Im Digitalen Zusatzmaterial befinden sich Videos, Technologieanleitungen, interaktive Übungen und Arbeitsblätter. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / Online-Code Suchen 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. öbv QuickMedia App Android iOS Die Prozesse werden bei Das ist Mathematik bei jeder Aufgabe angeführt und mit folgenden Buchstaben gekennzeichnet: Modellieren meint das Bearbeiten außermathematischer Aufgabenstellungen mit Hilfe von Mathematik. Problemlösen meint das Bearbeiten innermathematischer Aufgabenstellungen, die für Schülerinnen und Schüler keine Routineaufgaben sind, insbesondere, wenn ihnen (noch) kein passendes Lösungsverfahren bekannt ist. Operieren meint das Durchführen von Rechen- oder Konstruktionsabläufen. Rechnen meint das Durchführen von Rechenoperationen mit konkreten Zahlen (auch Abschätzen von Größenordnungen) ebenso wie das Umformen algebraischer Ausdrücke und das Lösen von Gleichungen. Konstruieren meint das regelhafte Erstellen von Bildern geometrischer Objekte. B O M DI Darstellen meint das verbale, grafische, tabellarische oder algebraische Beschreiben inner- und außermathematischer Sachverhalte und umfasst auch den Wechsel zwischen solchen Darstellungsarten. Interpretieren meint das Entnehmen von Informationen aus verbalen, grafischen, tabellarischen oder algebraischen Darstellungen und das Deuten im jeweiligen Kontext. Vermuten meint das Aufstellen von Hypothesen aufgrund von Beobachtungen und steht häufig am Beginn eines Begründungsprozesses. Begründen meint das Anführen von Argumenten bzw. das Bilden von Argumentationsketten, um eine Vermutung bzw. Behauptung zu bestätigen oder zu widerlegen. Die mathematische Kompetenz der Schülerinnen und Schüler zeigt sich in der Fähigkeit, diese Handlungen im Rahmen der zentralen fachlichen Konzepte durchführen zu können. Übergreifende Themen Das Ziel der übergreifenden Themen ist die fächerübergreifende Kompetenzentwicklung sowie das vernetzte Lernen der Schülerinnen und Schüler über die fachspezifischen Grenzen hinaus zu unterstützen und mit gesellschaftlich relevanten aktuellen Themen zu verbinden. Insgesamt werden 13 übergreifende Themen im neuen Lehrplan genannt, wobei drei davon nicht verpflichtend für den Mathematiklehrplan sind: • Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung1, • Entrepreneurship Education2, • Gesundheitsförderung3, • Informatische Bildung4, • Interkulturelle Bildung5, • Medienbildung6, • Politische Bildung7, • Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung8, • Sexualpädagogik9 • Sprachliche Bildung und Lesen10, • Umweltbildung für nachhaltige Entwicklung11, • Verkehrs- und Mobilitätsbildung12, • Wirtschafts- Finanz- und Verbraucher/innenbildung13 B O M DI B O M DI B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 10 Wiederholung Die Zwillinge Noah und Sophia (13 Jahre) haben dieses Mal sehr spannende Ferien erlebt. Fast jede Woche waren sie an einem anderen Ort. Ihr erster Aufenthalt war bei ihren Großeltern. Ordne den Rechnungen die passenden Ergebnisse zu! Die Buchstaben verraten dir den Wohnort der Großeltern. 1 (‒4)·(‒7) – (+15)·(‒3) – (‒2)·(‒12) = 2 (‒15) + (‒96)12 + (‒7)·(‒12) = 3 [(‒125)(‒25)]·(‒2) = 4 81(‒9) – (‒70)7 + (‒10) = 5 † ‒7 †·(‒3) – (+5)·† + 7 † = 6 ( ‒7 __ 9 )·( 13 __ 14 ) + 7 __ 12 ·( ‒4 __ 21 ) = 7 [ ( 7 _ 9 ) + ( ‒2 __ 3 ) ] 7 __ 12 = 8 ( ‒7 __ 9 )( 5 _ 6 ) + 7 __ 12 = 9 ( 13 __ 14 )· 7 __ 12 – ( ‒4 __ 21 ) = Wohnort: _ _ _ _ _ _ _ _ _ Gemeinsam mit ihren Großeltern haben sie einen Ausflug in die Stadt gemacht. Eine der Sehenswürdigkeiten ist eine 6,81 m hohe regelmäßige vierseitige Pyramide (➞ Bild rechts). In einem Souvenirshop bekommt Noah eine maßstabsgetreue Nachbildung. Die Maße der Nachbildung betragen für die Höhe 45,4 mm, die Seitenkante 53,6 mm und die Grundkante 40,3 mm. 1) In welchem Verhältnis stehen die Längen der Nachbildung zu den Längen im Original? 2) Berechne die Länge der Seitenkante und der Grundkante in der Wirklichkeit! 3) Berechne das Volumen der Originalpyramide! Der Eintritt in den Zoologischen Stadtgarten kostet für Erwachsene 11 €, für Kinder von 6–15 Jahren 5 €. 1) Stelle eine Formel auf, mit der man den Preis für E Erwachsene und K Kinder berechnen kann! 2) Weiters gibt es jedoch auch Familientickets für zwei Erwachsene und maximal vier Kinder um 27,50 €. Um wie viel Prozent ist das Familienticket für Noah, Sophia und ihre Großeltern günstiger, wenn sie a) zu viert gehen, b) zusätzlich eine Freundin von Sophia mitnehmen? 3) Je mehr Personen insgesamt beim Familienticket mitgehen, desto günstiger wird es durchschnittlich pro Person. Handelt es sich in diesem Fall um einen indirekt proportionalen Zusammenhang? Begründe! 4) Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Kosten für den Eintritt und Anzahl der Kinder, wenn kein Familienticket gekauft wird? AH S. 4 B O M DI 1 ‒ 7 __ 20 H 34 O 49 K ‒56 S 15 __ 16 I ‒ 5 _ 6 R 5 __ 24 T 61 A ‒10 R 41 __ 56 E ‒9 L 4 __ 21 U 2 B O M DI 3 * * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 11 Danach waren die Zwillinge zuhause. Da ihre Eltern berufstätig sind, durften beide einen Elternteil in seiner Arbeitsstelle besuchen. Noah war mit seiner Mutter, die als Molekularbiologin tätig ist, im Labor und Sophia mit ihrem Vater in der Bank. Sophia bringt ihr Sparbuch mit auf die Bank. Vor 5 Jahren zu Jahresbeginn betrug der Guthabenstand 550 €. Der Netto-Jahreszinssatz pnetto % liegt bei 1,125 %. Wie viel Euro Zinsen hat sie in den 5 Jahren bekommen? Sophia hat auch Noahs Sparbuch mit. Er hat vor einem Jahr das letzte Mal Geld eingezahlt. Für den Netto-Jahreszinssatz von 1,125 % hat er 9 € an Zinsen erhalten. Wie hoch war sein Kapital vor einem Jahr? Der Vater schenkt beiden je 100 €. Sophia zahlt das Geld sofort auf ihr Sparbuch ein. Wie viel Euro kann sie davon an ihrem Geburtstag in 154 Tagen (im selben Kalenderjahr) abheben, wenn sie das bisher vorhandene Kapital und die zugehörigen Zinsen unberührt lässt und der Netto-Jahreszinssatz auf 2,75 % erhöht wird? Im Labor untersucht die Mutter Streptokokken. Diese Bakterien verdoppeln sich alle 30–40 Minuten. a) Wie viele Bakterien gibt es nach 1) 2 h, 2) 4 h, 3) 6 h, 4) 8 h, wenn zu Beginn 1 000 Bakterien gezählt wurden? Berechne mit der kürzesten Verdopplungszeit von 30 Minuten und anschließend mit 40 Minuten! Stelle das Ergebnis auch in Gleitkommadarstellung dar! b) Noah entdeckt auf einem Zettel den Term 1 000·210 und fragt seine Mutter, was das bedeutet. Gib eine mögliche Erklärung an! Streptokokken vermehren sich bei einer gewissen Temperatur am besten. Löse die Gleichung (x – 4)2 – x2 = ‒7 x – 20 und du erhältst den Wert der Temperatur! Die optimale Temperatur beträgt °C. Die Streptokokken bestehen aus Zellen mit einem Durchmesser von bis zu 2 μm (2 Mikrometer = 2 μm = 0,000 002 m). In welchem Verhältnis steht dieser Durchmesser zum Durchmesser 1) eines Haares (0,06 mm), 2) einer Stecknadel (0,4 mm) und 3) von Spaghetti (2 mm)? Als Noah seine Mutter im Labor besucht, hat es draußen 30 °C. Im Labor ist es angenehm kühl, denn die Klimaanlage hält die Raumtemperatur bei 18 °C. Noahs Mutter meint scherzhaft: „In unserem Kühlraum ist es noch angenehmer, hier hat es ‒15 °C.“ a) Stelle die Temperaturunterschiede der drei Orte auf einem Zahlenstrahl dar! Ergänze einen Pfeil, der die Gesamtveränderung von draußen zum Kühlraum darstellt! b) Noah meint: „Somit ist es im Kühlraum um 3 °C kälter als im Labor.“ Seine Mutter antwortet ihm, dass er einen Denkfehler gemacht hat. Formuliere seine Aussage mathematisch richtig! Guthabenstand Kn nach n Jahren: K n = K 0· ( 1 + p netto ___ 100 ) n Tipp B O M DI 4 5 B O M DI Zinsen für t Tage: Z netto = K 0· p netto ___ 100 · t ___ 360 Tipp 6 B O M DI 7 B O M DI 8 B O M DI 9 B O M DI 10* * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 12 Im Anschluss fahren Noah und Sophia mit ihren Eltern auf Urlaub. Finde zu den Termen in der linken Spalte die zugehörigen äquivalenten Terme! Trage die Lösungsbuchstaben in das freie Feld ein und du erhältst das Urlaubsland! 1 (a + b)2 = a2 – 2 a b + b2 T 2 (a + b)(a – b) = a2 – a b U 3 (‒a + b)(a + b) = a2 + b2 I 4 (a – b)2 = a2 b – a b2 L 5 (a – b)·a = a2 – b2 O 6 (a + b)·b = a2 b + a b2 A 7 (a + b)·a b = b2 – a2 R 8 (a – b)·a b = a b + b2 G Urlaubsland: _ _ _ _ _ _ _ _ a2 + 2 a b + b2 P Ordne den Figuren die passende Formel für den Flächeninhalt zu (gehe von den üblichen Beschriftungen aus)! Das Lösungswort verrät den Urlaubsort der Familie. 1 Dreieck A = a·h oder A = e·f __ 2 G Urlaubsort: _ _ _ _ _ _ 2 Quadrat A = a2 A 3 Raute A = a·ha ___ 2 S 4 Parallelogramm A = (a + c)·h ______ 2 S 5 Drachenviereck A = e·f __ 2 E 6 Trapez A = a·ha ___ 2 R An einem Regentag vertreiben sich die beiden die Zeit mit dem Bauen eines Kartenhauses. Die Spielkarten sind 9 cm lang. Sophia stellt die Karten in einem Winkel von rund 30° aneinander, Noah wählt einen Winkel von 40°. 1) Fertige eine Zeichnung des jeweiligen Dreiecks an, das entsteht, wenn Sophia bzw. Noah ein Kartenhaus aufstellen! Miss die Länge der Basis ab! 2) Miss die Höhe des jeweiligen Kartenhauses! 3) Beide schaffen vier Stockwerke. Wie hoch sind die beiden Kartenhäuser? Noah hat in einer Zeitschrift gelesen, dass der Goldene Schnitt die harmonische Wirkung bei Fotos verbessert. Dabei sollten die Seiten in einem gewissen Verhältnis geteilt und das Objekt dementsprechend angeordnet werden. Miss in der Abbildung rechts nach und berechne, ob die längere Seite ungefähr im Verhältnis von b1a1 = a1(a1 + b1) bzw. die kürzere Seite im Verhältnis von b2a2 = a2(a2 + b2) entsprechend dem goldenen Schnitt geteilt wurde! 11 B O M DI 12 B O M DI 13 B O M DI a1 a2 b1 b2 14 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 13 Gegen Ende der Ferien waren die Zwillinge in einem Ferienlager. Damit die Buben und Mädchen einander besser kennenlernen konnten, wurde am Anfang mit allen 80 Teilnehmerinnen und Teilnehmern eine Umfrage durchgeführt. In der Umfrage wurden folgende Merkmale abgefragt: Größe ( ), Alter ( ), Nationalität ( ), Schulstufe ( ), Lieblingsbuch ( ), Zufriedenheit mit der Anreise von sehr gut bis schlecht ( ), Dauer der Anreise ( ), Anzahl der Geschwister ( ). 1) Ergänze in den Klammern „n“, falls es sich um ein nominales Merkmal handelt, „o“ für ein ordinales Merkmal und „m“ für ein metrisches Merkmal! 2) Für welches dieser Merkmale kann man das arithmetische Mittel berechnen bzw. den Median ermitteln? Für welches Merkmal kann keiner der beiden Mittelwerte verwendet werden? Kreuze an! Größe Alter Nationalität Schulstufe Buch Zufriedenheit Dauer Geschwister Median arith. Mittel keines Zwei Kinder kommen aus Kroatien, fünf aus der Türkei, sechs aus Serbien, drei aus Polen und der Ukraine sowie eines aus Syrien. Der Rest der Kinder hat als Nationalität Österreich. 1) Stelle die Anzahl der nicht-österreichischen Kinder in einem Säulendiagramm dar! 2) Gib folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des relativen Anteils an: a) Ein zufällig ausgewähltes Kind kommt aus der Türkei. b) Ein zufällig ausgewähltes Kind ist aus Österreich. c) Ein zufällig ausgewähltes Kind ist aus Serbien oder Kroatien. Noah misst 144 cm. Da alle seine Zimmerkollegen größer sind, möchte er wissen, wie viel er vom Durchschnitt entfernt ist. In der Liste sind ihre Körpergrößen (in cm) notiert: 148, 150, 153, 156, 156, 156, 158, 159, 161, 174. 1) Soll er eher mit dem Median oder dem arithmetischen Mittel rechnen, wenn er näher am Durchschnitt sein möchte? Begründe ohne zu rechnen! 2) Berechne die beiden Werte! Sophia hat ihre Zimmerkolleginnen auch noch einmal genauer zu ihren Geschwistern befragt. Das Ergebnis ist im Diagramm dargestellt: Kreuze die Aussagen an, die jedenfalls richtig sind. A Sophia ist zu zwölft im Zimmer. B Die meisten haben ein Geschwisterkind. C Die Wahrscheinlichkeit, dass ein von Sophia zufällig ausgewähltes Kind keine Geschwister hat, liegt bei 1 _ 5 . D Im Durchschnitt hat jedes Kind 1,23 Geschwister. E Der Median liegt bei einem Geschwisterkind. 15 B O M DI 16 B O M DI 17* * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI 18 B O M DI Anzahl Geschwister 0 2 1 3 4 5 6 0 1 2 3 4 Nennungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 14 Für einen Ausflug wird ein Bus zu einem Fixpreis von 320 € gemietet. Wie viel Euro muss jeder abhängig von der Anzahl der Teilnehmerinnen und Teilnehmer des Ausflugs bezahlen? 1) Stelle einen passenden Term auf! 2) In welchem Verhältnis stehen Personenzahl und Kosten pro Person zueinander? 3) Wie viele Personen nehmen mindestens teil, wenn die Fahrt pro Person höchstens 12 € kostet? Das Verhältnis der Anzahl der Betreuerinnen zu der Anzahl der Betreuer ist 32. Wie viele Frauen bzw. Männer sind zur Betreuung mit, wenn es insgesamt 25 Erwachsene gibt? Die Kosten K für das Ferienlager setzen sich zusammen aus einer Tagespauschale p von 45 Euro, den Kosten für zubuchbare Extrakurse e unabhängig von der Dauer des Aufenthalts sowie einer einmaligen Buchungsgebühr von 15 Euro. 1) Stelle einen Term für die Kosten, abhängig von den verbrachten Tagen t, auf! 2) Noah belegt einen Reitkurs um 130 Euro und Sophia einen Tenniskurs um 105 Euro. Wie viel Euro müssen ihre Eltern für beide Kinder bezahlen, wenn sie 10 Tage auf dem Ferienlager bleiben? 3) Noahs Freund bezahlte mit dem Tenniskurs 660 Euro. Wie lange war er auf dem Camp? Wo fand das Ferienlager statt? Kreuze an, um welche Termstruktur es sich handelt! Die entsprechenden Buchstaben verraten dir den Veranstaltungsort. Summe Differenz Produkt Quotient 5 y – 10 x ___ 3 L R W G 10 x + 3 u E I A R 10 x ___ 3 u A L N T 5 ( y – 2 x __ 3 ) T S Z L Veranstaltungsort: _ _ _ _ Bereits letztes Jahr wurde im Ferienlager dieselbe Umfrage gemacht. Der Anbieter möchte überprüfen, ob sich die Zufriedenheit mit der Anreise verbessert hat. Berechne den neuen bzw. ursprünglichen Wert jeweils in einem Schritt! Interpretiere das Ergebnis! Würdest du sagen, dass die Anreise insgesamt angenehmer geworden ist? 1) Letztes Jahr haben 8 Personen „nicht zufrieden“ ausgefüllt. Dieses Jahr sind es 25 % mehr. 2) 20 Personen waren dieses Jahr „sehr zufrieden“. Das entspricht einer Erhöhung um 25 %. 3) Die meisten haben letztes Jahr „eher zufrieden“ gewählt. Es waren 50 Personen. Dieses Jahr waren es 4 % weniger. Die Zwillinge haben von ihren Eltern jeweils 50 € Taschengeld für die Woche mitbekommen. 1) Berechne, wer sparsamer war! Ausgaben Noah: 2,75 €, 3,16 €, 20,50 €, 5,64 €, 1,12 € Ausgaben Sophia: 3,79 €, 12,45 €, 8,42 €, 19,75 € 2) Am Ende des Sommercamps verdreifacht ihre Oma jeweils den übrig gebliebenen Betrag. Berechne, wie viel Geld Noah bzw. Sophia dann zur Verfügung hat! 19 B O M DI 20 B O M DI 21 B O M DI 22 B O M DI 23 B O M DI 24 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 15 Zum Abschluss der Ferien fährt die Familie zum Campen. Während Noah und Sophia im Zelt übernachten, schlafen die Eltern in einer kleinen Hütte (➞ Abbildung rechts). Die Hütte sieht von vorne wie ein gleichschenkliges Dreieck aus. Welche Dreiecke in der Hausfront sind zueinander ähnlich? Markiere sie im Bild und begründe deine Antwort! Die Abbildung rechts zeigt Noahs und Sophias Zelt. 1) Wie lang sind die schrägen Kanten des Zeltes? Fertige dafür eine Zeichnung im Maßstab 1 : 25 und miss diese ab! 2) Wie viel Quadratmeter Zelttuch benötigt man mindestens (ohne Boden)? Neben dem Zelt steht eine hohe Fichte. Sophia möchte gerne wissen, wie hoch der Baum ist. Ihr Vater kennt einen Trick, wie sie die Höhe ungefähr bestimmen können. Der Vater legt sich ca. 15 m vom Baum entfernt auf den Boden und fixiert mit seinem Blick die Baumspitze. Sophia geht vom Vater soweit weg in Richtung Baum, bis er über ihrem Kopf die Baumspitze gerade noch sehen kann. Die Entfernung zwischen Sophia und ihrem Vater beträgt 1 m. Sophia ist 1,50 m groß. Berechne die ungefähre Höhe des Baumes! In einer wolkenlosen Nacht betrachten die beide den Sternenhimmel. Noah erkennt das Sternenbild des großen Wagens. Sophia weiß, dass einer der Sterne davon Mizar genannt wird und ca. 83 Lichtjahre von der Erde entfernt ist. Gib die Entfernung zur Erde in Kilometer mit Hilfe der Gleitkommadarstellung an! (1 Lichtjahr entspricht š 9 460 730 472 580 km) In einer Broschüre liest Sophia, dass die Waldfläche Österreichs von 3,62 Mio. Hektar in den 1960er-Jahren auf 4,02 Mio. Hektar im Jahr 2015 angestiegen ist (Quelle: Statista, 2025). Die Fläche Österreichs beträgt 8,4 Mio. Hektar. 1) Wie viel Prozent der Staatsfläche nahm der Wald in den 1960er-Jahren ein? 2) Um wie viele Prozentpunkte nahm der Waldanteil in den letzten Jahrzehnten zu? Auf dem Campingplatz befindet sich auch ein kleines Kinderschwimmbecken. Es hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks. Noah durchquert das Becken einmal und schätzt die Länge auf rund 3,5 m. Sophia umrundet das Becken und schätzt den Umfang auf ca. 12 m. Welchen Flächeninhalt hat die Abdeckplane des Schwimmbeckens ungefähr? 25* * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI Zeichne Hilfspunkte ein! Tipp 26 B O M DI 1,6 m 2,4 m α α 27 B O M DI 15 m 1 m 28 B O M DI 29 B O M DI 3,5 m a a = r a a a r r a h 30 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 Reelle Zahlen A Reelle Zahlen Die Freundschaft von Zahlen Die Griechen der Antike nannten die Welt „Kosmos“, was zugleich „Ordnung“ bedeutet. Ihre Überzeugung war, die Welt sei nach ewig bestehenden Proportionen, den Verhältnissen ganzer Zahlen, errichtet. Diese Sicht führte sogar so weit, dass einige Schüler des Pythagoras meinten, dass auch die Freundschaft zwischen Menschen zahlenmäßig angegeben werden könnte. Dieses Verhältnis glaubten sie in den Zahlen 220 und 284 gefunden zu haben. Denn die Zahl 220 hat abgesehen von sich selbst die Teiler 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110. Die Summe dieser Zahlen ist 284. Die Zahl 284 wiederum hat abgesehen von sich selbst die Teiler 1, 2, 4, 71 und 142. Und die Summe dieser Zahlen ist 220! Daher heißen solche Zahlenpaare heute noch „befreundete“ Zahlen. Freundschaft einmal anders gedacht: Die Zahlen 0 und 8 sind gute Freunde und gehen miteinander spazieren. Plötzlich fragt die Acht: „Warum denkst du, sind wir so gute Freunde?“ Darauf meint die Null: „Tja, wir sind fast gleich. Du hast nur eine viel schmalere Taille.“ Widerspruch zur pythagoreischen Lehre Das Wort „Bruch“ kannten die Pythagoreer nicht, sondern sie sprachen immer von „Verhältnissen“, wofür sie die natürlichen Zahlen brauchten. Sie waren überzeugt, dass diese Verhältnisse immer als Quotienten zweier natürlicher Zahlen darstellbar sind. Ausgerechnet ein Pythagoreer, nämlich Hippasos von Metapont soll es gewesen sein, der zu Beginn des 5. Jahrhunderts v. Chr. als Erster erkannte, dass das Längenverhältnis zwischen der Diagonale und der Seite eines regelmäßigen Fünfecks oder eines Quadrats nicht durch das Verhältnis natürlicher Zahlen, also als rationale Zahl, angegeben werden kann. Da er diese Entdeckung veröffentlichte, wurde er angeblich des Verrates bezichtigt und aus dem Geheimbund der Pythagoreer ausgeschlossen. Hippasos kann also als der Entdecker der irrationalen Zahlen bezeichnet werden, eine Entdeckung, die zu einer „Grundlagenkrise“ in der damaligen griechischen Mathematik führte. Das Bild zeigt ein regelmäßiges Fünfeck und eine seiner Diagonalen. Das Verhältnis der beiden rot markierten Streckenlängen ist nicht rational. Zeichne die anderen Diagonalen des Fünfecks ein! Weißt du noch, wie die nun entstandene Figur genannt wird? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 A Worum geht es in diesem Abschnitt? • Berechnen von Quadratwurzeln • Rechnen mit Quadratwurzeln • Zahlenmengen • Eigenschaften reeller Zahlen • Intervalle Bisweilen ist das Wurzelziehen beim Zahnarzt, im Garten und in der Mathematik notwendig. Sokrates und Euklid über die (Ir-)Rationalität Hundert Jahre später beschreibt der griechische Philosoph Platon (427–347 v. Chr.) einen Dialog des Philosophen Sokrates (470–399 v. Chr.), mit einem Mann namens Menon aus Thessaloniki. Das Gespräch beginnt mit der Feststellung, dass das Quadrat mit 2 m Seitenlänge einen Flächen- inhalt von 4 m2 hat (➞ Figur 1). Gezielt führt Sokrates den „Schüler“ zur Erkenntnis, dass ein Quadrat mit der doppelten Seitenlänge (4 m) nicht den doppelten Flächeninhalt von 8 m2, sondern den vierfachen Flächeninhalt von 16 m2 (➞ Figur 2) hat. „Welche Seitenlänge hat dann das Quadrat mit 8m2 Flächeninhalt?“ fragt Sokrates weiter. Als Hilfe hat er vielleicht Figur 3 gezeichnet. Die Seitenlänge muss größer als 2m und kleiner als 4m sein. Sie ist sogar kleiner als 3m, denn ein Quadrat mit der Seitenlänge von 3m hätte den Flächeninhalt von 9m2. Wie lang ist sie wirklich? Für die griechischen Mathematiker stellte sich die Frage, ob diese Zahl zwischen 2 und 3 eine rationale Zahl, daher ein Quotient zweier ganzer Zahlen ist. Das lateinische Wort „ratio“ hat in dem Zusammenhang die Bedeutung „Verhältnis“. Der berühmte griechische Mathematiker Euklid (um 300 v. Chr.) konnte schließlich zeigen, dass diese Zahl keine rationale Zahl sein kann (also eine „irrationale“ Zahl sein muss). Einen Beweis findest du auf Seite 21 in diesem Buch. 2 m 2 m 4 m 4 m 4 m 4 m ? ? Figur 1 Figur 2 Figur 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 18 A1 1 Wurzeln 1.1 Einführung von Wurzeln Benedikt entdeckt im Baumarkt schöne quadratische Fliesen. In einer Packung sind 12 Fliesen enthalten. Es ist angegeben, dass man damit eine Fläche von 0,72m2 = dm2 verfliesen kann. Eine Fliese hat daher einen Flächeninhalt von dm2. Er möchte nun die Seitenlänge einer solchen Fliese berechnen. Benedikt sucht also die Zahl, deren Quadrat 6 ist. Mit Hilfe des Taschenrechners findet er heraus, dass die Seitenlänge einer Fliese rund dm beträgt. Bemerkung: Es gibt immer zwei Lösungen bei Gleichungen der Art x 2 = 9, hier die Lösungen x = +3 und x = ‒3, weil auch (‒3)·(‒3) = 9 ist. Die Quadratwurzel ist allerdings immer als nichtnegative Zahl festgelegt, daher ist √ _ 9 = +3. Marek kauft als Geschenk für seine Mutter Himbeeressig in einer näherungsweise würfelförmigen Flasche. Auf der Unterseite sieht er, dass das Füllvolumen V der Flasche 0,512 Liter beträgt, das sind cm3. Er möchte wissen, welche Kantenlänge der Innenraum der Flasche hat und überlegt: V = x 3 = x·x·x. Er muss also die Zahl x ermitteln, deren dritte Potenz gleich ist. Diese Zahl heißt Kubikwurzel aus 512. Statt Kubikwurzel sagt man auch dritte Wurzel, und man schreibt: x = 3 √ ___ 512 . Da 8 3 = · · = 512 ist, gilt 3 √ ___ 512 = 8. Die Innenseite der Glasflasche ist also 8 cm lang. Bemerkung: Eine Zahl x ≥ 0 heißt vierte Wurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x 4 = a ist. Man schreibt 4 √ __ a . Das Zeichen √ __ asteht für 2 √ __ a. Somit ist für nichtnegative Zahlen das Ziehen der n-ten Wurzel x = n √ __ a auch die Umkehrung des Berechnens der n-ten Potenz xn = a. Berechne ohne TR! 1) 12 = √ _ 1 = 4) 42 = √ __ 16 = 7) 72 = √ __ 49 = 10) 102 = √ ___ 100 = 2) 22 = √ _ 4 = 5) 52 = √ __ 25 = 8) 82 = √ __ 64 = 11) 112 = √ ___ 121 = 3) 32 = √ _ 9 = 6) 62 = √ __ 36 = 9) 92 = √ __ 81 = 12) 122 = √ ___ 144 = interkative Vorübung g3h8af AH S. 9 Eine Zahl x ≥ 0 heißt (Quadrat-) Wurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x 2 = a ist. x 2 = a É x = √ __ a (mit a, x ≥ 0) Für a ≥ 0 gilt: √ __ a 2 = (√ __ a ) 2 = a. Das Quadratwurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens. Das Quadrieren ist die Umkehrung des Quadratwurzelziehens. Quadrieren z z2 Quadratwurzelziehen Quadratwurzel Eine Zahl x ≥ 0 heißt Kubikwurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x 3 = a ist. x 3 = a É x = 3 √ __ a (a, x ≥ 0) Kubikwurzel 31 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wurzeln 19 A 1 1) Berechne ohne TR! 2) Schreibe die Rechnung in Worten auf! Verwende dazu den Sprachbaustein! a) 52, (√ _ 5 )2, √ __ 52 , (√ __ 25 )2 b) 62, (√ _ 6 )2, √ __ 62 , (√ __ 36 )2 Ordne das passende Ergebnis zu! a) 1 3 A 9 2 b) 1 16 A √ _ 4 2 9 B √ _ 9 2 4 B 4 2 3 81 C √ __ 9 2 3 2 C (√ _ 4 ) 2 Schätze zuerst das Ergebnis! Verwende dann den TR oder GeoGebra (➞ S. 36) und ermittle die Wurzel! Beispiel √ ____ 11,56 Schätzung: 3 < √ ____ 11,56 < 4, weil 32 = 9 und 42 = 16 Rechnung mit TR: √ ____ 11,56 = 3,4 a) √ _____ 1,562 5 = b) √ ___ 5,29 = c) √ _____ 6,451 6 = d) √ ______ 18,318 4 = e) √ _____ 136,89 = Zwischen welchen zwei benachbarten natürlichen Zahlen liegt folgende Quadratwurzel? a) < √ __ 11 < b) < √ __ 34 < c) < √ ___ 105 < d) < √ ___ 150 < Kreuze die richtigen Aussagen an! a) A 3 < √ _ 8 < 4 B 5 < √ __ 30 < 6 C 8 < √ __ 60 < 9 D 10 < √ ___ 102 < 11 b) A 4 < √ __ 18 < 5 B 8 < √ __ 70 < 9 C 11 < √ ___ 120 < 12 D 13 < √ ___ 176 < 14 Berechne die Seitenlänge a des Quadrats mit dem angegebenen Flächeninhalt! a) 576 m2 b) 1 296 cm2 c) 72,25 a d) 37,21 dm2 e) 10 ha 30 a 41 m2 Ordne die Kubikwurzeln in der linken Tabelle den entsprechenden Zahlen in der rechten Tabelle zu! a) 1 3 √ ____ 1 000 A 1 2 3 √ ___ 216 B 6 3 3 √ ___ 729 C 9 4 3 √ _ 1 D 0,6 5 3 √ ____ 0,216 E 10 b) 1 3 √ ____ 0,001 A 1,2 2 3 √ ___ 343 B 7 3 3 √ ____ 1,728 C 1,6 4 3 √ ____ 4,096 D 32 5 3 √ _____ 32 768 E 0,1 Zwischen welchen beiden aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt die Kubikwurzel? a) 3 √ __ 10 b) 3 √ __ 25 c) 3 √ __ 60 d) 3 √ __ 82 e) 3 √ ___ 100 f) 3 √ ___ 150 32* B O M DI 33 B O M DI 34 B O M DI 35 B O M DI 36 B O M DI 37 B O M DI 38 B O M DI 39 B O M DI Beispiel 3 √ _ 13 13 = 1; 23 = 8; 33 = 27 w 2 < 3 √ __ 13 < 3 * Sprachliche Bildung und Lesen x 2: x zum Quadrat ergibt /x hoch 2 ist √ _ x: Die Quadratwurzel aus x ergibt . Zieht man die Wurzel aus x, erhält man die Zahl . Sprachbaustein g3w4qa Arbeitsblatt plus g3s23j Arbeitsblatt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 20 A 1 1.2 Eigenschaften von Wurzeln Lotte hat entdeckt, dass die Wurzel aus einer natürlichen Zahl nur selten wieder eine natürliche Zahl ergibt. In vielen Fällen erhält sie eine Dezimalzahl am Taschenrechner. Für die Wurzel aus Quadratzahlen, also 1, 4, , 16, , …, erhält man immer eine natürliche Zahl als Ergebnis. Für die Wurzel aus 10 erhält Lotte auf dem TR: √ __ 10 ≈ 3,16227766. Als sie die gleiche Rechnung in den TR ihres Computers eintippt, erhält Lotte: √ __ 10 ≈ 3,162277660168379. Welches Ergebnis ist das richtige? Lotte ist sich sicher, dass das Ergebnis ungefähr stimmen muss, denn die Wurzel aus 10 liegt zwischen 3 und 4, also 3 < √ __ 10 < 4. Die Zahlen 3 und 4 sind Schranken für √ __ 10. Tatsächlich hat die Quadratwurzel aus 10 unendlich viele Nachkommastellen, die nicht periodisch sind. Der TR und auch der PC geben immer ein gerundetes Ergebnis an, da sie nur eine fixe Anzahl von Stellen (zB 8 oder mehr, aber niemals unendlich viele) anzeigen können. Auch bei der Kubikwurzel oder allen weiteren Wurzeln aus natürlichen Zahlen erhält Lotte entweder eine natürliche Zahl oder eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, die nicht periodisch sind. ZB ist die 3 √ __ 8 = 2. Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl, weil 8 eine Kubikzahl ist. Die 3 √ ___ 10ist ungefähr 2,15443469, eine Dezimalzahl mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen. Wie lauten die ersten 20 Quadratzahlen? Warum muss die Wurzel aus einer Quadratzahl sicher eine natürliche Zahl sein? Welche der folgenden Wurzeln kann man genau angeben und bei welchen muss man sich mit einem Näherungswert begnügen? a) 1) √ ____ 1 764 2) √ _ 6 3) √ __ 15 4) √ _____ 0,014 4 5) √ ____ 0,144 b) 1) √ ____ 35,12 2) √ _____ 4,928 4 3) √ __ 20 4) √ _______ 4,473 225 5) √ ___ 1,44 Das linke Quadrat (➞ Abbildung) hat einen Flächeninhalt von 4 m2. Wie groß ist die Seitenlänge eines Quadrats, das den doppelten Flächeninhalt hat? Die rechte Figur soll dir bei der Beantwortung dieser Frage helfen. Wie lauten die ersten 5 Kubikzahlen? Gib sie ohne Hilfe von Technologie an! Berechne die Kubikwurzeln von 1) 8, 27, 64, 2) 0,008; 0,027; 0,064! Vergleiche die Ergebnisse von 1) und 2) und erkläre den Zusammenhang! Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl oder eine Dezimalzahl mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen. Die Wurzel aus einer Quadratzahl ergibt eine natürliche Zahl, ebenso die Kubikwurzel aus einer Kubikzahl. Eigenschaften von Wurzeln 40 B O M DI 41 B O M DI 2 m 4 m 2 m 4 m ? ? 42* * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI Video m2h5va 43 B O M DI 44* B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wurzeln 21 A 1 1.3 Rechenregeln für Wurzeln Bekomme ich dasselbe Ergebnis, wenn ich einmal die Wurzel aus einer Summe berechne und dann zuerst die Wurzeln der einzelnen Summanden berechne und diese dann addiere? √ ____ a + b = √ __ a + √ __ b . Leon erinnert sich, dass man zum Widerlegen einer Behauptung nur ein Gegenbeispiel finden muss. Dazu wählt Leon die Zahlen a = 9 und b = 16. Daraus ergibt sich √ ________ 9 + = √ ______ = bzw. √ _ 9 + √ __ 16 = 3 + = . Somit muss obige Beziehung im Allgemeinen falsch sein. Für den Beweis einer Behauptung reicht es nicht, Zahlen einzusetzen, denn diese muss allgemein begründet werden. Ist zB √ ___ a·b = √ __ a ·√ __ b ? Leon quadriert beide Seiten (Äquivalenzumformung, da beide Seiten nicht negativ sind) und erhält für die linke Seite (√ ___ a·b ) 2 = a·b und für die rechte Seite (√ __ a ·√ __ b ) 2 = √ __ a ·√ __ b ·√ __ a ·√ __ b = √ __ a ·√ __ a ·√ __ b ·√ __ b = (√ __ a ) 2·(√ __ b ) 2 = a·b. Somit gilt diese Rechenregel allgemein für a, b ≥ 0. Ebenso gilt dies für die Division. Teilweises (partielles) Wurzelziehen Mit Hilfe der Rechenregel √ ___ a·b = √ __ a ·√ __ b(für a, b ≥ 0) lassen sich viele Wurzeln einfacher darstellen. Dabei ist es notwendig, dass mindestens ein Faktor des Produkts eine Quadratzahl ist. Dann spricht man von teilweisem (partiellem) Wurzelziehen. Ebenso lassen sich manche Terme vereinfachen: √ ____ m·n 2 = √ __ m ·√ __ n 2 = n·√ __ m . Manche TR vereinfachen Wurzeln automatisch durch partielles Wurzelziehen. Berechne durch geschicktes Zerlegen ohne TR! a) √ ____ 2 500 = c) √ _____ 10 000 = e) √ _____ 40 000 = g) √ _______ 4 000 000 = b) √ ____ 8 100 = d) √ ___ 900 = f) √ ______ 250 000 = h) √ _______ 36 000 000 = Ziehe die Wurzel und berechne ohne Hilfe des TR! a) √ ___ 100 ___ 25 = b) √ ____ 400 ___ 1 600 = c) √ ____ 900 ____ 40 000 = d) √ __ 36 __ 64 = e) √ ___ 169 ___ 49 = f) √ ___ 81 ___ 144 = g) √ ___ 225 ___ 121 = Zeige durch Quadrieren! a) √ ____ a + b ≠ √ __ a + √ __ b (a, b > 0) c) √ ____ a ‒ b ≠ √ __ a ‒ √ __ b (a > b > 0) b) √ _____ a 2 + b 2 ≠ a + b (a, b > 0) d) √ _____ a 2 ‒ b 2 ≠ a ‒ b (a > b > 0) ? Quadratwurzel von Produkten √ ___ a·b = √ __ a ·√ __ b Quadratwurzel von Quotienten √ __ a _ b = √ __ a __ √ __ b (b > 0) ABER: Quadratwurzel von Summen/Differenzen √ ____ a ± b ≠ √ __ a ± √ __ b (a > b > 0) Rechenregeln für Wurzeln (a, b ≥ 0) 45 B O M DI Beispiel √ ____ 6 400 = √ ______ 100 · 64 = √ ___ 100 · √ __ 64 = 10 · 8 = 80 46 B O M DI 47 B O M DI Verwende auf der rechten Seite die binomischen Formeln! Tipp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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