Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 106 E 1 1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1.1 Lösungen und Lösungsmenge Nikola veranstaltet eine Geburtstagsparty. Er möchte Knabbergebäck und Kuchen für seine Gäste einkaufen und dafür 24 € ausgeben. Der Kuchen kostet pro Stück 3 €, das Knabbergebäck pro Packung 2 €. Er überlegt: „Wenn ich nur Kuchen kaufe, könnte ich Stück kaufen. Oder ich kaufe nur Knabbergebäck, da gingen sich Packungen aus. Wenn ich aber nur 6 Stück Kuchen kaufe, könnte ich auch noch Packungen Knabbergebäck bekommen.“ Gibt es noch andere Möglichkeiten, seine 24 € auszugeben? Damit er keine Möglichkeit vergisst, stellt Nikola eine Gleichung auf. Er schreibt x für die unbekannte Anzahl der Kuchen (den Preis dafür berechnet man mit ). Für die unbekannte Anzahl der Packungen Knabbergebäck verwendet er y (Preis: ) und erhält folgende Gleichung: 3 x + 2 y = 24. Lösungsmenge Jede Lösung einer Gleichung der Form a x + b y = c ist ein Zahlenpaar (x | y). Dieses kann man als Punkt im Koordinatensystem darstellen. Zum Beispiel ist (6 | 3), also x = 6 und y = 3, eine Lösung der Gleichung, weil 3·6 + 2·3 = 24 ist. 6 Stück Kuchen und 3 Packungen Knabbergebäck kosten zusammen 24 €. Eine Gleichung mit zwei Variablen hat mehrere Lösungen. Die Menge alle Zahlenpaare (x | y), die die Gleichung erfüllen, heißt Lösungsmenge der Gleichung. Beispiele für Lösungen sind: (‒3 | ); (0,5 | ). Für obige Aufgabe sind nur natürliche Zahlen als Lösung sinnvoll, weil man Knabbergebäck und Kuchen nur in ganzen Packungen kaufen kann. Die Lösungsmenge ist daher L = {(8 | 0); (0 | ); ( | 9); (4 | ); ( | 3)}. Die Menge aller Zahlenpaare (x | y), die eine lineare Gleichung erfüllen, heißt Lösungsmenge der Gleichung. Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat unendlich viele reelle Zahlenpaare als Lösung. Lösungen und Lösungsmenge Überprüfe, ob die einzelnen Zahlenpaare zur Lösungsmenge der angegebenen Gleichung gehören! a) 2 x ‒ y = 10; (0 1 ‒10), (3 1 4), (‒2 1 ‒14), (5 1 0) c) ‒x + 4 y = 17; (1 1 5), (‒9 1 2), (‒1 1 4), (‒11 1 1,5) b) x _ 2 + 2y = 5; (0 1 1), (10 1 0), (2 1 0,5), ( ‒ 1 _ 2 1 5 _ 4 ) d) 5 x ‒ y ____ 3 = 6; (‒1 1 ‒8), (11 ‒13), (0 1 9), (2 1 ‒8) Gegeben ist die Gleichung 3 x + 2 y = 24. Vervollständige die Tabelle! interkative Vorübung g9b4r5 AH S. 34 407 B O M DI 408 B O M DI Beispiel x = 1 3·1 + 2 y = 24 ! ‒3 2 y = 21 !2 y = 10,5 w (1 1 10,5) Probe für y = 10,5: 3·1 + 2·10,5 = 24 3 + 21 = 24 24 = 24 ✓ x y 1 10,5 6 7 3,4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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