H 181 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Satz des Pythagoras • Beweise für den Satz des Pythagoras • Anwenden des Lehrsatzes in ebenen Figuren und Körpern Zeichne obenstehende Figur nach! Beginne mit einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 4 cm! Errichte darüber ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck und verfahre weiter wie in der Figur! Die Quadratmuster des Pythagoras Quadratzahlen heißen die Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, … deshalb, weil man sie als quadratische Punktmuster zeichnen kann. Das geometrische Muster von 9 (roten) Punkten stellt die Quadratzahl 9 dar. Es entspricht einem Quadrat mit der Seitenlänge 3. An dieses Quadrat fügt man rechts und oben jeweils 3 (blaue) Punkte an. Das sind doppelt so viele Punkte, wie eine (rote) Quadratseite hat. Schließlich gibt man noch einen (gelben) Punkt in der rechten oberen Ecke dazu und erhält auf diese Weise das geometrische Muster der nächsten Quadratzahl 16 = 42. Dieses Prinzip gilt allgemein, von 12 auf 22, von 22 auf 32 usw. Zur Quadratzahl 9 wird also die ungerade Zahl 7 ( = 6 + 1) addiert, um die nächste Quadratzahl 16 zu erhalten. Zur Quadratzahl 16 wird die ungerade Zahl 9 addiert, um 25 zu erhalten. Rückblickend kann man erkennen, dass zur Quadratzahl 1 die ungerade Zahl 3 addiert wird, um 4 zu erhalten. Zur Quadratzahl 4 wird die ungerade Zahl 5 addiert, um 9 zu erhalten, usw. Es werden also der Reihe nach die ungeraden Zahlen 3, 5, 7, 9, … addiert und immer ergibt sich eine Quadratzahl. Zeichne in das Punktmuster (rechts oben) den Schritt von 42 auf 52 ein! 3 3 . 1 = 3 3 . 1 = 3 12 = 1 32 = 9 1 3 1 Pythagoreische Tripel Wenn man das Punktmuster – wie oben beschrieben – fortsetzt, wird zur Quadratzahl 16 = 42 die ungerade Zahl 9 = 32 addiert, die selbst eine Quadratzahl ist. Das Ergebnis ist wieder eine Quadratzahl, nämlich 25 = 52! Damit hat man ein Beispiel natürlicher Zahlen a, b, c gefunden, für die die Beziehung a2 + b2 = c2 gilt. Natürliche Zahlen, die in einer derartigen Beziehung zueinander stehen, heißen pythagoreische Tripel. Für solche hat sich Pythagoras besonders interessiert. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==