Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 112 E 3 3 Koeffizienten und Lösungsfälle Max und Frieda fordern einander gerne mit mathematischen Knobeleien heraus. Diesmal hat Frieda eine spezielle Aufgabe für Max: „Ich schreibe eine Gleichung auf und du auch. Zusammen ergibt das ein Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen. Wir müssen möglichst schnell entscheiden, ob das System keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat. Der Schnellere gewinnt.“ Natürlich nimmt Max die Herausforderung an. Beide schreiben zunächst die allgemeine Form ax + by = c an. Frieda schreibt auf: 2x ‒ 3y = 4. Max schreibt auf: 4x ‒ 6y = 8. Kreuze die richtige Antwort an! eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen Frieda weiß die Antwort sofort, ohne eine Zeichnung anzufertigen. Max ist erstaunt und möchte wissen, wie sie das anhand der Gleichungen erkennen konnte. Frieda erklärt es ihm: I: 2 x ‒ 3 y = 4 D er Koeffizient von x ist in Gleichung II doppelt so groß wie in Gleichung I. Auch beim Koeffizienten von y ist das so. Da 8 das von 4 ist, ist die gesamte zweite Gleichung das Doppelte der ersten Gleichung. Das Gleichungssystem hat II: 4 x ‒ 6 y = 8 a lso Lösungen, die beiden zugehörigen Geraden sind identisch. Wenn die zweite Gleichung zB 4 x ‒ 6 y = 6 ist, dann ist nur die linke Seite verdoppelt worden. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, die zugehörigen Geraden sind parallel. In allen anderen Fällen, wenn also die linke Seite der zweiten Gleichung kein Vielfaches der ersten Gleichung ist, hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, die zugehörigen Geraden schneiden einander. Wenn man beide Gleichungen auf die Form y = k x + d bringt, ist die Entscheidung einfacher. Ein Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn die Koeffizienten von x und y dieselben Vielfachen voneinander sind und auch der Parameter c dieses Vielfache ist. Die zugehörigen Geraden sind dann ident. Ist c dabei jedoch nicht dieses Vielfache, dann hat das Gleichungssystem keine Lösung. Die Geraden sind parallel. In allen anderen Fällen hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Die Geraden schneiden einander in einem Punkt. Koeffizienten und Lösungsfälle Vervollständige das Gleichungssystem so, dass es a) eine Lösung hat I: y = 5 x ‒ 3 b) keine Lösung hat I: y = 5 x ‒ 3 c) unendlich viele Lösungen hat! I: y = 5 x ‒ 3 II: y = x + 5 II: y = 5 x II: y = 5 x Gib die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems an! a) I: 2 x ‒ 4 y = ‒6 b) I: x + y = 5 c) I: 3 x + 5 y = 7 d) I: 7 x ‒ 2 y = ‒4 II: 2 x ‒ 4 y = 4 II: 2 x + 2 y = 10 II: ‒3 x + 2 y = 8 II: 7 x ‒ 2 y = ‒4 interkative Vorübung g9t25g AH S. 36 435 B O M DI 436 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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