Satz des Pythagoras 182 H 1 1 Satz des Pythagoras Livia und Lea spielen im Park. Sie sehen eine Rutsche, die 1,6 m hoch ist. Lea schätzt, dass das Ende der Rutsche ca. 3 m vom Klettergerüst entfernt ist. Livia fragt: „Wie lang ist die Rutsche?“ – „Machen wir eine Zeichnung im Maßstab 1:100 und messen wir die Länge!“ Die Mädchen fertigen die Zeichnung im Maßstab 1100 an. 3 m š 1,6 m š Die Länge der Rutsche können sie somit aus der Konstruktion entnehmen, sie ist ca. lang. Livia denkt einen Augenblick nach und meint: „Die Skizze hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem wir die beiden Kathetenlängen kennen. Kann man die Länge der Hypotenuse auch berechnen?“ Eine Formel für die Berechnung der Hypotenusenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck aus den gegebenen Kathetenlängen gibt es tatsächlich. Sie ist seit fast 4 000 Jahren bekannt und folgt aus dem sogenannten Lehrsatz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt für die Seitenlängen: Erste Kathete2 + zweite Kathete2 = Hypotenuse2 Der Einfachheit halber werden oft a und b für die beiden Katheten und c für die Hypotenuse verwendet. a2 + b2 = c2 Bei dieser Kurzform muss man wissen, dass die Formel nur im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c gilt! Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras können wir die oben gestellte Aufgabe lösen: c 2 = 1,6 2 + 3 2 = daraus ergibt sich: c = √ __________ = Durch Umformen kann man aus der gegebenen Hypotenusenlänge und einer Kathetenlänge die jeweils andere Kathetenlänge berechnen: a2 + b 2 = c 2 w a 2 = c 2 ‒ b 2 und b 2 = c 2 ‒ a 2 a = √ _____ c 2 ‒ b 2 b = √ _____ c 2 ‒ a 2 Umkehrung des Satzes von Pythagoras Umgekehrt ist ein Dreieck, dessen Seitenlängen a, b, c die Beziehung a 2 + b 2 = c 2 erfüllen, immer auch rechtwinklig mit Hypotenusenlänge c (Begründung in Aufgabe 726). interkative Vorübung gp3k5k AH S. 56 In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt für die Seitenlängen: a2 + b2 = c2 É Kurzsprechweise: Kathete a hoch 2 plus Kathete b hoch 2 gleich Hypotenuse c hoch 2 Umgekehrt: Jedes Dreieck, in dem a 2 + b 2 = c 2 gilt, ist rechtwinklig beim Eckpunkt C. a c A B C b c = √ _____ a2 + b2 a = √ _____ c2 – b2 b = √ _____ c2 – a2 Satz des Pythagoras c = b = a = Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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