Statistik und Wahrscheinlichkeit 140 F 2 2.2 Gewichtetes arithmetisches Mittel Lea und Philipp spielen das Ringwurfspiel. Bei diesem Spiel kann man nur 10, 20 oder 50 Punkte erzielen. Lea spielt 10 Mal und erzielt folgende Ergebnisse: 10, 20, 20, 10, 50, 20, 50, 10, 50, 20. Philipp spielt 16-mal und erreicht die Punktezahlen: 10, 20, 20, 10, 20, 50, 20, 20, 50, 10, 20, 10, 10, 10, 20, 20. Um zu bestimmen, wer besser abgeschnitten hat, kann man das jeweilige arithmetische Mittel berechnen. Das ergibt für Lea ein arithmetisches Mittel _ x von und für Philipp von . Es gibt aber auch noch eine andere Methode, das arithmetische Mittel zu berechnen. Wir legen dazu eine Häufigkeitstabelle der Ergebnisse an: Gewichte Das arithmetische Mittel lässt sich auch mit Hilfe der Häufigkeiten berechnen. Die Häufigkeiten werden dabei als Gewichte bezeichnet. Je häufiger ein Wert vorkommt, umso schwerer wirkt er sich auf den Mittelwert aus, dh. er hat mehr „Gewicht“. Berechnung des arithmetischen Mittels mit Hilfe der absoluten Häufigkeiten Die Summe aller Punktezahlen von Lea ist: 10 + 10 + 10 + 20 + 20 + 20 + 20 + 50 + 50 + 50 = 260 oder kürzer: 3·10 + 4·20 + 3·50 = 260. absolute Häufigkeit (= Gewicht), mit der die einzelnen Werte vorkommen Das arithmetische Mittel können wir auch durch 3·10 + 4·20 + 3·50 ___________ 3 + 4 + 3 berechnen. Dieses so berechnete arithmetische Mittel wird auch gewichtetes arithmetisches Mittel (der Werte 10, 20, 50) genannt. Berechnung des arithmetischen Mittels mit Hilfe der relativen Häufigkeiten Für Leas Punktezahlen ergibt sich: _ x = 3·10 + 4·20 + 3·50 ___________ 3 + 4 + 3 = 3·10 + 4·20 + 3·50 ___________ 10 = 3 __ 10 ·10 + 4 __ 10 ·20 + 3 __ 10 ·50 = 0,3·10 + 0,4·20 + 0,3·50 = 26 relative Häufigkeit (= Gewicht) der einzelnen Werte _ x = g 1 x 1 + g 2 x 2 +…+gk x k _____________ g 1 + g 2 +…+gk = g 1 x 1 + g 2 x 2 +…+gk x k _____________ n = g 1 __ n x 1 + g 2 __ n x 2 + … + g k __ n x k = r 1 x 1 + r 2 x 2 +…+rk x k x1, x2 … xk sind die verschiedenen Werte; g1, g2 … gk sind deren absolute Häufigkeiten; r1, r2 … rk sind deren relative Häufigkeiten, n ist die Gesamtanzahl der Werte Gewichtetes arithmetisches Mittel Absolute Häufigkeiten Relative Häufigkeiten Punkte Lea Philipp Lea Philipp 10 3 6 0,3 0,375 20 4 8 0,4 0,500 50 3 2 0,3 0,125 insgesamt 10 16 1 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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