Beweise für den Satz des Pythagoras 185 H 2 2 Beweise für den Satz des Pythagoras Dora ist nach wie vor skeptisch, ob der Satz des Pythagoras auch wirklich in jedem rechtwinkligen Dreieck ganz genau stimmt. Axel möchte ihr helfen und meint: „Jetzt haben wir schon gefühlt 100 Dreiecke mit dem Satz des Pythagoras vermessen und immer hat es gestimmt, was zweifelst du noch?“ Das Vermessen der Dreiecke stellt Dora jedoch nicht zufrieden. Sie weiß, dass es in der Mathematik nicht reicht, ein anzugeben, um einen Sachverhalt zu beweisen. Sie sucht nach einem Beweis. Messungen bei einzelnen geometrischen Figuren können niemals die Gültigkeit eines Gesetzes für alle gleichartigen Figuren beweisen. Jedoch sollte man nicht auf Konstruieren und Messen verzichten, da sie häufig helfen, geometrische Zusammenhänge zu erkennen. Oft legen sie auch nahe, wie ein Beweis geführt werden kann. Beweis durch Umlegen a c b a c b α β δ a c b c a b c2 a c c b a2 b2 a b a b a b 1) Zeichne zunächst zwei Quadrate mit Seitenlänge a + b (als Rahmen)! 2) Schneide vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit Katheten a und b und Hypotenuse c aus! 3) Lege diese so wie in der linken Figur in den quadratischen Rahmen! 4) Überlege, warum das Viereck in der Mitte ein Quadrat mit Flächeninhalt c2 ist! 5) Die vier rechtwinkligen Dreiecke aus der linken Figur kannst du auch so wie in der rechten Figur anordnen. Begründe, warum die blauen Quadrate rechts zusammen gleich groß wie das linke blaue Quadrat sein müssen und beweise damit den Satz des Pythagoras! Rechnerischer Beweis 1) Begründe folgenden Zusammenhang zwischen den Flächeninhalten im linken Quadrat oben: A blaues Quadrat = A großes Quadrat – 4·A rechtwinkliges Dreieck 2) Zeige, dass daraus c2 = a 2 + b 2 folgt! 3) Recherchiere im Internet zum Beweis von Garfield! Wie hängt sein Beweis mit diesem zusammen? interaktive Vorübung kv7dj9 AH S. 58 Um die allgemeine Gültigkeit eines mathematischen Satzes zu zeigen, braucht es einen Beweis. Für den Satz des Pythagoras sind ca. 500 verschiedene Beweise bekannt. Diese Beweise sind sehr unterschiedlich (rechnerisch, geometrisch durch Umlegen,…). Beweise für den Satz des Pythagoras 724 * B O M DI Im rechtwinkligen Dreieck gilt: α + β = 90°. Damit kann man sich die Größe von δ überlegen! Tipp 725 * * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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