Satz des Pythagoras 186 H 2 Umkehrung des Satzes von Pythagoras Für die Seitenlängen des Dreiecks ABC soll gelten: a2 + b 2 = c 2. 1) Konstruiere ein Dreieck DEF mit den folgenden Angaben: __ EF = a, __ DF = b, ¼ DFE = 90°! Nach welchem Kongruenzsatz ist dieses eindeutig bestimmt? 2) Weil ΔDEF rechtwinklig ist, gilt nach dem Satz des Pythagoras für die Seite x = __ DEdie Gleichung x 2 = a 2 + b 2. Somit folgt, dass x2 = c 2, also x = c ist, weil Seitenlängen immer positiv sind. Nach welchem Kongruenzsatz ist damit ΔABC kongruent zu ΔDEF? Da ΔDEF rechtwinklig ist, muss also auch ΔABC rechtwinklig sein. Verwende für den Schaufelradbeweis von Henry Perigal das Schnittmuster im Anhang! Bei diesem Beweis wird das Quadrat mit Seitenlänge b durch zwei rechtwinklige Strecken in vier Teile geteilt. Der Kreuzungspunkt der Strecken liegt genau im Mittelpunkt des Quadrates. Sie ergeben gemeinsam die Fläche des Quadrats mit Seitenlänge b. 1) Gib mit den Variablen a, c, x, y an, wie lang die Seiten des Parallelogramms ABDE sind! 2) Begründe, warum die freie weiße Fläche im unteren Quadrat genau vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten haben muss! 3) Wie groß ist die Seitenlänge dieses Quadrats? Das rechtwinklige Dreieck ABC (➞ Figur rechts) mit den Seitenlängen a, b, c und dem Flächeninhalt A 1 wird durch die Höhe h in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke mit den Flächeninhalten A2 und A 3 zerlegt. Es gilt also A 1 = + . 1) Zeige, dass die drei rechtwinkligen Dreiecke zueinander ähnlich sind! 2) Für ähnliche Figuren gilt, dass sich die Flächeninhalte wie die Quadrate einander entsprechender Längenstücke verhalten, dh. A2A 1 = a 2c 2 und A 3A 1 = b 2c 2. Drücke aus den beiden Proportionen A 2 bzw. A 3 aus! 3) Setze diese Terme in die Gleichung A1 = A 2 + A 3 ein und forme so um, dass sich der Satz des Pythagoras ergibt! Klappt man die drei Dreiecke A1, A 2, A 3 aus Aufgabe 728 nach außen (➞ Figur rechts), so gilt A 2 + A 3 = A 1. Diese Besonderheit gilt auch für die Flächeninhalte beliebiger ähnlicher Figuren, die man über den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks errichtet (➞ Figuren unten). Da diese Figuren jeweils zueinander ähnlich sind, kannst du die Terme für die Flächeninhalte A2 und A3 aus Aufgabe 728 verwenden. Begründe, dass aus A2 + A 3 = a 2 __ c 2 ·A 1 + b 2 __ c 2 ·A 1 der Zusammenhang A1 = A 2 + A 3 folgt! 726 B O M DI a a c c y y x x A B C D E b b 727 * B O M DI A B C a b c h A2 A3 728 * B O M DI A B C A2 A3 A1 729 * * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI A B C A 2 A3 A1 A B C A2 A3 A1 A B C A2 A3 A1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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