Länge des Kreisbogens 169 G 3 David weiß vom Leichtathletiktraining, dass die Läuferinnen und Läufer beim 400-m-Rennen versetzt starten, damit sie die gleiche Distanz bis zur Ziellinie zurücklegen. David möchte also berechnen, um wie viel die äußere Läuferin bzw. der äußere Läufer weiter vorne starten darf. Er recherchiert, dass der Radius der Außenbahn 45 m beträgt. Für eine ganze Kreisbahn mit Radius r = 45 m beträgt der Umfang bzw. die Länge des Kreisbogens u = = m. Würde man einen Halbkreis laufen, müsste man den Umfang u durch teilen, bei einem Viertelkreis durch und bei einem Achtelkreis durch . Zu jedem Abschnitt des Umfangs bzw. Kreisbogens b gehört ein bestimmter Zentriwinkel α. Wird der Zentriwinkel verdoppelt, verdreifacht,… so wird auch der zugehörige Bogen doppelt, dreimal,… so lang wie der ursprüngliche Bogen. Die Größe des Zentriwinkels und die Länge des zugehörigen Kreisbogens sind also direkt proportional. Zentriwinkel Bogenlänge ganzer Kreis 360° 2 π·r Halbkreis 180° 2 π·r ___ 2 = π·r Viertelkreis 90° 2 π·r ___ 4 = π·r __ 2 Kreisbogen 1° 2 π·r ____ 360 = π·r ____ 180 Kreisbogen α° 2 π·r ____ 360 ·α = π·r ____ 180 ·α David kann nun die Länge des roten Kreisbogens näherungsweise berechnen: π· ______ 180 · = . Man darf auf der Außenbahn um rund m weiter vorne starten als auf der Innenbahn. Wenn der Zentriwinkel α (in Grad) und der Radius r gegeben sind, kann man demnach die Länge des zu α und r gehörigen Kreisbogens b nach folgender Formel berechnen: Berechne die Länge des Kreisbogens b, wenn der Radius r und der Zentriwinkel α gegeben sind! a) r = 76 mm; α = 28° b) r = 41,6 m; α = 101° c) r = 16,3 m; α = 57° 23q Kreuze an, mit welcher Formel man die Länge eines Kreisbogens mit einem Radius von 15 cm und einem Zentriwinkel von 80° berechnen kann! A b = 15·80 ____ π·180 C b = 2·π·15·80 _______ 360 E b = 2·π·180 _____ 80·15 B b = 2·π·15·80 _______ 180 D b = π·15·80 _____ 180 interkative Vorübung gm8fn3 AH S. 53 b M r r α α 2·b 2· b = 2 π r ___ 360 ·α = π·r ___ 180 ·α Länge des Kreisbogens 644 B O M DI 645 B O M DI 3 Länge des Kreisbogens 84,39 m 75° 36,8 m 45 m M Ziellinie Start 400 m Start 200 m Start 1000 m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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