17 A Worum geht es in diesem Abschnitt? • Berechnen von Quadratwurzeln • Rechnen mit Quadratwurzeln • Zahlenmengen • Eigenschaften reeller Zahlen • Intervalle Bisweilen ist das Wurzelziehen beim Zahnarzt, im Garten und in der Mathematik notwendig. Sokrates und Euklid über die (Ir-)Rationalität Hundert Jahre später beschreibt der griechische Philosoph Platon (427–347 v. Chr.) einen Dialog des Philosophen Sokrates (470–399 v. Chr.), mit einem Mann namens Menon aus Thessaloniki. Das Gespräch beginnt mit der Feststellung, dass das Quadrat mit 2 m Seitenlänge einen Flächen- inhalt von 4 m2 hat (➞ Figur 1). Gezielt führt Sokrates den „Schüler“ zur Erkenntnis, dass ein Quadrat mit der doppelten Seitenlänge (4 m) nicht den doppelten Flächeninhalt von 8 m2, sondern den vierfachen Flächeninhalt von 16 m2 (➞ Figur 2) hat. „Welche Seitenlänge hat dann das Quadrat mit 8m2 Flächeninhalt?“ fragt Sokrates weiter. Als Hilfe hat er vielleicht Figur 3 gezeichnet. Die Seitenlänge muss größer als 2m und kleiner als 4m sein. Sie ist sogar kleiner als 3m, denn ein Quadrat mit der Seitenlänge von 3m hätte den Flächeninhalt von 9m2. Wie lang ist sie wirklich? Für die griechischen Mathematiker stellte sich die Frage, ob diese Zahl zwischen 2 und 3 eine rationale Zahl, daher ein Quotient zweier ganzer Zahlen ist. Das lateinische Wort „ratio“ hat in dem Zusammenhang die Bedeutung „Verhältnis“. Der berühmte griechische Mathematiker Euklid (um 300 v. Chr.) konnte schließlich zeigen, dass diese Zahl keine rationale Zahl sein kann (also eine „irrationale“ Zahl sein muss). Einen Beweis findest du auf Seite 21 in diesem Buch. 2 m 2 m 4 m 4 m 4 m 4 m ? ? Figur 1 Figur 2 Figur 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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