Berechnungen am Kreis 174 G 5 5 Flächeninhalt des Kreissektors Eine Bewässerungsanlage ist so eingestellt, dass sie in einem Garten oder am Feld immer nur einen Kreissektor beregnet. Um die Größe der bewässerten Fläche zu berechnen, überlegen Tila und Miki Folgendes: Der Flächeninhalt eines vollen Kreises (Zentriwinkel α = 360°) lässt sich mit der Formel AKreis = berechnen. Der Sprinkler ist auf α = 60° eingestellt, dh. die bewässerte Fläche entspricht einem Sechstel des vollen Kreises: AKreissektor = A Kreis ___ 6 = . Die Größe des Zentriwinkels des Sprinklers lässt sich auf ein Grad genau einstellen. Wie lautet nun eine allgemeine Formel? Tila und Miki haben erkannt, dass der Flächeninhalt eines Kreissektors (Kreisausschnitts) im direkten Verhältnis zum Zentriwinkel steht (bei gleichem Radius). Die Formel lässt sich wie in der Tabelle herleiten: Tila fällt eine gewisse Ähnlichkeit dieser Formel mit jener für die Kreisbogenlänge b auf. Sie behauptet: Aus der Formel für die Länge des Kreisbogens b = π·r ____ 180 ·α folgt für den Flächeninhalt des Kreissektors A = b·r ___ 2 . Miki liefert folgenden Beweis dafür: A = b· r _ 2 = π·r ____ 180 ·α· r _ 2 = π·r2 _____ 360 ·α. Sie stellen fest, dass die Formel A = b·r ___ 2 dieselbe Struktur hat wie die Flächenformel des Dreiecks (➞ Figur rechts). ADreieck = c·hc ___ 2 AKreissektor = b·r ___ 2 Berechne den Flächeninhalt des Kreissektors! a) r = 30 cm b) r = 25 mm c) r = 35,2 cm d) r = 35,6 m e) r = 1,0 m α = 60° α = 27° b = 40,8 cm b = 71,2 m b = 1,0 m Gib den Flächeninhalt eines Kreissektors des Einheitskreises (r = 1 cm) mit Hilfe von π an, wenn der zugehörige Zentriwinkel α gegeben ist! Beispiel a) b) c) d) e) Zentriwinkel 180° 90° 60° 45° 1° x° A (Kreissektor) π·1 2 ______ 360 ·180 = π __ 2 interkative Vorübung gn5a76 AH S. 54 Zentriwinkel Flächeninhalt ganzer Kreis 360° π·r2 Halbkreis 180° π·r 2 ___ 2 Viertelkreis 90° π·r 2 ___ 4 Achtelkreis 45° π·r 2 ___ 8 Kreisbogen 1° π·r 2 ___ 360 Kreisbogen α° π·r 2 ___ 360 ·α r hc c b A = π·r 2 _____ 360 ·α (α in Grad) oder A = b·r ___ 2 Flächeninhalt des Kreissektors 669 B O M DI 670 B O M DI 2 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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