Reelle Zahlen 18 A1 1 Wurzeln 1.1 Einführung von Wurzeln Benedikt entdeckt im Baumarkt schöne quadratische Fliesen. In einer Packung sind 12 Fliesen enthalten. Es ist angegeben, dass man damit eine Fläche von 0,72m2 = dm2 verfliesen kann. Eine Fliese hat daher einen Flächeninhalt von dm2. Er möchte nun die Seitenlänge einer solchen Fliese berechnen. Benedikt sucht also die Zahl, deren Quadrat 6 ist. Mit Hilfe des Taschenrechners findet er heraus, dass die Seitenlänge einer Fliese rund dm beträgt. Bemerkung: Es gibt immer zwei Lösungen bei Gleichungen der Art x 2 = 9, hier die Lösungen x = +3 und x = ‒3, weil auch (‒3)·(‒3) = 9 ist. Die Quadratwurzel ist allerdings immer als nichtnegative Zahl festgelegt, daher ist √ _ 9 = +3. Marek kauft als Geschenk für seine Mutter Himbeeressig in einer näherungsweise würfelförmigen Flasche. Auf der Unterseite sieht er, dass das Füllvolumen V der Flasche 0,512 Liter beträgt, das sind cm3. Er möchte wissen, welche Kantenlänge der Innenraum der Flasche hat und überlegt: V = x 3 = x·x·x. Er muss also die Zahl x ermitteln, deren dritte Potenz gleich ist. Diese Zahl heißt Kubikwurzel aus 512. Statt Kubikwurzel sagt man auch dritte Wurzel, und man schreibt: x = 3 √ ___ 512 . Da 8 3 = · · = 512 ist, gilt 3 √ ___ 512 = 8. Die Innenseite der Glasflasche ist also 8 cm lang. Bemerkung: Eine Zahl x ≥ 0 heißt vierte Wurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x 4 = a ist. Man schreibt 4 √ __ a . Das Zeichen √ __ asteht für 2 √ __ a. Somit ist für nichtnegative Zahlen das Ziehen der n-ten Wurzel x = n √ __ a auch die Umkehrung des Berechnens der n-ten Potenz xn = a. Berechne ohne TR! 1) 12 = √ _ 1 = 4) 42 = √ __ 16 = 7) 72 = √ __ 49 = 10) 102 = √ ___ 100 = 2) 22 = √ _ 4 = 5) 52 = √ __ 25 = 8) 82 = √ __ 64 = 11) 112 = √ ___ 121 = 3) 32 = √ _ 9 = 6) 62 = √ __ 36 = 9) 92 = √ __ 81 = 12) 122 = √ ___ 144 = interkative Vorübung g3h8af AH S. 9 Eine Zahl x ≥ 0 heißt (Quadrat-) Wurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x 2 = a ist. x 2 = a É x = √ __ a (mit a, x ≥ 0) Für a ≥ 0 gilt: √ __ a 2 = (√ __ a ) 2 = a. Das Quadratwurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens. Das Quadrieren ist die Umkehrung des Quadratwurzelziehens. Quadrieren z z2 Quadratwurzelziehen Quadratwurzel Eine Zahl x ≥ 0 heißt Kubikwurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x 3 = a ist. x 3 = a É x = 3 √ __ a (a, x ≥ 0) Kubikwurzel 31 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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