Reelle Zahlen 20 A 1 1.2 Eigenschaften von Wurzeln Lotte hat entdeckt, dass die Wurzel aus einer natürlichen Zahl nur selten wieder eine natürliche Zahl ergibt. In vielen Fällen erhält sie eine Dezimalzahl am Taschenrechner. Für die Wurzel aus Quadratzahlen, also 1, 4, , 16, , …, erhält man immer eine natürliche Zahl als Ergebnis. Für die Wurzel aus 10 erhält Lotte auf dem TR: √ __ 10 ≈ 3,16227766. Als sie die gleiche Rechnung in den TR ihres Computers eintippt, erhält Lotte: √ __ 10 ≈ 3,162277660168379. Welches Ergebnis ist das richtige? Lotte ist sich sicher, dass das Ergebnis ungefähr stimmen muss, denn die Wurzel aus 10 liegt zwischen 3 und 4, also 3 < √ __ 10 < 4. Die Zahlen 3 und 4 sind Schranken für √ __ 10. Tatsächlich hat die Quadratwurzel aus 10 unendlich viele Nachkommastellen, die nicht periodisch sind. Der TR und auch der PC geben immer ein gerundetes Ergebnis an, da sie nur eine fixe Anzahl von Stellen (zB 8 oder mehr, aber niemals unendlich viele) anzeigen können. Auch bei der Kubikwurzel oder allen weiteren Wurzeln aus natürlichen Zahlen erhält Lotte entweder eine natürliche Zahl oder eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, die nicht periodisch sind. ZB ist die 3 √ __ 8 = 2. Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl, weil 8 eine Kubikzahl ist. Die 3 √ ___ 10ist ungefähr 2,15443469, eine Dezimalzahl mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen. Wie lauten die ersten 20 Quadratzahlen? Warum muss die Wurzel aus einer Quadratzahl sicher eine natürliche Zahl sein? Welche der folgenden Wurzeln kann man genau angeben und bei welchen muss man sich mit einem Näherungswert begnügen? a) 1) √ ____ 1 764 2) √ _ 6 3) √ __ 15 4) √ _____ 0,014 4 5) √ ____ 0,144 b) 1) √ ____ 35,12 2) √ _____ 4,928 4 3) √ __ 20 4) √ _______ 4,473 225 5) √ ___ 1,44 Das linke Quadrat (➞ Abbildung) hat einen Flächeninhalt von 4 m2. Wie groß ist die Seitenlänge eines Quadrats, das den doppelten Flächeninhalt hat? Die rechte Figur soll dir bei der Beantwortung dieser Frage helfen. Wie lauten die ersten 5 Kubikzahlen? Gib sie ohne Hilfe von Technologie an! Berechne die Kubikwurzeln von 1) 8, 27, 64, 2) 0,008; 0,027; 0,064! Vergleiche die Ergebnisse von 1) und 2) und erkläre den Zusammenhang! Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl oder eine Dezimalzahl mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen. Die Wurzel aus einer Quadratzahl ergibt eine natürliche Zahl, ebenso die Kubikwurzel aus einer Kubikzahl. Eigenschaften von Wurzeln 40 B O M DI 41 B O M DI 2 m 4 m 2 m 4 m ? ? 42* * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI Video m2h5va 43 B O M DI 44* B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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