Wurzeln 21 A 1 1.3 Rechenregeln für Wurzeln Bekomme ich dasselbe Ergebnis, wenn ich einmal die Wurzel aus einer Summe berechne und dann zuerst die Wurzeln der einzelnen Summanden berechne und diese dann addiere? √ ____ a + b = √ __ a + √ __ b . Leon erinnert sich, dass man zum Widerlegen einer Behauptung nur ein Gegenbeispiel finden muss. Dazu wählt Leon die Zahlen a = 9 und b = 16. Daraus ergibt sich √ ________ 9 + = √ ______ = bzw. √ _ 9 + √ __ 16 = 3 + = . Somit muss obige Beziehung im Allgemeinen falsch sein. Für den Beweis einer Behauptung reicht es nicht, Zahlen einzusetzen, denn diese muss allgemein begründet werden. Ist zB √ ___ a·b = √ __ a ·√ __ b ? Leon quadriert beide Seiten (Äquivalenzumformung, da beide Seiten nicht negativ sind) und erhält für die linke Seite (√ ___ a·b ) 2 = a·b und für die rechte Seite (√ __ a ·√ __ b ) 2 = √ __ a ·√ __ b ·√ __ a ·√ __ b = √ __ a ·√ __ a ·√ __ b ·√ __ b = (√ __ a ) 2·(√ __ b ) 2 = a·b. Somit gilt diese Rechenregel allgemein für a, b ≥ 0. Ebenso gilt dies für die Division. Teilweises (partielles) Wurzelziehen Mit Hilfe der Rechenregel √ ___ a·b = √ __ a ·√ __ b(für a, b ≥ 0) lassen sich viele Wurzeln einfacher darstellen. Dabei ist es notwendig, dass mindestens ein Faktor des Produkts eine Quadratzahl ist. Dann spricht man von teilweisem (partiellem) Wurzelziehen. Ebenso lassen sich manche Terme vereinfachen: √ ____ m·n 2 = √ __ m ·√ __ n 2 = n·√ __ m . Manche TR vereinfachen Wurzeln automatisch durch partielles Wurzelziehen. Berechne durch geschicktes Zerlegen ohne TR! a) √ ____ 2 500 = c) √ _____ 10 000 = e) √ _____ 40 000 = g) √ _______ 4 000 000 = b) √ ____ 8 100 = d) √ ___ 900 = f) √ ______ 250 000 = h) √ _______ 36 000 000 = Ziehe die Wurzel und berechne ohne Hilfe des TR! a) √ ___ 100 ___ 25 = b) √ ____ 400 ___ 1 600 = c) √ ____ 900 ____ 40 000 = d) √ __ 36 __ 64 = e) √ ___ 169 ___ 49 = f) √ ___ 81 ___ 144 = g) √ ___ 225 ___ 121 = Zeige durch Quadrieren! a) √ ____ a + b ≠ √ __ a + √ __ b (a, b > 0) c) √ ____ a ‒ b ≠ √ __ a ‒ √ __ b (a > b > 0) b) √ _____ a 2 + b 2 ≠ a + b (a, b > 0) d) √ _____ a 2 ‒ b 2 ≠ a ‒ b (a > b > 0) ? Quadratwurzel von Produkten √ ___ a·b = √ __ a ·√ __ b Quadratwurzel von Quotienten √ __ a _ b = √ __ a __ √ __ b (b > 0) ABER: Quadratwurzel von Summen/Differenzen √ ____ a ± b ≠ √ __ a ± √ __ b (a > b > 0) Rechenregeln für Wurzeln (a, b ≥ 0) 45 B O M DI Beispiel √ ____ 6 400 = √ ______ 100 · 64 = √ ___ 100 · √ __ 64 = 10 · 8 = 80 46 B O M DI 47 B O M DI Verwende auf der rechten Seite die binomischen Formeln! Tipp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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