Zylinder, Kegel und Kugel 222 I 2 Welcher der folgenden Gegenstände kann am besten durch einen Kegel, durch einen Zylinder oder durch ein Prisma beschrieben werden? Wenn von einem geometrischen Körper alle Längenmaße mit dem Faktor 10 multipliziert werden, mit welchem Faktor werden dann Volumina bzw. Inhalte von Flächen multipliziert? Beantworte die Frage am Beispiel des Kegels (Ameisenhaufen)! Von einem Kegel sind zwei der drei Größen r, h und s gegeben. Berechne 1) die dritte Größe, 2) das Volumen, 3) den Mantelflächeninhalt, 4) den Inhalt der Oberfläche des Kegels! a) r = 16 mm, h = 63 mm c) r = 45 mm, s = 75 mm e) h = 24 mm, s = 26 mm b) r = 60 mm, h = 91 mm d) r = 609 mm, s = 841 mm f) h = 88 mm, s = 110 mm Kann es sein, dass sich bei einem Kegel nur eine der Größen r, h, s ändert, die beiden anderen aber gleich bleiben? Wenn ja, gib ein Beispiel an, wenn nein, warum nicht? Von einem Kegel sind zwei der Größen r, h, s, V und O gegeben. Drücke die fehlenden Größen aus! a) Gegeben: r, h b) Gegeben: V, h c) Gegeben: V, r s=2r S r r M Ein Kegel, dessen Basiskreisdurchmesser genau so lang wie seine Mantellinie s ist, heißt gleichseitiger Kegel. 1) Warum ist diese Formulierung berechtigt? 2) Es gilt: • Oberflächeninhalt des gleichseitigen Kegels: O = 3 π· r 2 • Rauminhalt des gleichseitigen Kegels: V = π __ √ _ 3 ·r 3. Leite diese Formeln von den bekannten Formeln für Kegel ab! Gegeben ist der Radius eines gleichseitigen Kegels (➞ vgl. Aufgabe 887). Berechne 1) den Mantelflächeninhalt, 2) den Oberflächeninhalt, 3) das Volumen! a) r = 4,0 cm b) r = 7,0 cm c) r = 57 mm d) r = 72 mm 882 B O M DI 883 B O M DI 884 B O M DI Beispiel r = 5,20 m, h = 6,80 m 1) s = √ _____ r 2 + h 2 = √ _______ 5,2 2 + 6,8 2 = √ ____ 73,28 = 8,560… ≈ 8,56 w s ≈ 8,56 m 2) V = G·h ___ 3 = π r 2h ___ 3 = π·5,2 2·6,8 ______ 3 = 192,5… ≈ 193 w V ≈ 193 m3 3) M = π ·r ·s = π·5,2 ·8,56… = 139,8… ≈ 140 w M ≈ 140 m2 4) O = G + M = π·r 2 + M = π·5,2 2 + 139,8… = 224,7… ≈ 225 w O ≈ 225 m2 885 B O M DI 886 B O M DI 887 B O M DI 888 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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