Reelle Zahlen 27 A 3 3.1 Eigenschaften reeller Zahlen Lotte versucht √ _ 2 ≈ 1,414 213 56… durch Bruchzahlen einzuschranken. 1 41 421 356 _________ 100 000 000 = 1,414 213 56 ist ein wenig kleiner, 1 41 421 357 _________ 100 000 000 = ein wenig größer. Die irrationale Zahl √ _ 2kann nur näherungsweise als Dezimalzahl angegeben werden. Ebenso gibt es keine Darstellung als Bruch – einen Beweis für die Nicht-Darstellbarkeit von √ __ nals Bruch findest du auf Seite 28. Die irrationalen Zahlen I und die rationalen Zahlen Q bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen R. Hätte man nur die rationalen Zahlen zur Verfügung, so blieben auf der Zahlengeraden noch unendlich viele „Löcher“ über (zB das Loch bei √ _ 2). Erst zusammen mit den irrationalen Zahlen ist die Zahlengerade voll ausgefüllt. Jede reelle Zahl stellt einen Punkt auf der Zahlengeraden dar. Umgekehrt gehört zu jedem Punkt der Zahlengeraden eine reelle Zahl. Welche Ergebnisse sind irrational? Kreuze an und begründe deine Wahl! a) A 3·√ _ 4 B √ __ 18 ‒ 5 C √ __ 17 ·√ __ 17 D √ _ 3 ‒ √ _ 3 E √ __ 80 ‒ √ __ 20 b) A √ _ 9 ‒ 3 B 3·√ _ 3 C √ __ 10 + √ __ 10 D (√ _ 2 )2 E √ _ 5 __ √ _ 5 1) Berechne ohne TR! 2) Warum ist ( 3 √ __ n ) 3 mit n * N nie eine irrationale Zahl? a) 23 = c) (3 √ _ 2 )3 = e) 3 √ __ 23 = b) 33 = d) (3 √ _ 3 )3 = f) 3 √ __ 33 = Eva möchte √ _ 8auf der Zahlengeraden darstellen. Doch wo befindet sich dieser Punkt auf der Zahlengeraden? √ _ 8ist eine irrationale Zahl, sie hat also unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen. Daher würde Eva ein Messinstrument benötigen, welches „unendlich genau“ ist – dies gibt es natürlich nicht. Im Internet findet sie nebenstehende Skizze. 1) Der Flächeninhalt des schwarzen Quadrats beträgt . 2) Der Flächeninhalt des grünen Quadrats beträgt . 3) Die Seitenlänge des grünen Quadrats beträgt daher . Eva kann nun mit Hilfe des Zirkels die Strecke √ _ 8abschlagen. Dazu sticht sie bei 0 ein und nimmt die grüne Strecke in den Zirkel. 4) Welche Bedeutung hat die grüne Strecke für das grüne Quadrat, welche für das schwarze? Neben den Wurzeln gibt es weitere irrationale Zahlen, die in der Mathematik eine große Bedeutung haben. Welchen Wert hat die Zahl π und was bedeutet sie? (➞ Abschnitt G, Seite 164) interkative Vorübung g4k9cf AH S. 11 Die rationalen Zahlen Q und die irrationalen Zahlen I ergeben zusammen die reellen Zahlen R. Mit den reellen Zahlen ist die Zahlengerade vollständig ausgefüllt. Eigenschaften reeller Zahlen 76 B O M DI 77 B O M DI 78 B O M DI 0 1 2 2 3 79 B O M DI 3 Reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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