Reelle Zahlen 28 A 3 Stelle √ _ 2auf der Zahlengeraden dar! Gehe dabei wie in Aufgabe 78 vor und wähle als Seitenlänge des schwarzen Quadrats 1! Ella behauptet: „Egal welche Wurzel ich aus der Zahl 1 ziehe, das Ergebnis ist nie eine irrationale Zahl.“ Kannst du Ellas Aussage begründen? 1) Führe die Primfaktorzerlegung für a) 34, b) 35, c) 80 durch! 2) Zerlege die Zahlen a) 34, b) 35, c) 80 in beliebige Produkte und überzeuge dich, dass die Primfaktoren entweder in dem einen Faktor oder im anderen Faktor (oder in beiden) vorkommen! Beweis, dass √ __ n (n * ℕ) eine irrationale Zahl oder eine natürliche Zahl ist Die Quadratwurzel aus zB 2 ist eine irrationale Zahl, da 2 keine Quadratzahl ist. Diese Aussage muss in der Mathematik allerdings bewiesen werden. Für die Zahl 2 bewies dies bereits Euklid von Alexandria (3 Jh. v. Chr.). Ein allgemeiner Beweis folgt aus folgender Überlegung: Wenn eine Primzahl p ein Produkt von Faktoren teilt, dann muss diese Primzahl mindestens einen Faktor teilen: p 1 a·b w p 1 a oder p 1 b (eine unzerlegbare Primzahl kann ja nicht zu einem Teil in einem Faktor und zum anderen Teil im anderen Faktor enthalten sein!) ZB 2 1 6 w 2 1 2 oder 2 1 3 (2 1 2…wahre Aussage) Beweis: Wenn √ __ n = a _ b (a, b * ℤ +) gilt, √ __ nalso eine rationale Zahl wäre, dann kann man den Bruch auch so weit kürzen, dass man ggT (a, b) = 1 annehmen kann. Durch Quadrieren und Multiplizieren mit b2 erhält man √ __ n = a _ b w n = a 2 __ b 2 w n·b 2 = a 2. Wenn nun b einen Primteiler p hätte, müsste dieser also das Produkt a·a teilen, und nach der Überlegung oben auch a teilen. Dann könnte man den Bruch a _ b durch p kürzen, was aber wegen ggT (a, b) = 1 nicht sein kann. Daher kann b keine Primteiler haben und muss 1 sein; dh. wenn die Wurzel aus einer natürlichen Zahl rational ist, muss sie schon selbst eine natürliche Zahl sein: √ __ n = a _ 1 = a * N. Das ist gleichbedeutend mit: Wenn die Wurzel aus einer natürlichen Zahl nicht selbst eine natürliche Zahl ist (wie bei den Quadratzahlen), dann muss die Wurzel eine irrationale Zahl sein. Führe den Beweis oben für den Spezialfall n = 2! Schreibe den Beweis dabei Schritt für Schritt auf und versuche die Erklärungen in eigene Worte zu fassen! Oben wurde bewiesen, dass √ __ n (n * N) entweder eine natürliche Zahl oder eine irrationale Zahl ist. Zeige ähnlich, dass 3 √ __ nebenfalls entweder eine natürliche oder eine irrationale Zahl ist! Lange Zeit bevor Computer fast mühelos Millionen von Stellen von π berechnen konnten, versuchten Mathematiker mit anderen Mitteln diese irrationale Zahl zu nähern. In China wurde beispielsweise 3,141 6 (etwa 200 n. Chr.) verwendet. Die ersten zehn Nachkommastellen der Zahl Pi lauten π ≈ 3,141 592 653 5. Berechne den Unterschied zwischen der Schätzung und dem auf 10 Nachkommastellen gerundeten Wert von π: a) 3,154 7 : d) 355 ___ 113 (China, 5. Jh. n. Chr.): b) √ __ 10(China, 1. Jh. n. Chr.): e) 3 + √ _ 2 __ 10 (Italien, 13. Jh. n. Chr.): c) 142 ___ 45 (China, 3. Jh. n. Chr.) : 80 B O M DI 81 B O M DI B O M DI 82 83 B O M DI 84 B O M DI 85 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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