Katheten- und Höhensatz 199 H 4 4 Katheten- und Höhensatz A D B C a b c p q hc = h Alina zeichnet in einem rechtwinkligen Dreieck die Höhe hc ein. Die Hypotenuse c wird dabei in die beiden Abschnitte p und q unterteilt (➞ Skizze). p und q heißen Hypotenusenabschnitte. Dabei liegt p an a und q an b. Sie sieht, dass die Dreiecke ΔABC, ΔADC und ΔBCD jeweils zueinander ähnlich sind (➞ Aufgabe 801, Figur rechts). Daher stellt Alina folgende Proportionen auf: ΔABC o ΔADC w b = cb w b 2 = c·q ΔABC o ΔBCD w a = ca w a 2 = · Alina überlegt, ob sie noch andere Verhältnisse aus diesen drei ähnlichen Dreiecken aufstellen kann. Aus den beiden kleinen Teildreiecken erhält sie: ΔADC o ΔBCD w hq = h w h 2 = · Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen einer Kathete und des anliegenden Hypotenusenabschnittes gegeben. Berechne die Längen der fehlenden Seiten! a) a = 65 mm, p = 25 mm c) b = 19,5 cm, q = 11,7 cm e) a = 7,6 m, p = 6,7 m b) b = 60 mm, q = 49 mm d) a = 0,5 m, p = 0,3 m f) b = 25,0 cm, q = 6,0 cm Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Länge der Hypotenusenabschnitte. Berechne die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Dreiecks! a) p = 18 mm, q = 32 mm c) p = 11,7 cm, q = 20,8 cm e) p = 19 mm, q = 67 mm b) p = 3,6 m, q = 6,4 m d) p = 1,44 m, q = 0,25 m f) p = 45 m, q = 13 m Vervollständige den Beweis für den Satz des Pythagoras mit dem Kathetensatz: a 2 + b 2 = ·p + c·q a 2 + b 2 = c· ( ) a 2 + b 2 = c· = interaktive Vorübung kx527f AH S. 64 In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC gilt: a 2 = c·p und b 2 = c·q. Kurzsprechweise: Quadrat einer Kathete = Hypotenuse mal anliegendem Hypotenusenabschnitt Kathetensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC gilt: h 2 = p·q. Kurzsprechweise: Quadrat der Höhe = Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte Höhensatz 794 B O M DI Beispiel a = 13,6 cm, p = 6,4 cm Aus a 2 = c·p folgt c = a 2 __ p = 13,6 2 ___ 6,4 = 28,9 w c = 28,9 cm mit Hilfe des Satzes von Pythagoras w b = √ _____ c 2 – a 2 = 25,5 w b = 25,5 cm 795 B O M DI 796 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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