Berechnungen in Körpern 201 H 5 5 Berechnungen in Körpern 5.1 Prisma Carola war mit ihren Eltern in Italien auf Urlaub. Dabei sind sie auch in die Toscana gekommen. Carola hat dort unter anderem die sogenannten „Geschlechtertürme“ in der Stadt San Gimignano gesehen. Diese mittelalterlichen Türme waren Ausdruck von besonderem Reichtum einer Familie (eines „Geschlechtes“). Bei den Türmen im Bild handelt es sich um dreieckige sechseckige quadratische Prismen. Oberfläche und Rauminhalt Aus den vorangegangenen Schuljahren kennst du die Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen, die für jedes beliebige Prisma gelten: O = 2 G + M V = G·h Dabei steht G für die Grundfläche, M für die Mantelfläche und h für die Körperhöhe. Flächendiagonalen Bei den rechteckigen Seitenflächen kann man die Längen der Diagonalen mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Raumdiagonale Steht eine Blume wie auf dem Foto in einer quaderförmigen Vase, so liegt ihr Stiel auf der Raumdiagonale der Vase. Wie kann man ihre Länge berechnen? Überlege zB für die Länge d der Raumdiagonale BH des Quaders in der Figur rechts: Das Dreieck DBH ist rechtwinklig bei D. Daher gilt: d2 = d 1 2 + c 2. Du weißt bereits: d1 2 = a 2 + b 2. Daraus folgt: d2 = a 2 + b 2 + c 2 w d = √ ___________ Da bei einem Würfel die drei Seiten gleich lang sind, ergibt sich für die Länge d der Raumdiagonale des Würfels: d = √ ________ a 2 + a 2 + a 2 = √ ____ 3·a 2 = √ _ 3 ·a. interaktive Vorübung ky3e3n AH S. 65 Deckfläche Grundfläche 3 Seitenflächen = Mantelfläche Höhe a c E A B C D F b G H d d1 Oberfläche eines Prismas: O = 2 G + M Volumen eines Prismas: V = G·h Flächendiagonalen des Quaders: Flächendiagonalen des Würfels: d 1 = √ _____ a 2 + b 2 , d 2 = √ _____ a 2 + c 2 , d 3 = √ _____ b 2 + c 2 d 1 = √ _ 2 ·a Raumdiagonale des Quaders: Raumdiagonale des Würfels: d = √ ________ a 2 + b 2 + c 2 d = √ _ 3 ·a Satz des Pythagoras in Prismen a c b d2 d d3 d1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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