Satz des Pythagoras 204 H 5 5.2 Pyramide Manfred ist aufgefallen, dass die Dächer mancher Kirchtürme die Form von Pyramiden haben – wie auch das Dach der abgebildeten romanischen Kirche St. Jakob in Freiland bei Deutschlandsberg (Steiermark). Wenn es sich dabei um eine regelmäßige -seitige Pyramide (eine gerade quadratische Pyramide) handelt und wenn man die Länge a der Grundkante und die Pyramidenhöhe h kennt, kann man die Länge s der Seitenkante, die Größe der Dachfläche und den Rauminhalt der Pyramide berechnen. In der Figur unten ist eine regelmäßige vierseitige Pyramide mit den üblichen Bezeichnungen dargestellt. Diagonale d Bei gegebener Grundkantenlänge a kann man d berechnen. Dabei gilt: d = √ _ 2 ·a Seitenflächenhöhe h1 Im Dreieck FES gilt h1 2 = h 2 + ( a _ 2 ) 2 w h 1 = √ ______ h 2 + ( a _ 2 ) 2 Seitenkante s Im Dreieck FBS gilt s2 = h 2 + ( d _ 2 ) 2 w s = √ ______ h 2 + ( d _ 2 ) 2 und im Dreieck BES gilt s2 = h 1 2 + ( a _ 2 ) 2 w s = √ _______ h 1 2 + ( a _ 2 ) 2 Vervollständige die Schrägrissdarstellung der Pyramide! Beachte die Sichtbarkeit! a) Quadratische Pyramide b) Dreiseitige Pyramide c) Rechteckige Pyramide A B C S D A B C S A B C D S a E h A B C S s s = D F h1 a 2 d 2 a 2 a 2 h1 = Mantelfläche der Pyramide: M = 2·a·h 1, Grundfläche der Pyramide: G = a 2 Oberfläche der Pyramide: O = G + M w O = a2 + 2·a·h1 Volumen der Pyramide: V = G·h ___ 3 w V = a2·h _ 3 Diagonale der Grundfläche: d = √ _ 2 ·a Höhe der Seitenflächen: h 1 = √ ______ s 2 ‒ ( a _ 2 ) 2 oder h 1 = √ ______ h 2 + ( a _ 2 ) 2 Länge der Seitenkante: s = √ ______ h 2 + ( d _ 2 ) 2 oder s = √ _______ ( a _ 2 ) 2 + h 1 2 Pyramide 815 B O M DI Video m2vq33 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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