34 Reele Zahlen A Kreuze die richtigen Aussagen an! A ‒5 ist keine rationale Zahl, weil sie nicht als Bruch darstellbar ist. B Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. C Jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl. D 3,7 ist keine rationale Zahl, weil sie nicht als Bruch geschrieben ist. E 8 _ 2 ist eine natürliche Zahl. F ‒16,3 ist eine irrationale Zahl. Gib möglichst genaue Schranken (drei Nachkommastellen) mit Hilfe des Heron’schen Verfahrens (➞ Aufgabe 106) für a) √ __ 20 , b) √ __ 54 , c) √ __ 90 an! 108 B O M DI 109 B O M DI Zahlenmenge Eigenschaften Abgeschlossen bezüglich Natürliche Zahlen N Alle natürlichen Zahlen haben einen Nachfolger und bis auf 0 auch alle einen Vorgänger. Zwischen zwei natürlichen Zahlen liegen endlich viele. Addition, Multiplikation, (Potenzieren) Ganze Zahlen Z Alle ganzen Zahlen haben einen Vorgänger und einen Nachfolger. Zwischen zwei ganzen Zahlen liegen endlich viele. Addition, Multiplikation, (Potenzieren), Subtraktion Rationale Zahlen Q Rationale Zahlen lassen sich als Bruch oder als Dezimalzahl schreiben, wobei die Dezimalzahl entweder endlich viele Nachkommastellen oder (gemischt) periodische Nachkommastellen hat. Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere. Addition, Multiplikation, (Potenzieren), Subtraktion, Division (außer durch 0) Reelle Zahlen R Die rationalen Zahlen (positive und negative Bruchzahlen) und die irrationalen Zahlen (Dezimalzahlen mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen) vervollständigen die Zahlengerade. Jeder Punkt auf der Zahlengeraden entspricht einer reellen Zahl und umgekehrt. Addition, Multiplikation, (Potenzieren), Subtraktion, Division (außer durch 0), Wurzelziehen (außer aus negativen Zahlen) Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto größer ist sie. Rechenregeln für Wurzeln √ __ a ·√ __ b = √ ___ a·b (a, b ≥ 0) √ __ a __ √ __ b = √ __ a _ b (a ≥ 0, b > 0) Beachte: √ __ a ‒ √ __ b ≠ √ ____ a ‒ b (a > b > 0) √ __ a + √ __ b ≠ √ ____ a + b (a, b > 0) Quadratwurzelziehen Kubikwurzelziehen (Umkehrung des Quadrierens) (Umkehrung des Kubierens) x 2 = a É x = √ __ a (a, x ≥ 0) x 3 = a É x = 3 √ __ a (a, x ≥ 0) Mit Hilfe von Schranken lassen sich irrationale Zahlen mittels rationaler Zahlen eingrenzen. Bereiche von Zahlen lassen sich mit Hilfe der Zeichen < bzw. > angeben oder bei reellen Zahlen auch in der Form von Intervallen schreiben. AH S. 14 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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