Berechnungen in Körpern 207 H 5 In jeder regelmäßigen Pyramide liegt der Fußpunkt F der Körperhöhe im Umkreismittelpunkt der Grundfläche. Im regelmäßigen Tetraeder gilt: __ CF = 2 _ 3 ·h 1 mit h1 = √ _ 3 __ 2 ·a. Zeige, dass 1) die Körperhöhe h = √ _ 6 __ 3 ·a bzw. 2) das Volumen V = √ _ 2 __ 12 ·a 3 ist. Berechne 1) den Inhalt der Oberfläche, 2) das Volumen eines regelmäßigen Tetraeders mit der Seitenkante a! Verwende dazu die Formeln der Aufgaben 827 und 828! a) a = 62 mm b) a = 5,4 cm c) a = 10,0 cm d) a = 15,0 cm e) a = 1,0 m Die Höhe h1 der Seitenfläche einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide ist doppelt so lang wie die Grundkante a. Was kann mit der angegebenen Formel berechnet werden? Begründe! a) √ __ 15 ___ 2 ·a b) √ __ 15 ___ 6 ·a 3 c) √ __ 17 ___ 2 ·a d) 5 a 2 Von einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide kennt man zwei der Größen a, h, s, h1, O und V. Berechne die anderen Größen! a) a = 24 mm b) s = 11 cm c) h = 6,3 cm d) V = 27 cm3 e) O = 384 cm2 h1 = 13 mm h = 7 cm h1 = 6,5 cm a = 4,5 cm a = 12 cm Die nebenstehende Darstellung zeigt einen Würfel. Er wurde mit drei Seitenflächendiagonalen und einer Raumdiagonale in drei schiefe Pyramiden unterteilt (eine orange, eine blaue, eine grüne). Jede der drei Pyramiden hat als Grundfläche eine Seitenfläche des Würfels (G = a2). Ihre Spitzen liegen alle im selben Eckpunkt des Würfels. Die Pyramidenhöhen sind daher genau so lang wie die Kanten des Würfels (h = a). Die drei Pyramiden sind kongruent und haben daher alle das gleiche Volumen. Zeige, dass für den Rauminhalt dieser speziellen Pyramiden die Formel V = G·h ___ 3 richtig ist! Die Verpackung eines Getränks hat die Gestalt einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide, wobei die Grundkanten und die Höhe gleich lang sind. Wie groß ist das Fassungsvermögen in Liter? a) a = h = 7,5 cm b) a = h = 10 cm c) a = h = 15 cm d) a = h = 20 cm Sami baut eine regelmäßige vierseitige Pyramide aus Sand. 1) Wie schwer ist die Pyramide mit h = 60 cm und a = 75 cm? Die Dichte des Sands beträgt 1 300 kg/m3. 2) Am nächsten Tag baut Sami eine gleich große Pyramide, allerdings aus Sand mit einer Dichte von 1100 kg/m3. Um wie viel Prozent ist die Pyramide dann leichter? 3) Diskutiere, wie die Dichte von Sand verändert werden kann! Eine Getränkefirma bietet Fruchtsäfte in Packungen an, die die Form eines Tetraeders haben (➞ Foto rechts). Es werden regelmäßige Tetraeder mit a) 250 cm3, b) 500 cm3 Fassungsvermögen verwendet. 1) Berechne, wie lang die Seitenkante eines solchen Tetraeders sein muss! 2) Wie viel Quadratmeter Verpackungsmaterial werden für 100 solcher Packungen mindestens benötigt? Falzkanten und Verschnitt müssen nicht berücksichtigt werden! 828 B O M DI 829 B O M DI 830* B O M DI 831 B O M DI 832 * * Sprachliche Bildung und Lesen B O M DI 833 B O M DI 834 B O M DI 835 B O M DI gj52eu Arbeitsblatt Plus Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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