Vernetzte Aufgaben 209 H 5 Wie groß ist der Winkel ε zwischen der Grundflächendiagonale BD und der Raumdiagonale BH eines Würfels ABCDEFGH (➞ Figur rechts)? Schätze zuerst und überprüfe deine Schätzung durch eine geeignete Hilfskonstruktion (a = 4 cm) und Messen! 842 B O M DI a a a d d1 ε A B C D E F H G Skizze: Im Schrägriss zu messen ist nicht zielführend, da in diesem die Diagonalen verzerrt sind. Gehe deshalb in zwei Schritten vor! Berechne zuerst die Länge der Diagonale d1 der Bodenfläche und zeichne dann das (orange) Dreieck DBH, um den Winkel zu messen! Tipp Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt: a2 + b2 = c2 É c = √ _____ a2 + b2 a = √ _____ c2 – b2 b = √ _____ c2 – a2 Umgekehrt ist ein Dreieck, dessen Seitenlängen a, b, c die Beziehung a2 + b2 = c2 erfüllen, immer auch rechtwinklig mit Hypotenusenlänge c. Diagonale des Rechtecks: d = √ _____ a2 + b2 Gleichseitiges Dreieck: h = √ _ 3 __ 2 ·a Diagonale des Quadrats: d = √ _ 2 ·a A = √ _ 3 __ 4 ·a 2 In allen anderen ebenen Figuren wie Dreiecken, Vierecken usw. kann man durch Einzeichnen von Höhen rechtwinklige Dreiecke erhalten. In diesen kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus den gegeben Größen alle benötigten Längen berechnen. In jedem rechtwinkligen Dreieck gelten Kathetensatz a 2 = c·p, b 2 = c·q und Höhensatz h 2 = p·q. Quader Flächendiagonalen: d1 = √ _____ a2 + b2 d2 = √ _____ a2 + c2 d3 = √ _____ b2 + c2 Raumdiagonale: d = √ ________ a2 + b2 + c2 AH S. 68 a c A B C b Würfel Flächendiagonale: d1 = √ _ 2 ·a Raumdiagonale: d = √ _ 3 ·a Regelmäßige vierseitige Pyramide M = 2·a·h 1 O = a2 + 2·a·h1 V = a 3·h ___ 3 h1 = √ ______ h2 + ( a _ 2 ) 2 oder h 1 = √ ______ s 2 ‒ ( a _ 2 ) 2 s = √ _______ ( a _ 2 ) 2 + h 1 2 oder s = √ ______ ( d _ 2 ) 2 + h 2 Pyramide O = G + M V = G·h _ 3 a E h A B C S s D F h1 a 2 d 2 a 2 a c E A B C D F b G H d d1 d2 d3 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==