Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Willkommen zu Das ist Mathematik Liebe Schülerin, lieber Schüler, wir möchten dich herzlich in der vierten Klasse begrüßen. Das Buch Das ist Mathematik wird dich wieder im Mathematikunterricht begleiten. Wir möchten dir zeigen, dass Mathematik mehr als Rechnen ist. Mathematik ist… … eine Sprache. Deswegen werden dir sogenannte Sprachbausteine bei der Übersetzung von Mathematik in die Alltagssprache und umgekehrt helfen. Insbesondere unterstützen dich die Sprachbausteine, wenn du Sachverhalte interpretieren und begründen sollst. … wichtig für die geschichtliche Entwicklung der Menschheit. Deswegen wirst du einen Teil davon mit Hilfe der geschichtlichen Motivationsseiten am Anfang jedes Abschnitts kennenlernen. Hier findest du auch Rätsel und interessante Aufgaben zu den Bildern. Die Lösungen dazu findest du auf www.oebv.at unter dem digitalen Zusatzmaterial von Das ist Mathematik. Der Term und der angegebene Term sind aquivalent, weil … Sprachbaustein Berechnungen am Kreis G 162 Berechnungen am Kreis gj7xu3 Video Das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises Die Bestimmung des Verhältnisses von Umfang und Durchmesser eines Kreises war lange Zeit eine der größten Herausforderungen der Mathematik. Ägyptische Vermessungsbeamte gaben dieses Verhältnis mit 4434 = 25681 ≈ 3,16 an. Darüber wissen wir aus der altägyptischen Abhandlung zu mathematischen Themen, dem Papyrus Rhind. Babylonische Gelehrte schlugen 3 + 1 _ 8 = 3,125 als Wert dieses Verhältnisses vor. 430 n. Chr. gab der chinesische Mathematiker Tsu Chung Chih eine Abschätzung von π auf 7 Kommastellen genau an: 3,141 592 6 < π < 3,1415927. Erst der englische Mathematiker William Oughtred (1574– 1630) hat die Bezeichnung π (griechischer Buchstabe p) für das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, wegen des griechischen Wortes „periphereia“ für Umkreis eingeführt. Was wären Berechnungen am Kreis, ohne den Namen Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) zu nennen. Seine legendären Worte „Störe meine Kreise nicht!“ sind sehr bekannt. Er soll sie zu einem römischen Soldaten gesagt haben, als er gerade geometrische Figuren in den Sand zeichnete. Der Römer war darüber so zornig, dass er ihn erstach. Kupferstich von Matthäus Merian (16. Jh.): Tod des Archimedes im Jahr 212 v. Christus. Was hält Archimedes in dieser Darstellung in der linken Hand? Näherungsweise Berechnung von π nach Archimedes Auf Archimedes geht ein Verfahren zurück, wie man das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises beliebig genau berechnen kann. Er schrieb dem Kreis mit dem Durchmesser d = 1 regelmäßige Vielecke ein und um. Je mehr Ecken diese Vielecke hatten, desto besser näherten sich ihre Umfänge dem Umfang des Kreises und damit π an (weil der Durchmesser den Wert 1 hat). Eingeschriebenes Quadrat: Diagonale des Quadrats = Durchmesser des Kreises d = 1 w s4 ≈ 0,707 w u4 (innen) = 4·s4 ≈ 2,828 Umgeschriebenes Quadrat: Seite des Quadrats = Durchmesser des Kreises d = 1 w a4 = 1 w u4 (außen) = 4·a4 = 4 Für den Umfang des Kreises bedeutet das: 2,828 < u < 4 Eingeschriebenes Sechseck: Seite des Sechsecks = Radius des Kreises s6 = r = 1 _ 2 w u6 (innen) = 6·s6 = 3 Umgeschriebenes Sechseck: Höhe der Teildreiecke = Radius des Kreises h6 = r = 1 _ 2 w a6 ≈ 0,577 w u6 (außen) = 6·a6 ≈ 3,464 Für den Umfang des Kreises heißt das: 3 < u < 3,464 d s4 a4 r s6 a6 h6 G 163 Worum geht es in diesem Abschnitt? • näherungsweises Berechnen von π • Umfang und Flächeninhalt des Kreises, des Kreisabschnittes, des Kreisausschnittes und des Kreisringes • Länge des Kreisbogens π – eine irrationale Zahl Tatsächlich hat Archimedes nicht beim Quadrat begonnen, sondern beim Sechseck (sowie mit r = 1 nicht d = 1). Er begann anschließend mit dem Einschreiben und Umschreiben des 12-Ecks, des 24-Ecks und 48-Ecks. Schließlich begnügte er sich mit den Umfängen des ein- und umgeschriebenen 96-Ecks. Er erkannte, dass das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, also π, ein wenig größer als 3 + 10 __ 71 = 3,140 84… und ein wenig kleiner als 3 + 10 __ 70 = 3,142 87… sein muss. Archimedes war überzeugt, dass es wenig Sinn macht, die Größe von π noch genauer zu berechnen. Denn einerseits reichten die beiden Näherungen für praktische Berechnungen aus, andererseits war nicht zu erwarten, dass sich plötzlich ein besonders „schöner“ wahrer Wert für π herausstellen wird. Man vermutete schon relativ bald, dass π nicht als Bruch darstellbar, also eine irrationale Zahl, ist. Erst 1761 wurde diese Vermutung vom schweizerisch-elsässischen Mathematiker Johann Heinrich Lambert (1728–1777) bestätigt. Archimedes erkannte auch, dass die gleiche Größe π nicht nur für die Berechnung des Umfangs, sondern auch für die Berechnung des Flächeninhalts des Kreises, für die Berechnungen des Rauminhalts von Zylinder, Kegel und Kugel sowie für deren Oberflächeninhalte heranzuziehen ist. Archimedes war sich der Wichtigkeit dieser Tatsache so bewusst, dass er verfügte, dass auf sein Grabmal eine Kugel und der sie umschreibende Zylinder zu gravieren und anzugeben sei, dass das Verhältnis ihrer Volumina 23 ist. Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) Angeblich fand Cicero (römischer Politiker, Schriftsteller und Redner, 106–43 v. Chr.) das Grab des Archimedes in Syrakus. Auf welcher Insel liegt Syrakus? Die Pi-Torte zum Pi-Tag am 14.3. (US-amerikanische Datumsschreibweise 3/14) Online Codes zu Videos, Übungen oder Arbeitsblättern Inhalte des Abschnitts Spielerischer Abschluss der Einstiegsseite Quick Media App für Videos Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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