Funktionen 90 D 2 2.4 Allgemeine lineare Funktionen Welche gegenseitige Lage haben die Graphen der gegebenen Funktionen in der nebenstehenden Abbildung zueinander? f 1 (x) = 0,8·x f 2 (x) = 0,8·x + 1,5 f1: x y ‒1 ‒0,8 0 0 1 0,8 2 1,6 3 2,4 f2: x y ‒1 ‒0,8 + 1,5 = 0,7 0 0 + 1,5 = 1,5 1 0,8 + 1,5 = 2,3 2 1,6 + 1,5 = 3,1 3 2,4 + 1,5 = 3,9 Der Graph der Funktion f2 entsteht aus dem Graphen der direkt proportionalen Funktion f1, indem wir jeden Punkt (hier zB A und B) um den Wert +1,5 nach oben (in A’ und B’) verschieben. Der Graph der Funktion f2 ist eine parallele Gerade mit der gleichen Steigung k = 0,8. In ähnlicher Weise entsteht der Graph der Funktion f3 (x) = 0,8·x ‒ 1 aus dem Graphen von f1, indem jeder Punkt um den Wert nach unten verschoben wird. Zeichne den Graphen der Funktion f3 in das Koordinatensystem oben ein! Setzt man in einen Funktionsterm für x = 0 ein, so erhält man den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse, also den Punkt (0 | d). Den Abstand dieses Schnittpunkts vom Ursprung bezeichnet man mit d (Abschnitt auf der y-Achse). Hier ist dieser Abschnitt d = +1,5 für f2 bzw. d = ‒1 für f3. Graphen mit der Funktionsgleichung y = k·x + d sind genau dann steigend, wenn k 0 ist. Zwei solche Graphen sind , wenn k gleich ist, jedoch d verschieden. Funktionen mit der Gleichung y = k x + d sind direkt proportional, wenn d = . Die direkt proportionalen Funktionen f, g und h werden jeweils zweimal parallel in y-Richtung verschoben (f ➞ f 1, f 2; g ➞ g 1, g 2; h ➞ h 1, h 2). Um welchen Wert werden sie jeweils verschoben? Gib jeweils die beiden Funktionsgleichungen an! 1) f (x) = 1,5 x 2) g (x) = ‒0,7 x 3) h (x) = ‒ 2 _ 5 x x y 0,5 -0,5 -1 1 2 2,5 1,5 -1 -0,5 0 0,5 -1,5 1 1,5 f1 f2 +1,5 A B B’ A’ +1,5 x y 1 -1 -3 -2 2 3 0 1 -1 -2 -3 2 3 f f1 f2 g g1 g2 h h1 h2 Eine Funktion f mit der Funktionsgleichung y = k·x + d (k, d * R) heißt lineare Funktion. Direkt proportionale Funktionen sind ein Spezialfall davon (d = 0). Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Im Fall einer direkt proportionalen Funktion geht die Gerade durch den Koordinatenursprung (0 1 0), sonst durch (0 1 d). d ist jener Abstand, den der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse vom Ursprung hat. k heißt Steigung der Geraden bzw. der linearen Funktion. Allgemeine lineare Funktion 351 B O M DI 352 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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