Lineare Funktionen 93 D 2 2.5 Eigenschaften linearer Funktionen Konstante Änderung Maria fährt mit dem Zug in die Steiermark, um Äpfel zu kaufen. Für die Zugfahrt bezahlt sie 9 €, für ein Kilogramm Äpfel zahlt sie 1,20 €. Der Gesamtpreis P für die Einkaufstour ist eine lineare Funktion der Apfelmenge x (k = , d = ): P (x) = 1,20·x + 9. Um wie viel Euro erhöht sich der Preis P, wenn man statt x kg jeweils um 1 kg Äpfel mehr, also x + 1 kg Äpfel kauft? Klarerweise schon laut Angabe um 1,20 €! Das sieht man auch am Funktionsterm: P (x + 1) = 1,20·(x + 1) + 9 = 1,20·x + 1,20 + 9 = 1,20·x + 9 + 1,20 = P (x) + 1,20. In diesem Beispiel ist 1,20 die Steigung k der linearen Funktion. Erhöht sich x um 1, ändert sich der Funktionswert um k. Dabei ist es nicht wichtig, von welchem Wert man diesen Schritt startet. k wird auch Änderungsrate genannt. Alle Punkte einer linearen Funktion y = k·x + d liegen auf einer Geraden Es genügt, dies für Funktionen y = k·x zu zeigen, da „+ d“ ja nur eine vertikale Verschiebung bedeutet. Wir zeigen, dass jeder Punkt S = (x | k·x) auf der Verbindungsgeraden von O = (0 | 0) und Q = (1 | k) liegt. Die Dreiecke (¶OPQ und ¶ORS) haben die Kathetenlängen 1 und k bzw. x und k·x. Beide sind rechtwinklig. Das Längenverhältnis der Katheten ist in beiden Dreiecken gleich: k __ 1 = k·x ___ x . Daher müssen sie nach dem SWS-Ähnlichkeitssatz für Dreiecke (siehe Buch 3. Klasse, S. 236) ähnlich zueinander sein. Ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel, daher sind die Steigungswinkel ¼POQ und ¼ROS in den beiden Steigungsdreiecken gleich, dh. die Punkte Q = (1 | k) und S = (x | k·x) liegen auf derselben Geraden durch den Ursprung. x (Menge in kg) Preis P in € 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 1 +1,20 1 +1,20 1 +1,20 1 +1,20 Vergrößert man x um 1 (gleichgültig, von welchem Wert ausgehend), so ändert sich y um k. Bei einer steigenden Geraden (k > 0) erhöht sich y um k, bei einer fallenden Geraden (k < 0) verringert sich y um | k |. Konstante Änderung bei linearen Funktionen x y Q=(1|k) S=(x|k·x) k·x k 1 P=(1|0) R=(x|0) x O=(0|0) Die Punkte einer linearen Funktion liegen auf einer Geraden. Lineare Funktion – Gerade Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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