Das ist Mathematik 3

Arbeitsheft Humenberger (Hrsg.) Aue, Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl Das ist Mathematik 3 A B C D

Das ist Mathematik 3, Arbeitsheft und E-Book Schulbuchnummer: 220274 Das ist Mathematik 3, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 220276 Mit Bescheid des Bundesministeriums Bildung vom 2. Mai 2025, Geschäftszahl: 2023-0.7 54.207, gemäß § 14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 3. Klasse an Mittelschulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) und für die 3. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Dr. Herbert Löffler, Wien Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: weissbunt, design und kontext, Berlin Layout: weissbunt, design und kontext, Berlin Satz: CMS - Cross Media Solutions GmbH, Würzburg Druck: Paul Gerin GmbH & Co KG, Wolkersdorf ISBN 978-3-209-12285-8 (Das ist Mathematik AH 3 + E-Book) ISBN 978-3-209-13080-8 (Das ist Mathematik AH 3 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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Inhaltsverzeichnis Wir wiederholen 4 Wiederholungstests 8 Kompetenzbereich – Zahlen und Maße A Ganze Zahlen 12 1 Ganze Zahlen 12 2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen 13 3 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen 14 4 Verbindung der vier Grundrechnungsarten 14 Merkenswertes 15 B Rationale Zahlen und Verhältnisse 16 1 Rationale Zahlen 16 2 Rechnen mit rationalen Zahlen 18 3 Verhältnisse 21 Merkenswertes 23 C Potenzen 24 1 Einführung der Potenzen 24 2 Rechenregeln für Potenzen 25 3 Darstellung von Zahlen mit Zehnerpotenzen 26 Merkenswertes 26 D Prozentrechnung und Zinsrechnung 27 1 Prozentrechnung 27 2 Zinsrechnung 29 Merkenswertes 31 Kompetenzbereich – Variablen und Funktionen E Terme 32 1 Grundbegriffe der Termrechnung 32 2 Rechnen mit Termen 34 3 Termsturkturen 38 Merkenswertes 39 F Gleichungen und Formeln 40 1 Aufstellen von Gleichungen und Formeln 40 2 Lösen von Gleichungen 40 3 Arbeiten mit Formeln 42 4 Verhältnisgleichungen 44 Merkenswertes 45 G Wachstums- und Abnahmeprozesse 46 1 Lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse 46 2 Nicht lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse 48 Merkenswertes 51 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis Kompetenzbereich – Daten und Zufall H Statistik und Wahrscheinlichkeit 52 1 Mittelwerte 52 2 Merkmale und ihre Ausprägungen 53 3 Diagramme 54 4 Wahrscheinlichkeit 58 Merkenswertes 60 Kompetenzbereich – Figuren und Körper I Flächeninhalt ebener Vielecke 61 1 Flächeninhalt von Dreiecken und besonderen Vierecken 61 2 Flächeninhalt allgemeiner Vierecke 64 3 Vielecke 65 Merkenswertes 67 J Ähnlichkeit 68 1 Zentrische Streckung 68 2 Ähnlichkeit bei Vielecken 69 3 Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken 70 4 Längen- und Flächenbeziehungen bei ähnlichen Figuren (Körpern) 71 Merkenswertes 72 K Körper 73 1 Prisma 73 2 Pyramide 77 3 Dichte von Körpern 78 Merkenswertes 79 Bildnachweis 80 Anhang Lösungen zu den Aufgaben (herausnehmbar) 1–16 B O M DI Damit wird angezeigt, welche der Prozesse (Operieren, Rechnen, Konstruieren; Modellieren, Problemlösen; Darstellen, Interpretieren; Vermuten, Begründen) in der Aufgabe behandelt werden. Symbol für Spiegelaufgaben zum Schulbuch schwierige, herausfordernde Aufgabe, Erweiterungsstoff 1 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 Wir wiederholen Ein Quader wird aus drei Bauteilen zusammengesetzt. Jeder Bauteil hat eine andere Farbe und setzt sich aus vier Würfeln zusammen. Wie sieht der weiße Bauteil aus? A B C D E Der faule Kater Garfield beobachtet einige Mäuse beim Käsestehlen. Jede Maus trägt mindestens ein Käsestück, aber weniger als zehn Käsestücke weg. Jede Maus stiehlt eine andere Anzahl von Käsestücken. Keine Maus stiehlt genau doppelt so viele Stücke wie eine andere Maus. Wie viele Mäuse kann Garfield höchstens beobachtet haben? A 4 B 9 C 6 D 7 E 8 Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 bilden wir zwei vierstellige Zahlen so, dass jede Ziffer genau einmal vorkommt und die Summe der beiden Zahlen möglichst klein ist. Welchen Wert hat diese Summe? A 2 468 B 3 333 C 3 825 D 4 734 E 6 912 Von einem großen gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 6 cm werden an den Ecken drei kleine, gleich große gleichseitige Dreiecke abgeschnitten (➞ Skizze). Die drei kleinen Dreiecke haben zusammen denselben Umfang wie das verbliebene grüne Sechseck. Wie groß ist die Seitenlänge eines kleinen Dreiecks? Die am Rand stehenden Zahlen geben die Summe der jeweiligen Zeile bzw. Spalte an. Finde heraus, welche Werte die Buchstaben haben! a) b) c) A A A A 28 A B C A 27 A C D B 30 D B B B 25 30 24 E E E E 24 G E G H 13 E F F E 18 F F H G 12 18 15 18 O P P O 22 O O P P 22 O P O P 22 P P O P 17 27 17 22 17 Konstruiere nur mit Hilfe des Zirkels vom Mittelpunkt M ausgehend eine eigene andere „Wunderblume“! Gib den Vorgänger und Nachfolger der gegebenen Zahl an! a) 23 c) 1 e) ‒99 b) ‒2 d) 0 f) ‒12 1 B O M DI 2 B O M DI B O M DI 3 4 B O M DI 5 B O M DI 6 B O M DI M 7 B O M DI Wir wiederholen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 Wir wiederholen Setze das Bandornament über das ganze Raster fort! Bemerkung: Bandornament … Muster, das sich in einer Richtung ständig wiederholt. Karin nimmt ein Stück Papier und schneidet es in 10 Stücke. Dann nimmt sie eines dieser Stücke und schneidet es wiederum in 10 Stücke. Sie wiederholt diesen Prozess noch dreimal. Wie viele Stücke hat sie schließlich vor sich liegen? A 36 B 40 C 46 D 50 E 56 Alex und Bernd wiegen zusammen weniger als Carl und Dan. Carl und Ed wiegen zusammen weniger als Franz und Bernd. Was ist sicher richtig? Kreuze an! A Alex und Ed wiegen zusammen weniger als Franz und Dan. B Dan und Ed wiegen zusammen mehr als Carl und Franz. C Dan und Franz wiegen zusammen mehr als Alex und Carl. D Alex und Bernd wiegen zusammen weniger als Carl und Franz. E Alex, Bernd und Carl wiegen zusammen gleich viel wie Dan, Ed und Franz. Sudokus sind logische Rätsel, die aus neun mal neun quadratischen Feldern zusammengesetzt sind. Jedes Feld soll man mit den Ziffern von 1 bis 9 so füllen, dass jede Ziffer in jedem der neun Felder, in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vorkommt. Vorläufer moderner Sudokus waren die „lateinischen Quadrate“ des Mathematikers Leonhard Euler. Löse das nebenstehende Sudoku! Um eine Tonne Recyclingpapier herzustellen, braucht man 1 500 kWh Strom. Das sind um 62,5 % weniger als zur Herstellung einer Tonne Frischfaserpapier verbraucht werden. Wie hoch ist der Stromverbrauch bei der Herstellung von 1 t Frischfaserpapier? Die Zahl 1 260 soll in Primfaktoren zerlegt werden. Welche der folgenden Primfaktorzerlegungen sind richtig? Kreuze an! Begründe, dass die anderen Vorschläge falsch sind! A 2·2·3·5·7 C 2·3·5·6·7 E 2·2·5·7·9 B 2·2·3·3·7·5 D 2·2·3·3·5·7 F 2·3·3·7·5 Begründung: Gegeben ist die Bruchzahl 1 __ 20 . Welche Zahlen bzw. Ausdrücke entsprechen dieser Bruchzahl? Kreuze an! a) A 0,20 B 0,2 C 0,5 D 0,50 E 0,05 b) A 5 ___ 100 B 20 % C 2 % D 50 % E 5 % Konstruiere das Drachenviereck ABCD mit a = 71 mm, b = 45 mm, δ = 135°. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt. Miss benötigte Längen in deiner Zeichnung ab! 8 B O M DI 9 B O M DI 10 B O M DI 1 2 5 7 6 5 1 4 4 2 8 2 1 5 4 9 7 8 7 8 1 7 9 5 5 4 8 6 3 8 9 4 11 B O M DI 12 B O M DI 13 B O M DI 14 B O M DI 15 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

6 Wir wiederholen Ordne den rechts stehenden Rechnungen die richtigen Ergebnisse zu! Stelle zur folgenden Aussage eine Gleichung auf und löse sie! a) Beim Ausverkauf wird der Preis eines Shirts um 1 _ 5 des ursprünglichen Preises herabgesetzt. Das Shirt kostet nach der Ermäßigung 38,40 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis? b) Das Vierfache einer Zahl ist um 3,8 kleiner als 34,2. Wie lautet die Zahl? Eine Gruppe von Freunden beschließt, einen 10-tägigen Winterurlaub gemeinsam auf einer Schihütte zu verbringen. Die Freunde wissen, dass sie bei einer täglichen Heizdauer von 8 Stunden mit dem Heizmaterial 14 Tage auskommen könnten. Es ist aber so kalt, dass sie täglich 12 Stunden heizen müssen. Reicht der Brennstoff für den ganzen Urlaub oder müssen die Freunde noch Heizmaterial besorgen? Im Sommer gibt es viele Möglichkeiten, auf die Alm hinauf und wieder hinunter zu kommen. Man kann mit der Seilbahn hinauf fahren oder zu Fuß gehen. Für den Rückweg gibt es eine Sommerrodelbahn, man kann die Seilbahn nehmen, zu Fuß gehen oder mit dem Monsterroller fahren. 1) Erstelle ein entsprechendes Baumdiagramm und ermittle so die Anzahl der Möglichkeiten. 2) Durchschnittlich fahren 60 % mit der Seilbahn und es gehen 30 % zu Fuß nach oben. Nach unten nehmen 15 % die Seilbahn, 35 % die Sommerrodelbahn und 40 % den Monsterroller. Ergänze im Baumdiagramm die jeweiligen prozentuellen Anteile! 3) Berechne den relativen Anteil aller Almbesucherinnen bzw. Almbesucher, die zu Fuß nach oben steigen und mit dem Monsterroller ins Tal fahren bzw. die mit der Seilbahn hinauf und mit der Sommerrodelbahn hinunter fahren! Auf der Webseite des Almgasthofs kann mitverfolgt werden, wie viele Besucherinnen bzw. Besucher sich gerade vor Ort befinden. 0 09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 5 10 15 20 25 30 35 40 Anzahl Gäste Almgasthof 1) Beantworte die Fragen zum dargestellten Liniendiagramm! a) Wie viele Gäste befinden sich um 14:00 Uhr im Gasthof? b) Wann sind die meisten Gäste anwesend? c) Was sind die Öffnungszeiten? d) Wie viele Gäste befinden sich durchschnittlich im Gasthof? 2) Ergänze die Werte für den folgenden Tag! 9:00/3 P.; 10:00/12 P.; 11:00/ 28 P.; 12:00/39 P.; 13:00/24 P.; 14:00/26 P.; 15:00/ 10 P.; 16:00/ 4 P.; 17:00/1P. a) Beim Schlussverkauf wird eine Hose, die ursprünglich 69,50 € gekostet hat, um 13,90 € billiger angeboten. Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass? b) Ein Anzug kostet 320 €. Im Sommerschlussverkauf wird der Anzug um 15 % verbilligt angeboten. Wie hoch ist der neue Verkaufspreis? Wie lautet das kgV von 48 und 90? 16 B O M DI 3 1 _ 2 – 1 1 _ 4 – 3 _ 5 + 0,3 = 3 1 _ 2 – ( 1 1 _ 4 – 3 _ 5 + 0,3 ) = 3 1 _ 2 – 1 1 _ 4 – ( 3 _ 5 + 0,3 ) = 3 1 _ 2 – ( 1 1 _ 4 – 3 _ 5 ) + 0,3 = 1 7 __ 20 3 3 __ 20 2 11 __ 20 1 19 __ 20 17 B O M DI 18 B O M DI 19 B O M DI 20 B O M DI 21 B O M DI 22 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 Wir wiederholen Bei einer Volksabstimmung haben genau 45 540 Personen den Antrag von Naturschützenden unterstützt. Das entspricht einem Prozentsatz von 23 % aller Abstimmungsberechtigten. Wie viele Personen waren stimmberechtigt? Beschreibe, wie man mit Hilfe der Figur rechts beweisen kann, dass die Winkelsumme in jedem Dreieck 180° beträgt! a) Konstruiere das Dreieck ABC mit b = 8,8 cm, α = 66°, γ = 42°! b) Zeichne die drei Höhen ein und miss ihre Längen! Kennzeichne den Höhenschnittpunkt H! c) Unter welchen Bedingungen liegt der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks außerhalb des Dreiecks? Skizziere ein solches Dreieck und beschreibe, wie man in diesem Fall vorgehen muss, um den Höhenschnittpunkt zu erhalten! a) Konstruiere eine Raute ABCD mit a = 7,6 cm und f = 5,8 cm! b) Wieso ist der Schnittpunkt der Diagonalen e und f auch Mittelpunkt des Inkreises? Begründe! c) Zeichne den Inkreis (vergiss nicht auf die Berührradien)! Der Inkreisradius ist rund cm lang. d) Beschreibe in Worten, wie man den Flächeninhalt einer Raute berechnen kann! e) Berechne den Flächeninhalt der gegebenen Raute! A = Kreuze an, welche Eigenschaften die angeführten Vierecke immer haben (Trapez T, gleichschenkliges Trapez gT, Deltoid D, Parallelogramm P, Raute Ra, Rechteck R, Quadrat Q)! Eigenschaft T gT D P Ra R Q (Mindestens) zwei Seiten sind gleich lang. Gegenüberliegende Seiten sind immer gleich lang. Es gibt zwei Paare gleich langer Nachbarseiten. Alle Seiten sind gleich lang. (Mindestens) zwei Winkel sind gleich groß. Gegenüberliegende Winkel sind jeweils gleich groß. Es gibt zwei Paare gleich großer Nachbarwinkel. Alle Winkel sind gleich groß. Die Gerade g verläuft durch die Punkte P = (‒2 1 ‒3) und Q = (0 1 1), die Gerade h durch die Punkte R = (‒2 1 ‒2) und S = (1 1 ‒3). 1) Gib die Koordinaten des Schnittpunktes X der beiden Geraden an! 2) Wie groß ist der spitze Winkel α, den die beiden Geraden einschließen? Der Punkt S = (‒4 1 ‒2) ist Scheitel des Winkels α = ¼ ab. Sein Schenkel a verläuft durch den Punkt A = (3 1 ‒2), der Schenkel b durch B = (1 1 4). 1) Zeichne den Winkel α und gib seine Größe an! 2) Konstruiere die Winkelsymmetrale wα! 3) Konstruiere die Streckensymmetrale sCD mit C = (‒3 1 3) und D = (0 1 5)! 4) Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von wα und sCD an! 23 B O M DI 24 B O M DI A γ α β c B a C b B O M DI 25 B O M DI 26 B O M DI 27 28 B O M DI 29 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

8 Wiederholungstest 1 a) Gib 50 min als Bruchteil von 1 h an und kürze soweit wie möglich! b) Wie groß ist 1 1 _ 3 von 15? c) Schreibe 0,12 als Bruch und kürze soweit wie möglich! d) Welche Bruchzahl ist größer? 4 _ 7 1 _ 2 Begründung: e) Ordne die Bruchzahlen 1 _ 2 , 2 _ 5 , 3 _ 8 , 7 __ 10 der Größe nach! Beginne mit der kleinsten! < < < Der Rumpf und die Flügel des Flugzeugs sind aus Duraluminium hergestellt. Duraluminium ist eine Aluminium-Legierung mit besonders hoher Festigkeit. Sie besteht zu 92 % aus Aluminium, zu 5 % aus Kupfer und in geringem Maße aus Magnesium, Mangan und Silizium. 1) Wie groß ist der relative Anteil an Magnesium, Mangan und Silizium zusammen? 2) Wie viel Tonnen Aluminium sind im Flugzeug mit einer Duraluminium-Masse von 370 t verarbeitet? Ein Busunternehmer vermietet seinen Bus mit 60 Sitzplätzen zu einem Fixpreis. Wenn alle Plätze besetzt sind, zahlt jede Person 35 €. Bei einem Ausflug nehmen aber nur 56 Personen teil. Jede teilnehmende Person muss dann € bezahlen. Die monatliche Handyrechnung setzt sich zusammen aus der Grundgebühr und dem Betrag, den man für die Telefongespräche (Preis pro Minute mal Anzahl der verbrauchten Minuten) zu zahlen hat. 1) Gib den Zusammenhang mit selbst gewählten Variablen an! 2) Drücke jede Variable durch die drei anderen aus! 3) Wie viel Euro macht die Handyrechnung aus, wenn die Grundgebühr 9,95 € beträgt, pro Minute 0,19 € berechnet werden und insgesamt 2 h 15 min telefoniert wurde? Stelle eine Gleichung auf und löse sie! a) Michaela erhält doppelt so viel Taschengeld wie ihr kleiner Bruder. Sie erhalten zusammen 75 € pro Monat. Wie viel Euro Taschengeld bekommt Michaela, wie viel ihr Bruder im Monat? Gleichung: Michaela bekommt €, ihr Bruder €. b) Das Dreifache einer Zahl ist um 141 kleiner als 3 000. Wie lautet die Zahl? Gleichung: Die Zahl lautet . Löse die Gleichung! a) 3·u + 10 = 25 u = b) 7 _ 3 ·b – 1 _ 4 = 1 _ 3 b = c) 1 + a _ 2 = 2,5 a = Rechne in Prozentangaben bzw. in Brüche um und kürze soweit wie möglich! 19 __ 10 = 45 % = 2 _ 5 = 60 % = 9 __ 50 = 25 % = Berechne im Kopf! a) 42 g sind 6 % von g c) dag sind 10 % von 3 200 dag b) 40 € sind % von 1 000 € d) 35s sind 7% von s Eine Hose kostet ohne MwSt. 62 €. Die Hose kostet inklusive 20 % MwSt. €. Beim Abverkauf wird der Preis von 62 € auf 40,30 € herabgesetzt. Der Preis wurde um % ermäßigt. Ein Radfahrer fährt durchschnittlich mit ca. 20 km/h und erreicht sein Ziel in 4 1 _ 2 Stunden. Mit welcher mittleren Geschwindigkeit müsste ein Auto fahren, um dieselbe Strecke in 50 min zurückzulegen? km/h. 30 B O M DI 31 B O M DI 32 B O M DI B O M DI 33 34 B O M DI 35 B O M DI 36 B O M DI 37 B O M DI 38 B O M DI 39 B O M DI Wiederholungstest 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

9 Wiederholungstest 1 Anna-Lena hat bei einem Computerspiel in 12 Runden folgende Punkte erreicht: 45 40 42 43 50 50 0 41 48 41 48 47 1) Berechne das arithmetische Mittel und den Median dieser Punktzahlen! 2) Welcher der beiden Mittelwerte ist für diese Datenreihe aussagekräftiger? Begründe deine Antwort! Arbeitslosenquoten (Statista, Oktober 2024) in den Bundesländern: Unter Arbeitslosenquote versteht man das Verhältnis der Zahl der Arbeitslosen zur Gesamtzahl der Erwerbstätigen und Arbeitslosen. 1) Lies die Prozentsätze aus dem Streckendiagramm ab und trage diese in die Tabelle ein! Kärnten Wien Burgenland NÖ Stmk. Tirol Vorarlberg Salzburg OÖ 2) Bewerte Vor- und Nachteile von Tabelle und Diagramm! Zeichne das Dreieck ABC [A = (1 1 2), B = (‒4 1 0), C = (‒2 1 6)] in einem Koordinatensystem auf ein Blatt Papier! a) Miss die Größe der drei Innenwinkel des Dreiecks und kontrolliere die Winkelsumme! α ≈ ° , β ≈ ° , γ ≈ ° ; Winkelsumme = ° b) Konstruiere die Winkelsymmetralen und gib die Koordinaten ihres Schnittpunktes S an! S = ( | ) c) Welche besondere Eigenschaft hat dieser Schnittpunkt? a) Konstruiere das Dreieck ABC mit b = 8,8 cm, α = 66°, γ = 42° auf einem Blatt Papier! Zeichne die drei Höhen ein und miss sie! ha ≈ , hb ≈ , hc ≈ Kennzeichne den Höhenschnittpunkt H! b) Wie kann ein Dreieck aussehen, dessen Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt? Skizziere und beschreibe, wie man in so einem Fall vorgehen muss, um den Höhenschnittpunkt zu erhalten! Zeichne die Punkte C = (‒3 1 3) und D = (2 1 6) in ein Koordinatensystem. Verschiebe sie 2 nach rechts und 4 hinunter! Berechne die Koordinaten der Bildpunkte! a) Konstruiere eine Raute ABCD mit e = 7,6 cm und f = 5,8 cm auf einem Blatt Papier! Gib die Größen der Innenwinkel an und kontrolliere die Winkelsumme! α ≈ , β ≈ , γ ≈ , δ ≈ ; Winkelsumme = b) Konstruiere den Inkreis (vergiss nicht auf die Berührradien) und gib den Inkreisradius ρ an! ρ ≈ c) Berechne den Flächeninhalt der Raute mit Hilfe der vier rechtwinkligen Teildreiecke, die von den Diagonalen e und f gebildet werden! A = Veranschauliche die Addition auf der Zahlengeraden! 1) +2 + 7 2) ‒2 + 7 3) ‒7 + 2 4) ‒7 + 7 5) ‒7 – 2 Markiere durch Kreuze die Zahlen auf der Zahlengeraden! a) ‒9, ‒6, ‒3, 0, 2 b) ‒88, ‒86, ‒84, ‒82, ‒78, ‒76 c) ‒60, ‒30, 0, 15, 25, 30 40 B O M DI K B NÖ OÖ 2 4 6 8 10 S St T V W 0 12 % 41 B O M DI 42 B O M DI 43 B O M DI 44 B O M DI B O M DI 45 46 B O M DI 47 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

10 Wiederholungstest 2 Wie lauten der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von 24 und 36? ggT (24, 36) = kgV (24, 36) = Aus 27 l Milch kann man ca. 1,5 kg Butter herstellen. Für 3,5 kg Butter braucht man ca. l Milch. 1) Welche Bruchzahl liegt genau in der Mitte zwischen 8 __ 24 und 9 __ 24 ? 2) Gib mindestens drei Bruchzahlen an, die zwischen den beiden Bruchzahlen liegen! 8 __ 24 < < < < 9 __ 24 3) Wie viele Bruchzahlen gibt es zwischen den beiden Bruchzahlen? Begründe! Welche Zahlen sind gleich groß wie 0,6? Kreuze an! 0,60 0,600 0,06 6 __ 10 60 ___ 100 6 ___ 100 3 _ 5 12 __ 20 6 % 60 % 600 % Ordne den Aufgaben rechts die Ergebnisse zu! Bei einer 36-Stunden-Woche verdient Fritz Flink 666 € pro Woche. Letzte Woche hat er 777€ verdient. Er hat letzte Woche Stunden gearbeitet. Aus einem Brotwecken kann man 12 Scheiben, die 2,5 cm dick sind, schneiden. Wie viele Scheiben von 1,5 cm Dicke hätte man schneiden können? Löse die Gleichung! a) 8·x – 6 = 46 x = b) y _ 3 + 4 = 12,3 y = c) z·  3 _ 7 = 9 __ 28 z = Rechne in Prozentangaben bzw. in Brüche um und kürze so weit wie möglich! 7 __ 20 = 15 % = 3 _ 5 = 40 % = 7 __ 50 = 75 % = Berechne im Kopf! a) 12 s sind 3 % von c) 40 g sind 8 % von b) 6 € sind % von 300 € d) 60 m sind % von 1 km Der Eintritt in ein Museum kostet für Erwachsene 8 €. Kinder erhalten 20 % Ermäßigung. Ein Kind muss € bezahlen. Herr Maier legt mit seinem PKW 189 km auf der Autobahn in 1 h 45 min zurück. a) Mit welcher mittleren Geschwindigkeit in km/h ist er unterwegs? km/h. b) Wie lang wird Herr Maier bei gleicher mittlerer Geschwindigkeit für 540 km brauchen? Stunden. Der Jahresbeitrag für einen Sportverein wurde von 75 € auf 90 € erhöht. Die Erhöhung betrug %. Sabine spart jeden Monat 20 €, das sind 40 % ihres monatlichen Taschengeldes von €. 1) Ordne die Zahlen der Größe nach! Beginne mit der kleinsten! 2) Stelle die Zahlen auf einer Zahlengeraden dar! a) ‒7, +1, +3, ‒5, 0 b) +10, ‒11, +11, ‒10, +5 c) +28, ‒17, ‒19, +5, +31 48 B O M DI 49 B O M DI 50 B O M DI B O M DI 51 52 B O M DI 3 _ 5 ( 3 _ 2 – 0,7 ) – 1 _ 2 + 9 __ 10 ·  5 _ 3 = 7 __ 10 3 _ 5   3 _ 2 – 0,7 – 1 _ 2 + 9 __ 10 ·  5 _ 3 = 3 _ 5 : 3 _ 2 – ( 0,7 – 1 _ 2 ) + 9 __ 10 ·  5 _ 3 = 5 _ 6 3 _ 5 ( 3 _ 2 – 0,7 – 1 _ 2 ) + 9 __ 10 ·  5 _ 3 = 1 3 _ 4 1 7 __ 10 3 _ 5 ( 3 _ 2 – 0,7 – 1 _ 2 + 9 __ 10 )·  5 _ 3 = 3 1 _ 2 B O M DI 53 B O M DI 54 55 B O M DI B O M DI 56 B O M DI 57 B O M DI 58 59 B O M DI 60 B O M DI 61 B O M DI 62 B O M DI Wiederholungstest 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

11 Wiederholungstest 2 Die Tabelle enthält die Gesamtzahlen der Gästenächtigungen in Österreich von 1950 bis 2020. 1) Runde die Zahlen auf Mio. Nächtigungen und zeichne ein Balkendiagramm! Jahr Nächtigungen gerundet 2020 31,6 Mio. 2010 124,9 Mio. 2000 113,7 Mio. 1990 123,6 Mio. 1980 118,7 Mio. 1970 79,5 Mio. 1960 42,0 Mio. 1950 15,6 Mio. Mio. 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 0 20 2020 40 60 80 100 120 Jahr (Quelle: Statistik Austria, 2024) 2) Beschreibe Vor- und Nachteile von Diagramm und Tabelle! Der Punkt S = (1 1 8) ist Scheitel eines Winkels α. Der eine Schenkel von α verläuft durch den Punkt A = (‒1 1 1), der andere Schenkel durch B = (‒7 1 6). Zeichne auf ein Blatt Papier und miss die Größe von α! α ≈ ° Konstruiere die Winkelsymmetrale wα! Welche besondere Eigenschaft hat sie? Zeichne die Strecke XY mit X = (‒3 1 1) und Y = (2 1 6) und konstruiere ihre Streckensymmetrale sXY! Welche besondere Eigenschaft hat jede Streckensymmetrale? Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt P von wα mit sXY? P = ( 1 ) Konstruiere das Dreieck ABC mit a = 7,8 cm, c = 5,6 cm, α = 42° auf einem Blatt Papier! Miss die Winkel β und γ und überprüfe die Winkelsumme im Dreieck! Zeichne die drei Schwerlinien ein und kennzeichne den Schwerpunkt S! β ≈ , γ ≈ ; Winkelsumme = a) Konstruiere das gleichschenklige Trapez ABCD mit a = 9,6 cm, b = d = 5,3 cm und e = f = 8,7cm auf einem Blatt Papier! Gib die Größen der Innenwinkel an und kontrolliere die Winkelsumme! α ≈ , β ≈ , γ ≈ , δ ≈ ; Winkelsumme = b) Begründe, dass das gleichschenklige Trapez einen Umkreis besitzt! c) Konstruiere den Umkreis des Trapezes und gib seinen Radius r an! r ≈ Die Schülerinnen und Schüler der 3. Klassen (60 Kinder) wurden nach der Projektwoche befragt, wie ihnen die Woche gefallen hat. Die Ergebnisse sind in folgendem Diagramm festgehalten: a) Wie viele Schülerinnen bzw. Schüler haben die Projektwoche als eher schlecht empfunden? b) Berechne den relativen Anteil der Schülerinnen bzw. Schüler, die die Projektwoche als Sehr gut oder Gut in Erinnerung haben! c) Bei dieser Umfrage konnten die Kinder die Projektwoche auch mit Punkten bewerten (von 0–100). Fünf Klassenkollegen haben folgende Wertung abgegeben: Jonas: 73 Punkte, Frank: 85 Punkte, Sam: 52 Punkte, Jessi: 96 Punkte, Tim: 70 Punkte. Gib an, was die folgende Rechnung bedeuten könnte: 73 + 85 + 52 + 96 + 70 ____________ 5 ! 63 B O M DI 64 B O M DI B O M DI 65 2 0 10 20 Anzahl SchülerInnen Sehr gut Gut Eher schlecht Mies B O M DI 66 67 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

12 Ganze Zahlen A Schreibe mit Hilfe ganzer Zahlen auf! a) 200 Euro Schulden: c) 431 Euro Guthaben: e) im 2. Untergeschoß: b) 43 Meter unter dem Meeresspiegel: d) 15° C unter Null: f) 50 Meter über NN: A N E hat sich die folgende Aufgabe ausgedacht. Fülle die Tabelle korrekt aus! Addiere die beiden nicht verwendeten Zahlen! Diese Summe gibt dir den Buchstaben des Alphabets, der für den Namen fehlt! Vorgänger Zahl Nachfolger ‒5 +10 ‒9 ‒1 ‒2 Welche ganzen Zahlen sind auf der Zahlengeraden durch Kreuze markiert? Setze das Zeichen < bzw. > korrekt ein! a) ‒5 5 c) ‒103 ‒100 e) ‒199 ‒149 g) † ‒41 † † 40 † b) ‒99 ‒100 d) † ‒3 † 2 f) ‒1 010 ‒1 029 h) ‒1 000 100 ‒1 010 000 Welche ganze Zahl liegt genau in der Mitte zwischen den gegebenen Zahlen? a) + 25 und + 43 b) ‒25 und + 43 c) ‒43 und + 25 d) ‒43 und ‒25? Welche ganzen Zahlen sind gemeint? a) z > ‒3; z = b) † z † ≤ 4; z = Welche der angegebenen Beziehungen passen zu den folgenden ganzen Zahlen? Kreuze an! a) z = … ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, + 1, + 2 A z < 2 B z ≤ 2 C z < 3 D z < 4 E z > 2 b) z = ‒3, ‒2, ‒1, 0, + 1, + 2, + 3 A † z † > 3 B † z † < 3 C † z † ≤ 3 D † z † < 4 E † z † ≤ 4 Kreuze die richtigen Behauptungen an! Begründe durch Anführen eines passenden Gegenbeispiels, dass die anderen Schlussfolgerungen nicht richtig sind! Gegenbeispiel Gegenbeispiel A a = b w † a † = † b † D a = ‒b w † a † = † b † B a = ‒b w † a † = † ‒b † E a = ‒b w † a † = ‒† b † C † a † = † b † w a = b F † a † = † ‒b † w a = ‒b Setze das korrekte Zeichen + bzw. – in das Kästchen ein! Verfasse anschließend einen passenden Text zur dargestellten Abbildung! a) –17 15 b) –26 30 B O M DI 68 69 B O M DI ‒4 +11 ‒3 ‒6 ‒11 ‒1 +12 ‒10 0 14 0 ‒2 70 B O M DI –13 –9 71 B O M DI 72 B O M DI 73 B O M DI 74 B O M DI B O M DI 75 76 B O M DI 1 Ganze Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A 13 Ganze Zahlen Berechne! a) (+ 5) + (‒8) + (‒3) = c) (+ 5) – (+ 8) + (‒3) = e) (‒5) – (‒8) – (‒3) = b) (+ 5) + (‒8) – (‒3) = d) (+ 5) – (+ 8) – (‒3) = f) (‒5) + (‒8) – (‒3) = Welche Summe ist größer? Setze das Zeichen < bzw. > ein! a) (‒23) + (‒31) (‒4) + (‒31) c) (+ 23) + (‒34) (+ 24) + (‒34) e) (‒1 145) + (‒17) (‒1 145) + (‒27) b) (+ 20) + (‒33) (+ 20) + (+33) d) (‒222) + (+ 83) (‒2222) + (‒83) f) (‒35) + (‒18) (+ 35) + (‒18) Berechne 1) a + b, 2) † a + b †, 3) a – b, 4) † a – b † mit den angegebenen Werten! a) a = 3, b = 8 b) a = ‒5, b = 4 c) a = ‒6, b = ‒2 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) Überprüfe bzw. korrigiere die Rechnungen! Die Buchstaben ergeben einen Salzburger Ort. richtig falsch Korrektur A (‒28) – (‒5) – (+ 13) + (‒4) = (‒40) K F B † ‒28 † – † ‒5 † – † + 13 † + † ‒4 † = (+ 14) U I C † (‒28) – (‒5) – (+ 13) † + (‒4) = (+ 42) N C D (‒28) – † (‒5) – (+ 13) + (‒4) † = (‒6) D H E (‒28) – (‒5) – † (+ 13) + (‒4) † = (‒32) L T Lösungswort: __ __ __ __ __ Subtrahiere durch das Addieren der Gegenzahl! Das Lösungswort ergibt sich aus den Antworten (rückwärts gelesen)! a) (‒5) – (+ 3) = d) (+ 13) – (‒12) = b) (‒17) – (+ 13) = e) (‒21) – (‒15) = c) (+ 3) – (+ 12) = f) (+ 45) – (‒ 21) = Lösungswort: __ __ __ __ __ __ Ordne zu! 1 z = ‒20 A z + 17 = 0 2 z = + 38 B 33 – z = ‒5 3 z = ‒17 C z – 7 = ‒15 4 z = ‒8 D ‒12 – z = + 8 E ‒15 – (+ 12) = z + 3 F z – 17 = 0 Welche Gesamtveränderung ist hier mit Hilfe von Pfeilen dargestellt? a) (+13) (+28) b) (+4) (–10) 1) Schreibe als Rechnung auf! 2) Gib das Ergebnis an, wenn die Veränderung an die Stelle (+5) angehängt wird! 77 B O M DI 78 B O M DI B O M DI 79 80 B O M DI B O M DI 81 ‒6 E ‒9 E +66 G +100 S +13 A +25 H ‒30 I ‒8 M ‒10 F ‒48 N B O M DI 82 B O M DI 83 2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

14 Ganze Zahlen A Berechne! a) (‒12)·(+ 3) = d) (+ 64)(+ 4) = g) [(+ 12)·(‒6)](‒2) = b) (+ 45)(‒9) = e) (‒100)·0 = h) (+ 12)[(‒6)(‒2)] = c) (‒7)·(‒8) = f) 0(‒1 000) = i) [(+ 12)(‒6)](‒2) = Ist die Behauptung richtig oder falsch? Begründe möglichst ohne Ausrechnen! richtig falsch Begründung A 3·(‒7) < 3·(‒9) B (‒5)·(‒16) > (‒5)·16 C 48(‒3) > 48(‒6) D (‒25)(‒5) = 255 Welches Vorzeichen hat das Ergebnis? Kreuze an und begründe! plus minus Begründung A Drei negative Zahlen sind zu multiplizieren. B Drei negative Zahlen sind zu multiplizieren und das Ergebnis ist durch das Produkt zweier negativer Zahlen zu dividieren. C Eine negative Zahl ist durch das Produkt dreier negativer Zahlen zu dividieren. Schreibe (‒48) als das angegebene Produkt! Streiche die Aufgabe, die nicht ausführbar ist! Begründe! a) Als Produkt dreier negativer ganzer Zahlen: (‒48) = b) Als Produkt zweier negativer ganzer Zahlen und einer positiven ganzen Zahl: (‒48) = c) Als Produkt einer negativen ganzen Zahl und zweier positiver ganzer Zahlen: (‒48) = 84 B O M DI 85 B O M DI 86 B O M DI B O M DI 87 3 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen 4 Verbindung der vier Grundrechnungsarten Ordne jeder Rechnung das richtige Ergebnis zu! Notiere zunächst die Rechnung und berechne dann das Ergebnis! a) Addiere (‒8) zum Quotienten der Zahlen (‒42) und (‒7)! b) Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 12 und (‒3) die Zahl (‒14)! c) Multipliziere die Summe der Zahlen (‒13) und 5 mit (‒4)! d) Dividiere die Summe der Zahlen (‒8) und (‒12) durch ihre Differenz! Welche Fehler wurden gemacht? Wie lautet das richtige Ergebnis? gemachter Fehler richtiggestellte Rechnung a) (‒12)·(‒3) – (‒8) = 36 – 8 = 28 b) (‒3)·17·0 = (‒51) 88 B O M DI ‒12 0 15 27 (‒8)·[(‒3) – (‒6)](+ 2) = [(‒8)·(‒3) – (‒6)](+ 2) = (‒8)·[(‒3) – (‒6)(+ 2)] = (‒8)·(‒3) – (‒6)(+ 2) = 89 B O M DI B O M DI 90 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

15 A Merkenswertes Wähle zum Füllen der Lücken aus den rechts stehenden Wörtern die passenden aus! Trage die Buchstaben, Silben bzw. Satzzeichen in der Reihenfolge der Lücken in den Lösungstext ein! Ganze Zahlen Die ganzen Zahlen umfassen die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen (‒1, ‒2, ‒3, …). Die positiven ganzen Zahlen sind die Zahlen ohne Null. Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger und einen . Zwei Zahlen, die sich nur durch das unterscheiden, heißen Gegenzahlen. Zum Beispiel ist die von ‒5 die Zahl . Zahl und Gegenzahl haben auf der Zahlengeraden den Abstand vom Nullpunkt. Diesen Abstand nennt man den der Zahl. Der Betrag einer ganzen Zahl ≠ 0 ist immer . Rechnen mit ganzen Zahlen Beim Rechnen mit ganzen Zahlen müssen die beachtet werden: + (+ a) = (+ a)·(+ b) = + ab (+ a)(+ b) = + a _ b + (‒a) = (+ a)·(‒b) = ‒ab (+ a)(‒b) = ‒ a _ b ‒(+ a) = ‒a (‒a)·(+ b) = (‒a)(+ b) = ‒ a _ b ‒(‒a) = + a (‒a)·(‒b) = + ab (‒a)(‒b) = a _ b Wenn man eine Zahl mit (–1) multipliziert bzw. durch (–1) dividiert, erhält man die . Für die ganzen Zahlen gelten dieselben wie für die natürlichen Zahlen. Dh. auch für die ganzen Zahlen gilt das gesetz der Addition a + b = b + a, das Kommutativgesetz der a·b = b·a und das Assoziativgesetz der Addition und der Multiplikation . Auch das -gesetz gilt für die ganzen Zahlen. Lösungstext Gegenzahl GÜ minus R Nachfolger N natürlichen I negativen E positiv TE Rechenzeichen ST Vorgänger PI Vorzeichen E + 5 LD gleichen NE Betrag GU ‒5 A Multiplikation E Vorzeichenregeln TU 2 a + 2 b Ä 4 a Ö Distributiv E Rechenregeln Ü Kommutativ G Gegenzahl L + a b ZE + a GE ‒a ND ‒a b : a + (b + c) = (a + b) + c N a·(b·c) = (a·b)·c I Merkenswertes Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

16 Rationale Zahlen und Verhältnisse B 1) Kreuze alle rationalen Zahlen an, die größer als ‒1 sind! 2) Schreibe die Zahlen als Dezimalzahl! A ‒ 7 __ 8 B ‒3 ___ 2 C ‒ 4 __ 5 D 11 ___ ‒9 E ‒4 ___ 2 F ‒ 1 __ 5 1) Roman erklärt Jasmin einige Eigenschaften ganzer und rationaler Zahlen. Leider redet er auch Unsinn. Welche seiner Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Kreuze an! Aussagen richtig falsch A Die ganzen Zahlen gehören zu den natürlichen Zahlen. B Die positiven ganzen Zahlen sind die natürlichen Zahlen. C Die Zahl Null gehört weder zu den positiven noch zu den negativen ganzen Zahlen. D Die Menge der rationalen Zahlen umfasst die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen umfasst die Menge der natürlichen Zahlen. E Die natürlichen Zahlen sind keine rationalen Zahlen, weil sie keinen Bruchstrich haben. F Die in der 1. und 2. Klasse kennengelernten Bruchzahlen (≠ 0) sind die positiven rationalen Zahlen. G Der Vorgänger einer ganzen Zahl a ist auf der Zahlengeraden links von a. H Zwischen zwei ganzen Zahlen gibt es unendlich viele ganze Zahlen. I Die Gegenzahl einer rationalen Zahl ist immer negativ. J Die Beträge einer rationalen Zahl und ihrer Gegenzahl sind gleich. 2) Die Lösung führt dich zum Gipfelkreuz des Wissensberges. Um zu den Lösungswörtern zu gelangen, beginne jeweils im Tal beim Ort mit dem Buchstaben W und verfolge den Weg bis zum Gipfel. Die Pfeile für richtig (r) und falsch (f) führen dich jeweils zum nächsten Buchstaben für das 1. Lösungswort. Die übrig bleibenden Buchstaben ergeben Richtung Gipfel gelesen das 2. Lösungswort. 1. Lösungswort: W __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2. Lösungswort: W __ __ __ __ __ __ __ __ __ Schreibe folgende Dezimalzahlen in Bruchform! 0,7 = ; ‒0,23 = ; 0,75 = ; ‒1,125 = ; 1,5 = ; 2, _ 3 = ; ‒4, _ 5 = 1) Schreibe die folgenden Brüche in Dezimalschreibweise! 1 _ 5 = ; 2 _ 3 = ; ‒ 5 _ 6 = ; ‒ 8 _ 9 = ; 1 2 __ 15 = ; ‒1 1 _ 2 = ; 2 7 __ 10 = 2) Welche dieser Brüche lassen sich in Dezimalzahlen mit endlich vielen Nachkommastellen umrechnen? Welche nicht? 3) Zerlege die Nenner der Brüche aus Aufgabe 1) in Primfaktoren! Markiere auf der Zahlengeraden die Zahlen ‒1 2 _ 5 ; ‒0,9; ‒ 1 _ 2 ; 3 __ 10 ; 3 _ 5 ; 1,1 und 1 1 _ 2 durch Kreuze! 0 -1 +1 91 B O M DI 92 B O M DI r f r f r f f f r r f r f f f r r r f f r r f f r W I E L I S D S S P K I U G T E Z E L 93 B O M DI 94 B O M DI 95 B O M DI 1 Rationale Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B 17 Rationale Zahlen und Verhältnisse Gemischt periodische Dezimalzahlen können ebenfalls als Dezimalzahlen geschrieben werden. Ergänze die Lücken passend! a) 0,1 __ 3  = 0,1 __ 3 · = 1, __ 3 = 1 = 12 __ 9   12 __ 9 :10 = b) 2,45 __ 8 = 2,45 __ 8 · = 245, __ 8 = 245 8 __ 9 = 2 213 ____ 9   2 213 ____ 9 100 = c) 0,02 __ 1 = 0,02 __ 1 · = 2, __ 1 = 19 __ 9 100 = Der Guthabenstand von Elisabeth hat sich erhöht und liegt jetzt über 763,54 €. Welche der folgenden Aussagen drücken die Situation richtig aus? Kreuze an! A Der Guthabenstand ist mindestens 763,54 €. D Der Guthabenstand ist mindestens 763,55 €. B Der Guthabenstand ist höchstens 763,54 €. E Der Guthabenstand ist höchstens 763,55 €. C Der Guthabenstand ist mehr als 763,54 €. F Der Guthabenstand ist mehr als 763,55 €. Begründe ‒3 __ 4 = 3 __ ‒4 = ‒ 3 _ 4 ! Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze auf der Zahlengeraden markiert? 0 -1 +1 Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen ‒ 3 _ 5 und ‒ 2 _ 5 liegen! Welche Zahl liegt „genau in der Mitte“ zwischen den gegebenen Zahlen? a) 1 _ 9 und 7 _ 9 b) 1 _ 3 und 2 _ 3 c) ‒ 3 _ 4 und ‒ 3 _ 5 d) ‒ 1 _ 2 und 3 _ 4 e) ‒ 3 _ 4 und 1 _ 8 Gib drei Zahlen an, die a) zwischen ‒6 und ‒5, jedoch näher bei ‒6, b) zwischen ‒ 3 __ 4 und ‒ 2 __ 3 , jedoch näher bei ‒ 2 __ 3 liegen! Ordne die gegebenen rationalen Zahlen der Größe nach! Beginne mit der kleinsten Zahl! ‒1 1 _ 4 ; 2 _ 3 ; 1,5; ‒ 5 _ 3 ; 1 _ 2 ; ‒1 1 _ 2 ; 3 _ 4 Welche Aussagen sind richtig (r), welche sind falsch (f)? Begründe deine Antworten! r f Begründung r f Begründung A | ‒ 3 __ 10 | = 0,3 C ‒| ‒ 5 _ 2 | ≤ ‒ 5 _ 2 B ‒ 2 _ 5 > | ‒ 2 _ 5 | D | ‒ 7 _ 2 | > 7 _ 2 Gib die nächst größere und die nächst kleinere ganze Zahl an! a) < − 4 __ 5 < c) < − 14 __ 5 < e) < + 54 __ 7 < b) < − 5 __ 4 < d) < + 9 __ 4 < f) < − 104 ___ 20 < Schreibe die Aussage mit Hilfe des Zeichens < bzw. ≤ auf! Das Lösungswort erhältst du aus den nicht verwendeten Buchstaben! Aussage a ≤ ‒ 3 __ 10 A |a| ≤ 6 __ 5 K a < 0,25 H |a| ≤ 0,2 R a ≤ ‒ 10 __ 3 M | a | < 1 P |a| < 1 __ 5 F a < 1,5 Ø alle Zahlen, deren Abstand vom Nullpunkt kleiner als 1 _ 5 ist alle Zahlen, die höchstens ‒0,3 sind alle Zahlen, die kleiner als ein Viertel sind alle Zahlen, deren Abstand vom Nullpunkt höchstens 1,2 ist Lösungswort: __ __ __ __ 96 B O M DI 3 _ 9 12 __ 90 12 __ 90 10 2 1 _ 9 100 19 ___ 900 19 ___ 900 2 213 ___ 900 2 213 ___ 900 100 97 B O M DI 98 B O M DI 99 B O M DI 100 B O M DI 101 B O M DI B O M DI 102 103 B O M DI 104 B O M DI 105 B O M DI 106 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

18 Rationale Zahlen und Verhältnisse B Berechne! a) 3 _ 4 + 1 _ 2 = d) ‒ 2 _ 5 + 3 _ 4 = g) 5 _ 6 – 1 2 _ 9 = b) 3 _ 5 – 7 __ 10 = e) 3 _ 7 + 1 1 _ 2 = h) ‒2 3 _ 8 – 1 5 __ 12 = c) ‒ 2 _ 3 + 5 _ 6 = f) 5 _ 6 – 1 2 _ 5 = i) 3 1 _ 6 + 2 7 _ 8 = Ordne jeder Rechnung das richtige Ergebnis zu! 1) Gegeben sind zwei rationale Zahlen A = ‒ 1 _ 2 und B = 2 _ 3 . Welches Vorzeichen ergibt sich jeweils? a) A + B b) A – B c) B – A 2) Stelle die Rechnung als Gesamtveränderung mit Hilfe von Pfeilen auf einem Blatt Papier dar! Welche Rechnung ist dargestellt? Gib alle Möglichkeiten an! a) –3 8 2 8 b) –2 –11 5 Berechne! a) 3 _ 4 ·  1 _ 2 = d) ( ‒ 2 _ 5 )·( ‒ 15 __ 8 ) = g) ( ‒ 4 _ 5 )  8 _ 9 = b) ( ‒ 3 _ 8 )·  7 _ 6 = e) 3 _ 4 ( ‒ 3 _ 2 ) = h) 33 ___ 100   11 __ 50 = c) ( ‒ 2 _ 5 )·( ‒ 3 _ 4 ) = f) 5 _ 8 1 1 _ 4 = i) ( ‒2 1 _ 3 )( ‒1 3 _ 4 ) = Führe mit jeder Zahl der linken Spalte die in der ersten Zeile angegebenen Rechenoperationen durch! a) + 2 _ 3 ‒ 3 _ 4 2 ‒6 1 1 _ 4 b) ·(‒3) : 5 5 _ 9 2 ‒ 4 __ 15 c) · 3 _ 5 : ( ‒ 3 _ 5 ) 15 ‒10 1 3 _ 5 Drei rationale Zahlen A, B und C liegen zwischen (‒5) und (+ 5). a) A und B liegen näher bei (‒5) als bei (+ 5); C liegt näher bei (+ 5). Welches Vorzeichen hat das Produkt? 1) A·B 2) A·C 3) A·B·C b) A liegt näher bei (‒5) als bei (+ 5); B und C liegen näher bei (+ 5). Welches Vorzeichen hat der Quotient? 1) AB 2) BC 3) ABC 107 B O M DI 108 B O M DI ( ‒ 2 _ 3 ) – ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 – 1 _ 2 + 1 _ 3 = ( ‒ 2 _ 3 ) – ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 – [ 1 _ 2 + 1 _ 3 ] = ( ‒ 2 _ 3 ) – ( ‒ 3 _ 2 ) – [ 5 _ 6 – 1 _ 2 ] + 1 _ 3 = ( ‒ 2 _ 3 ) – ( ‒ 3 __ 2 ) – [ 5 _ 6 – 1 _ 2 + 1 _ 3 ] = ( ‒ 2 _ 3 ) – [ ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 – 1 _ 2 ] + 1 _ 3 = ( ‒ 2 _ 3 ) – [ ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 – 1 _ 2 + 1 _ 3 ] = ‒ 5 _ 6 ‒ 1 _ 6 1 _ 6 3 _ 2 11 __ 6 5 __ 2 ( ‒ 2 _ 3 ) – [ ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 ] – 1 _ 2 + 1 _ 3 = 5 _ 6 109 B O M DI 110 B O M DI 111 B O M DI 112 B O M DI 113 B O M DI 2 Rechnen mit rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B 19 Rationale Zahlen und Verhältnisse Du sollst jemandem die Regeln für das Rechnen mit rationalen Zahlen in Bruchform erklären. a) Wie erklärst du das Addieren bzw. das Subtrahieren von rationalen Zahlen in Bruchform? b) Wie erklärst du das Multiplizieren bzw. das Dividieren von rationalen Zahlen in Bruchform? Löse die Aufgaben! Nimm dann jeweils die Beträge der Ergebnisse und kürze diese so weit wie möglich! Der Zähler des jeweiligen Ergebnisses gibt dir die Zeile, der Nenner die Spalte in der Tabelle mit den Lösungsbuchstaben an. Als Lösungswort ergibt sich eine Stadt in Österreich. 1) ( ‒ 2 _ 3 )·( 1 _ 4 ) = 2) ( ‒ 2 _ 3 )( 1 _ 4 ) = 3) ( ‒ 3 _ 5 )·( ‒ 2 _ 3 ) = 4) ( ‒ 3 _ 5 )( ‒ 2 _ 3 ) = 5) ( 1 _ 6 + 1 _ 2 )·( ‒ 5 _ 6 ) = 6) ( 1 _ 6 + 1 _ 2 )( ‒ 5 _ 6 ) = 7) 3 _ 4 ·( 5 _ 6 + 2 _ 3 ) = 8) 3 _ 4 ( 5 _ 6 + 2 _ 3 ) = Lösungswort: __ __ __ __ __ __ __ __ Überprüfe die Verteilungsgesetze (Distributivgesetze) der Multiplikation bzw. der Division im Bereich der rationalen Zahlen mit den Zahlen 3 _ 4 , 1 _ 2 und 4 _ 5 ! 1) [ 3 _ 4 + 1 _ 2 ]·  4 _ 5 = 3 _ 4 ·  4 _ 5 + 1 _ 2 ·  4 _ 5 = 2) [ 3 _ 4 – 1 _ 2 ]·  4 _ 5 = 3 _ 4 ·  4 _ 5 – 1 _ 2 ·  4 _ 5 = 3) [ 3 _ 4 + 1 _ 2 ]  4 _ 5 = 3 _ 4   4 _ 5 + 1 _ 2   4 _ 5 = 4) [ 3 _ 4 – 1 _ 2 ]  4 _ 5 = 3 _ 4   4 _ 5 – 1 _ 2   4 _ 5 = Zeige, dass die folgenden Rechnungen zu den angegebenen Ergebnissen führen! a) ( ‒ 2 _ 3 )·  3 _ 4 – 5 _ 6 – 1 1 _ 3 1 1 _ 2 = = ‒ 20 __ 9 b) ( ‒ 2 _ 3 )·[ 3 _ 4 – 5 _ 6 ] – 1 1 _ 3 1 1 _ 2 = = ‒ 5 _ 6 c) [ ( ‒ 2 _ 3 )·  3 _ 4 – 5 _ 6 – 1 1 _ 3 ]1 1 _ 2 = = ‒ 16 __ 9 d) ( ‒ 2 _ 3 )·  3 _ 4 – [ 5 _ 6 – 1 1 _ 3 1 1 _ 2 ] = = ‒ 4 _ 9 Welche zwei Behauptungen sind richtig? Kreuze an! Gib für die anderen ein Gegenbeispiel an! A In den Zahlenmengen ℕ, ℤ und ℚ sind die Additionen immer ausführbar. B In den Zahlenmengen ℕ, ℤ und ℚ sind die Subtraktionen immer ausführbar. C In den Zahlenmengen ℕ, ℤ und ℚ sind die Multiplikationen immer ausführbar. D In den Zahlenmengen ℕ, ℤ und ℚ sind die Divisionen immer ausführbar. Aussage: , Gegenbeispiel Aussage: , Gegenbeispiel Setze die Zeichen <, > bzw = ein! Löse, ohne das Ergebnis zu berechnen! a) ( ‒ 3 __ 4 ) 1 __ 4 3 __ 4  1 __ 4 c) ( ‒ 5 __ 8 )· 2 __ 3 5 __ 8 ·( ‒ 2 __ 3 ) e) 1 2 __ 3 – 15 __ 3 1 2 __ 3 – 15 __ 10 b) ‒ 14 __ 5 + 21 __ 3 ‒ 14 __ 5 + 21 __ 2 d) | ‒ 1 __ 2 |·( ‒ 10 __ 3 ) 1 __ 2 ·( ‒ 10 __ 3 ) f) ( ‒ 12 __ 10 )( ‒ 1 __ 4 ) ( + 12 __ 10 )( + 1 __ 4 ) 114 B O M DI B O M DI 115 012345678910 0 XRFUNOSTWAZ 1 PWLKÜRNDQGB 2 CIVJLUYÖHSF 3 PFÄRWTESOMN 4 IUMKZEAVXJO 5 RTÄRFDSZÖIW 6 LCHEUVPMZHO 7 RBMUÄDAPFLG 8 TAKEWÖISNJM 9 ULBPKFCADÖS 10 GYZMULVIRTÄ 116 B O M DI 117 B O M DI 118 B O M DI 119 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

20 Rationale Zahlen und Verhältnisse B Berechne und gib das Ergebnis erst als Bruch, anschließend auch als Dezimalzahl an! Verbinde in den Aufgaben die einzelnen Ergebnisse nach der Reihenfolge der entsprechenden Rechnungen (zuerst die Bruch-, anschließend die Dezimalzahldarstellung)! 1) 1 _ 5 ( ‒ 1 _ 2 ) – 1 _ 5 ·( ‒1 1 _ 2 ) = = = 2) 3 1 _ 5 ·[ 1 _ 4 + 2 _ 5 + 7 1 _ 4 (‒40) ] = = = 3) ( 7 2 _ 3 – 2 1 _ 2 )  2 _ 3 + 1 _ 4 = = = 4) ( 5 _ 6 – 1 _ 2 )( 1 1 _ 2 – 1 _ 6 ) = = = 5) 1 _ 3 + 2 _ 6 ·1 3 _ 4 – 2 1 __ 24 = = = 6) 1 1 _ 8 (‒2)·( ‒ 2 _ 3 )·  1 _ 5 = = = 7) ‒ 1 __ 25 ·[ 1 _ 2 + 1 _ 3 + 1 _ 4 ( 1 _ 5 – 1 _ 6 ) ] = = = 8) 1 _ 7 + 3 _ 7 ·( ‒1 1 _ 6 ) – 1 _ 7 = = = 9) ( 2· 1 _ 2 )( 3·  1 _ 3 ) = = = 10) ‒2 ____ ‒ 1 _ 4 – 3 _ 4 = = = Ordne das richtige Ergebnis zu! Schreibe jeden Zwischenschritt auf! 1 0,1 _ 6 1 _ 2 = A 1 E 1 _ 3 2 (‒0, _ 1)·0, _ 3 = B ‒ 1 __ 27 F 0,8 3 0, _ 2 + 0, _ 8 = C 10 __ 9 4 4 __ 11 0, __ 36 = D ‒ 1 _ 9 120 B O M DI –8 –1,5 –2 –1,125 –0,5 –2 –0,8 –0,1 –8 –1 –1 8 2 0,125 8 2 1,5 0,5 7 0,075 7 0 0 1 1 0,2 0,25 0,4 1 8 1 9 1 2 5 9 –1 1 2 3 1 3 1 4 2 5 1 3 1 5 – 1 3 – 1 6 – 1 2 3 40 – 1 10 –1 1 8 – 4 5 1 1 2 0,3 0,1 0,5 –0,3 –0,16 3,3 B O M DI 121 Lösungsbild: __ __ __ __ __ __ __ __ __ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B 21 Rationale Zahlen und Verhältnisse Fülle die Tabelle aus! Wie verhält sich die links stehende Zahl jeweils zu der in der ersten Zeile angegebenen Zahl? Kürze wenn möglich und gib den k-Faktor an! Verhältnis 6 12 24 30 36 60 80 a) 8 43 k = 1, _ 3 23 k = 0, _ 6 b) 4 c) 24 d) 40 Wie verhalten sich die Längen folgender Strecken zueinander? a) b) c) d c f e h g cd = ef = gh = Zeichne Strecken, die das gegebene Längenverhältnis haben! a) ab = 31 b) xy = 38 c) vw = 56 Berechne die fehlende Zahl bzw. das fehlende Verhältnis! a) b) c) d) e) f) Verhältnis der Zahlen 35 56 38 34 59 1. Zahl 45 35 99 2. Zahl 144 2 000 65 108 Die vier Zahlen r, s, u und v bilden die Glieder der Proportion rs = uv. Berechne die fehlende Zahl! In der folgenden Tabelle sind die Längen einiger österreichischer Flüsse angegeben. Gib jeweils das ungefähre Verhältnis der Längen der angegebenen Flüsse zur Länge der Enns an! Fluss Enns Drau Inn Lech Kamp Mur Länge 254 km 749 km 510 km 250 km 153 km 444 km Ein Auto ist a) 3,60 m lang, b) 4,20 m lang. Die Länge des Spielzeugautomodells der gleiche Type verhält sich zur Länge des echten Autos wie 124. Wie lang ist das Modell? 122 B O M DI B O M DI 123 B O M DI 124 125 B O M DI 126 B O M DI r s u v a) 5 4 10 b) 3 7 3 1 _ 2 c) 1 250 750 450 7 5 1 6 2 0 8 127 B O M DI B O M DI 128 3 Verhältnisse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

22 Rationale Zahlen und Verhältnisse B In der untenstehenden Tabelle findest du die Sprungweiten und die Körperlängen verschiedener Tiere. a) Berechne jeweils die fehlende Größe bzw. das fehlende Verhältnis (Sprungvermögen)! Tierart Sprungweite s Körperlänge k Verhältnis sk (Sprungvermögen) Floh 0,6 m 2001 Heuschrecke 2 m 6,5 cm Waldmaus 0,7 m 81 Ochsenfrosch 20 cm 101 Fuchs 2,8 m 70 cm Impala 1,5 m 61 Känguru 10 m 254 b) Wie weit könnte ein Mensch von 1,75 m Körpergröße mit dem Sprungvermögen eines Flohs springen? Der Mensch könnte m weit springen. Ordne die Verhältnisse in der linken Spalte denen der rechten Spalte korrekt zu! In welchem Verhältnis stehen folgende Größen? a) 1 m zu 1 cm = d) 1 cm zu 1 cm = b) 1 kg zu 1 dag = e) 1 h zu 1 sec = c) 1 m2 zu 1 dm2 = f) 1 m3 zu 1 cm3 = Berechne den Maßstab! Beispiel a) b) c) Länge im Plan (r) 2 cm 7 mm 1 cm 4 mm Länge in Wirklichkeit (s) 40 m = 4 000 cm 700 m 25 m 200 m Proportion 24 000 = 1x x = 2 000 Maßstab 12 000 Der Parthenon auf der Akropolis von Athen ist eines der ausgewogensten Bauwerke des Altertums. Die Seitenlängen des Parthenon verhalten sich wie 49 (BreiteLänge). Die Breite beträgt 30,8 m. Wie lang ist dieses Bauwerk? Der Innenraum der romanischen Abteikirche von Seckau (Steiermark) weist ganz bestimmte Längenverhältnisse auf. Die Breite des Mittelschiffes der Kirche beträgt 7,90 m. Sie verhält sich zur Höhe des Mittelschiffes wie 12, zur Höhe der Säulen (Pfeiler) ungefähr 32, zur Höhe des Mittelschiff-Fensters wie 31. 1) Welche Höhe hat das Mittelschiff? 2) Rund welche Höhe haben die Säulen? 3) Wie hoch ist das Mittelschiff-Fenster? 129 B O M DI 130 1 1,20,8 A 75 2 3 _ 4   1 _ 8 B 61 3 18072 C 92 4 3 _ 5 4 D 52 5 4,41,2 E 89 6 2 _ 3   3 _ 4 F 113 7 9 b2 b G 320 8 x 5 _ 7 x H 32 B O M DI 131 B O M DI 132 B O M DI 133 B O M DI 134 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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