J 71 Ähnlichkeit Von einem Dreieck A1B1C1 kennt man die Seitenlängen a1 = 42 mm, b1 = 48 mm und c1 = 66 mm. Ein dazu ähnliches Dreieck A2B2C2 hat die Seitenlänge a2 = 35 mm. a) Wie lang sind die Seiten b2 und c2? Überlege: b2b1 = c2c1 = a2a1 Vereinfache zunächst: a2a1 = 3542 = Berechne dann b2: b248 = w b2 = mm Für c2 gilt: c2 = w c2 = mm b) Berechne die Umfänge u1 und u2 der beiden Dreiecke und zeige, dass diese Umfänge im selben Verhältnis stehen wie die Seitenlängen! u1 = a1 + b1 + c1 = mm, u2 = a2 + b2 + c2 = mm, u2u1 = = c) In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der beiden Dreiecke? Schreibe das Ergebnis mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen auf! A1A2 = a1 2a 2 2 = = a) Eileen sagt, sie könne mit Hilfe von Schattenlängen die Höhe eines Turmes berechnen. Der Turm wirft einen ca. 35 m langen Schatten. Ihr 1,50 m großer Bruder Tim wirft gleichzeitig einen 2,50 m langen Schatten. Sie meint, das Verhältnis zwischen tatsächlicher Größe und Schattenlänge müsse für den Turm und für Tim gleich sein. Hat sie Recht? Welche geometrische Eigenschaft verwendet sie bei ihrem Modell? b) Berechne die Höhe des Turmes! h35 = 1,502,50 w h ≈ m Der Turm ist ungefähr m hoch. c) Wenn eine 1,75 m große Frau einen 1,05 m langen Schatten wirft, wie lang muss dann zur selben Zeit der Schatten des rund 200 m hohen Donauturmes sein? 1,751,05 = w s ≈ m Der Schatten ist ca. m lang. a) Zeichne das Dreieck ABC mit a = 5,4 cm, b = 4,8 cm, c = 6,3 cm und vergrößere es dann im Verhältnis 34! Verwende als Streckzentrum den Eckpunkt A und verlängere zunächst die Seite c im Verhältnis 34 zur Seite c1! b) Miss die Seiten des vergrößerten Dreiecks A1B1C1 und zeige, dass das Streckverhältnis für jede der drei Seitenlängen stimmt! a1 ≈ cm w aa1 = 5,4 = b1 ≈ cm w bb1 = 4,8 = und zeige: c1 ≈ cm w cc1 = 6,3 = c) Miss in beiden Dreiecken die Höhe auf c bzw. c1! hc ≈ cm, h c 1 ≈ cm w hch c 1 ≈ = 319 B O M DI 320 B O M DI 321 B O M DI A c B 4 Längen- und Flächenbeziehungen bei ähnlichen Figuren (Körpern) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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