4 Lösungen Merkenswertes (Seite 15) Ganze Zahlen Die ganzen Zahlen umfassen die natürlichen Zahlen und die negativen ganzen Zahlen (‒1, ‒2, ‒3, …). Die positiven ganzen Zahlen sind die natürlichen Zahlen ohne Null. Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger. Zwei Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen. ZB ist die Gegenzahl von ‒5 die Zahl + 5. Zahl und Gegenzahl haben auf der Zahlengeraden den gleichen Abstand vom Nullpunkt. Diesen Abstand nennt man den Betrag der Zahl. Der Betrag einer ganzen Zahl ≠ 0 ist immer positiv. Rechnen mit ganzen Zahlen Beim Rechnen mit ganzen Zahlen müssen die Vorzeichenregeln beachtet werden: + (+ a) = + a (+ a)·(+ b) = + ab (+ a)(+ b) = + a _ b + (‒a) = ‒a (+ a)·(‒b) = ‒ab (+ a)(‒b) = ‒ a _ b ‒(+ a) = ‒a (‒a)·(+ b) = ‒ab (‒a)(+ b) = ‒ a _ b ‒(‒a) = + a (‒a)·(‒b) = + ab (‒a)(‒b) = a _ b Wenn man eine Zahl mit (–1) multipliziert bzw. durch (–1) dividiert, erhält man die Gegenzahl. Für die ganzen Zahlen gelten dieselben Rechenregeln wie für die natürlichen Zahlen. Dh. auch für die ganzen Zahlen gilt das Kommutativgesetz der Addition a + b = b + a, das Kommutativgesetz der Multiplikation a·b = b·a und das Assoziativgesetz der Addition a + (b + c) = (a + b) + c und der Multiplikation a·(b·c) = (a·b)·c. Auch das Distributivgesetz gilt für die ganzen Zahlen. Lösungtext: EINE GÜLDNE GUTE TUGEND: LÜGE NIE B Rationale Zahlen und Verhältnisse 1 Rationale Zahlen (Seite 16) 91 1) A, C, F 2) A ‒ 7 _ 8 = ‒0,875 B ‒3 _ 2 = ‒1,5 C ‒ 4 _ 5 = ‒0,8 D 11 _ ‒9 = ‒1, _ 2 E ‒4 _ 2 = ‒2 F ‒ 1 _ 5 = ‒0,2 92 1) richtig: C, D, F, G und J; falsch: A, B, E, H und I Begründungen: zu A: Die natürlichen Zahlen gehören zu Z. zu B: Null gehört zu Z, nicht zu N+. zu E: Jede natürliche Zahl lässt sich als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben. zu H: Zwischen zwei ganzen Zahlen gibt es keine oder höchstens endlich viele ganze Zahlen. zu I: Gegenbeispiel: Die Gegenzahl von ‒3 ist + 3 und ist somit positiv. 2) Lösungswort 1: WILDSPITZE Lösungswort 2: WEISSKUGEL 93 0,7 = 7 __ 10 ; ‒0,23 = ‒ 23 ___ 100 ; 0,75 = 3 _ 4 ; ‒1,125 = ‒1 1 _ 8 ; 1,5 = 3 _ 2 ; 2, _ 3 = 2 1 _ 3 ; ‒4, _ 5 = ‒4 5 _ 9 94 1) 1 _ 5 = 0,2; 2 _ 3 = 0,666…; ‒ 5 _ 6 = ‒0,833…; ‒ 8 _ 9 = ‒0,888…; 1 2 __ 15 = 1,133…; ‒1 1 _ 2 = ‒1,5; 2 7 __ 10 = 2,7 2) mit endlich vielen Nachkommastellen: 1 _ 5 ; ‒1 1 _ 2 ; 2 7 __ 10 nicht mit endlich vielen Nachkommastellen: 2 _ 3 ; ‒ 5 _ 6 ; ‒ 8 _ 9 ; 1 2 __ 15 3) 5 = 5; 3 = 3; 6 = 3·2; 9 = 3·3; 15 = 3·5; 2 = 2; 10 = 2·5 95 0 -1 -0,9 -12 5 1 1,1 11 2 3 5 - 1 2 3 10 96 a) 0,1 _ 3 = 12 _ 90 0,1 _ 3 ·10 = 1, _ 3 = 1 3 _ 9 = 12 _ 9 12 _ 9 10 = 12 _ 90 b) 2,45 _ 8 = 2 213 _ 900 2,45 _ 8 ·100 = 245, _ 8 = 245 8 _ 9 = 2 213 _ 9 2 213 _ 9 100 = 2 213 _ 900 c) 0,02 _ 1 = 19 _ 900 0,02 _ 1 ·100 = 2, _ 1 = 2 1 _ 9 19 _ 9 100 = 19 _ 900 97 C, D 98 Die Beträge der beteiligten Zahlen sind immer gleich. Zum Vorzeichen: ‒3 __ 4 = (‒3): 4; dh.: (–)(+) = (–); 3 __ ‒4 = 3(‒4); dh.: (+)(–) = (–); ‒ 3 _ 4 = ‒ ( 3 _ 4 ); dh.: ‒(+) = (–) 99 0 -1 +1 1 6 1 3 3 4 1 6 1 2 5 6 -1 - - 100 zB ‒ 11 __ 20 ; ‒ 10 __ 20 ; ‒ 9 __ 20 101 a) 4 _ 9 b) 3 _ 6 c) ‒ 27 __ 40 d) 1 _ 8 e) ‒ 5 __ 16 102 a) zB ‒5,9; ‒5,8; ‒5 2 _ 3 b) zB ‒0,7; ‒0,69; ‒0,6837 103 ‒ 5 _ 3 < ‒1 1 _ 2 < ‒1 1 _ 4 < 1 _ 2 < 2 _ 3 < 3 _ 4 < 1,5 104 richtig: A, weil | ‒ 3 __ 10 | = 3 __ 10 ; C, weil ‒| ‒ 5 _ 2 |= ‒ 5 _ 2 falsch: B, denn | ‒ 2 _ 5 | ist positiv; D, denn | ‒ 7 _ 2 | = 7 _ 2 105 a) ‒1 < ‒ 4 _ 5 < 0 c) ‒3 < ‒ 14 _ 5 < ‒2 e) 7 < + 54 _ 7 < 8 b) ‒2 < ‒ 5 _ 4 < ‒1 d) 2 < + 9 _ 4 < 3 f) ‒6 < ‒ 104 _ 20 < ‒5 106 Lösungswort: PRIM 2 Rechnen mit rationalen Zahlen (Seite 18) 107 a) 5 _ 4 ; b) ‒ 1 __ 10 ; c) 1 _ 6 ; d) 7 __ 20 ; e) 27 __ 14 ; f) ‒ 17 __ 30 ; g) ‒ 7 __ 18 ; h) ‒ 3 19 __ 24 ; i) 6 1 __ 24 108 ( ‒ 2 _ 3 )– ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 – 1 _ 2 + 1 _ 3 = ‒ 1 _ 6 ( ‒ 2 _ 3 )– ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 – [ 1 _ 2 + 1 _ 3 ] = ‒ 5 _ 6 ( ‒ 2 _ 3 )– ( ‒ 3 _ 2 ) – [ 5 _ 6 – 1 _ 2 ] + 1 _ 3 = 5 _ 6 ( ‒ 2 _ 3 )– ( ‒ 3 _ 2 ) – [ 5 _ 6 – 1 _ 2 + 1 _ 3 ] = 1 _ 6 ( ‒ 2 _ 3 )– [ ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 – 1 _ 2 ] + 1 _ 3 = 5 __ 2 ( ‒ 2 _ 3 )– [ ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 – 1 _ 2 + 1 _ 3 ] = 11 __ 6 ( ‒ 2 _ 3 )– [ ( ‒ 3 _ 2 ) – 5 _ 6 ] – 1 _ 2 + 1 _ 3 = 3 __ 2 109 1) a) + b) – c) + 2) a) -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 b) -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -1,1 -1,2 -0,1 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 0 c) 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 110 a) ‒ 3 _ 8 + 5 _ 8 bzw. ‒ 3 _ 8 ‒ ( ‒ 5 _ 8 ) b) ‒1 ‒ (+1)bzw. ‒1 + (‒1) 111 a) 3 _ 8 ; b) ‒ 7 __ 16 ; c) 3 __ 10 ; d) 3 _ 4 ; e) ‒ 1 _ 2 ; f) 1 _ 2 ; g) ‒ 9 __ 10 ; h) 3 _ 2 ; i) 4 _ 3 112 a) + 2 _ 3 ‒ 3 _ 4 2 2 2 _ 3 1 1 _ 4 ‒6 ‒5 1 _ 3 ‒6 3 __ 4 1 1 _ 4 1 11 __ 12 1 _ 2 b) · (‒3) : 5 5 _ 9 ‒ 5 _ 3 1 _ 9 2 ‒6 2 _ 5 ‒ 4 __ 15 4 _ 5 ‒ 4 __ 75 c) · 3 _ 5 : ( ‒ 3 _ 5 ) 15 9 ‒25 ‒10 ‒6 50 __ 3 1 3 _ 5 24 __ 25 ‒ 8 _ 3 113 a) 1) + ; 2) – ; 3) + b) 1) – ; 2) + ; 3) – 114 a) Zuerst musst du alle Brüche auf gleichen Nenner bringen und dann die Zähler addieren bzw. subtrahieren. b) Beim Multiplizieren multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner! Beim Dividieren multipliziere die 1. Bruchzahl mit dem Kehrwert der 2. Bruchzahl! Kürze, wenn möglich, bevor du multiplizierst! 115 1) ( ‒ 2 _ 3 )·( 1 _ 4 )= ‒ 1 _ 6 ; 4) ( ‒ 3 _ 5 )( ‒ 2 _ 3 )= 9 __ 10 ; 7) 3 _ 4 ·( 5 _ 6 + 2 _ 3 )= 9 _ 8 ; 2) ( ‒ 2 _ 3 ) ( 1 _ 4 ) = ‒ 8 _ 3 ; 5) ( 1 _ 6 + 1 _ 2 )· ( ‒ 5 _ 6 ) = ‒ 5 _ 9 ; 8) 3 _ 4 ( 5 _ 6 + 2 _ 3 ) = 1 _ 2 3) ( ‒ 3 _ 5 )· ( ‒ 2 _ 3 ) = 2 _ 5 ; 6) ( 1 _ 6 + 1 _ 2 ) ( ‒ 5 _ 6 ) = ‒ 4 _ 5 ; Lösungswort: NEUSIEDL 116 1) 5 _ 4 · 4 _ 5 = 1; 3 _ 5 + 2 _ 5 = 1 3) 5 _ 4 · 5 _ 4 = 25 __ 16 ; 15 __ 16 + 10 __ 16 = 25 __ 16 2) 1 _ 4 · 4 _ 5 = 1 _ 5 ; 3 _ 5 – 2 _ 5 = 1 _ 5 4) 1 _ 4 · 5 _ 4 = 5 __ 16 ; 15 __ 16 – 10 __ 16 = 5 __ 16 117 a) = ‒ 1 _ 2 – 5 _ 6 – 4 _ 3 · 2 _ 3 = ‒ 20 __ 9 c) = [ ‒6 – 10 – 16 _______ 12 ]· 2 _ 3 = ( ‒ 32 __ 12 )· 2 _ 3 = ‒ 16 __ 9 b) = ( ‒ 2 _ 3 )· ( ‒ 1 __ 12 ) – 8 _ 9 = 1 __ 18 – 16 __ 18 = ‒ 5 _ 6 d) = ( ‒ 1 _ 2 ) – [ 5 _ 6 – 8 _ 9 ] = ( ‒ 1 _ 2 ) – 15 – 16 ____ 18 = ‒ 4 _ 9 118 richtig: A, C; falsch: B und D Begründung für B im Bereich ℕ mittels Gegenbeispiel: zB 5 – 8 = –3 Begründung für D in den Bereichen ℕ und ℤ mittels Gegenbeispiel: zB 58 = ?; im Bereich ℚ: Die Division durch 0 ist sinnlos. 119 a) ( ‒ 3 _ 4 ) 1 _ 4 < 3 _ 4 1 _ 4 c) ( ‒ 5 _ 8 )· 2 _ 3 = 5 _ 8 ·( ‒ 2 _ 3 ) e) 1 2 _ 3 ‒ 15 _ 3 < 1 2 _ 3 – 15 _ 10 b) ‒ 14 _ 5 + 21 _ 3 < ‒ 14 _ 5 + 21 _ 2 d) | ‒ 1 _ 2 |·( ‒ 10 _ 3 ) = 1 _ 2 ·( ‒ 10 _ 3 ) f) ( ‒ 12 _ 10 )( ‒ 1 _ 4 ) = ( + 12 _ 10 )( + 1 _ 4 ) 120 1) ‒ 1 __ 10 ; ‒ 0,1 2) 1 1 _ 2 ; 1,5 3) 8; 8 4) 1 _ 4 ; 0,25 5) ‒1 1 _ 8 ; ‒1,125 6) 3 __ 40 ; 0,075 7) ‒ 1 _ 3 ; ‒ 0, _ 3 8) ‒ 1 _ 2 ; ‒ 0,5 9) 1; 1 10) 2; 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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