8 Lösungen 197 a) x (y + z) = x·y + x·z c) g (e – f) = g·e – g·f b) a (b + c) = a·b + a·c d) r (s – t) = r·s – r·t 198 a) a+b c a b b) x+y r+s x y r s 199 a) x3 + 3 xy2 + 2 y3; Probe: 79 b) x3 – 2 x2 y + xy2 – 6 y3; Probe: ‒45 c) 6 x4 – 22 x2 + 2 x; Probe: 294 d) 12 y4 – 18 y3 + 39 y2; Probe: 204 200 a) (5 x – 7)(2 x + 3) = 10 x2 + x – 21 b) (4 x – 3 y)(x + 6) = 4 x2 – 3 xy + 24 x – 18 y c) (x – 9)(3 x – 5) = 3 x2 – 32 x + 45 d) (3 x – 2 y)(x + 4 y) = 3 x2 + 10 xy – 8 y2 201 1) 4 x + 8 2) x2 + 4 x – 12 202 a) u = 4 x + 8 A = x2 + 4 x + 3 c) u = 30 + 3,2 x A = –2,6 x2 + 3 x + 50 b) u = 6 x – 14 A = 2 x2 – 9 x + 10 d) u = 10 x – 4 A = 4 x2 – 11 x – 3 203 richtig: A, B, D, G; falsch: C (25 a2 + 30 a – 36 b – 30 ab), E (‒5 e2f), F (6 c3 + 9 c2d – 2 cd2 – 3 d3) Lösungswort: ASTERIX 204 1) (a + b)2 – (a – b)2 = 4 ab 2) (a + b)2 + (a – b)2 = 2 a2 + 2 b2 3) (a – b)2 – (a + b)2 = ‒4 ab 4) (a – b)(a + b) – (a + b)2 = ‒2 ab – 2 b2 5) (a – b)2 + (a – b)(a + b) = 2 a2 – 2 ab 6) (a – b)(a + b) – (a – b)2 = 2 ab – 2 b2 7) (a + b)2 + (a – b)(a + b) = 2 a2 + 2 ab 8) (a + b)2 – (a + b)(a – b) = 2 ab + 2 b2 Lösungswort: GARFIELD 205 a) 25 x2 + 30 xy + 9 y2 = (5 x + 3 y)2 d) 64 v2 – 80 vw + 25 w2 = (8 v – 5 w)2 b) 49 – 28 z + 4 z2 = (7 – 2 z)2 e) 81 s2 + 270 st + 225 t2 = (9 s + 15 t)2 c) 9 a2 + 24 ab + 16 b2 = (3 a + 4 b)2 f) 169 r2 – 364 r + 196 = (13 r – 14)2 206 a) (4 c + 5 d)2 = 16 c2 + 40 cd + 25 d2 d) (11 x – 2 y)2 = 121 x2 – 44 xy + 4 y2 b) (10 p + 3 q)2 = 100 p2 +60 pq + 9 q2 e) (5 a + 9)2 = 25 a2 + 90 a + 81 c) (8 z – 1)2 = 64 z2 – 16 z + 1 f) (u – 4 t)2 = u2 – 8 ut + 16 t2 207 a) (6 a – 7 b)(6 a + 7 b) = 36 a2 – 49 b2 c) (e – 10 f)(e + 10 f) = e2 – 100 f2 b) (5 c + 8 d)(5 c – 8 d) = 25 c2 – 64 d2 d) (2 g2 + 3 h2)(2 g2 – 3 h2) = 4 g4 – 9 h4 208 a) 1 __ 16 x2 – y2 = ( 1 _ 4 x – y )( 1 _ 4 x + y ) b) 4 r2 – 0,25 s2 = (2 r – 0,5 s)(2 r + 0,5 s) c) 9 __ 25 z2 – 25 y4 = ( 3 _ 5 z – 5 y2 )( 3 _ 5 z + 5 y2 ) d) 0,09 a2 – 1,44 b2 = (0,3 a – 1,2 b)(0,3 a + 1,2 b) 209 1) 8 x + 12 2) 4 x2 + 12 x + 9 210 a) 21 x + 14 y – 77 z = 7(3 x + 2 y – 11 z) b) 16 ab – 8 bc + 24 bd = 8 b (2 a – c + 3 d) c) 5 yz – 10 y2 – 25 yz2 = 5 y (z – 2 y – 5z2) d) 72 e2f – 240 e2f2 + 144 ef = 24 ef (3 e – 10 ef + 6) e) ‒125 s + 1 000 s2 + 500 st = 125 s (‒1 + 8 s + 4 t) f) 40 x2 – 16 xy ‒8 xy2 = 8 x (5 x – 2 y – y2) 211 a) 5 ab + 5 c + 5 = 5·(ab + c + 1) b) 3 x2 – 4 xy2 = x·(3 x – 4 y2) c) 4 x4 + 3 x3y – 2 x2 = x2·(4 x2 + 3 xy – 2) d) 15 ab – 20 b2 + 10 b = 5 b·(3 a – 4 b + 2) 212 a) O1 = 2 (xy + xz + yz) b) O2 = 2 [(x + a)·(y + a) + (x + a)·(z + a) + (y + a)·(z + a)] = = 2 (xy + xz + yz + 2 ax + 2 ay + 2 az + 3 a2) c) Unterschied: 2 (2 ax + 2 ay + 2 az + 3 a2) d) O1 = 52 cm2, O2 = 94 cm2, Unterschied: 42 cm2 3 Termstrukturen (Seite 38) 213 Term Summe Differenz Produkt Quotient Weiteres Beispiel a) 1 _ 2 x + 3,5 y 5 a + 9 b) (x + 2 z)(x – 2 z) 3 x(y – 6) c) 4 x2 – 9 y2 5 xy – 7 z d) 20 a ___ 7 b 15 xy3 x e) 18 (4 a – 11 b) (3 a + 2 b)(4 b – 3 a) f) (x – y)2 (7 b – 8)·5 214 Term A Term B Term C A + B A·B A – B·C A·(B + C) (A + C)(A – B) r s t r + s r·s r – s·t r·(s + t) (r + t)(r – s) a + 1 b – 1 c + 2 a + 1 + b – 1 (a + 1)(b–1) (a + 1) – (b – 1)(c + 2) (a + 1)·(b – 1 + c + 2) (a + 1 + c + 2)(a + 1 – b + 1) x2 y2 z2 x2 + y2 x2· y2 x2 – y2·z2 x2·(y2 + z2) (x2 + z2)(x2 – y2) 3 x + 1 y – 2 x – 1 3 x + 1 + y – 2 (3 x + 1)(y – 2) 3 x + 1 – (y – 2)(x – 1) (3 x + 1)(y – 2 + x – 1) (3 x + 1 + x – 1)(3 x + 1 – y + 2) 3 _ 4 x _ 2 8 y 3 _ 4 + x _ 2 3 _ 4 · x _ 2 3 _ 4 – x _ 2 ·8 y 3 _ 4 ·( x _ 2 + x _ 2 ) ( 3 _ 4 + 8 y )( 3 _ 4 – x _ 2 ) Merkenswertes (Seite 39) Grundbegriffe Ein Term ist ein Rechenausdruck, in dem Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Vorzeichen auftreten können. Werden für die Variablen Zahlen eingesetzt, kann man den Wert des Terms bestimmen. Dabei muss dieselbe Variable immer durch dieselbe Zahl ersetzt werden. Für das Rechnen mit Variablen und Termen gelten dieselben Regeln wie für das Rechnen mit Zahlen. Rechnen mit Termen – Strichrechnungen Bei Addition und Subtraktion können nur gleiche Variablen zusammengefasst werden; unterschiedliche Variablen kann man beim Addieren oder Subtrahieren nicht zusammenfassen. Klammern, vor denen ein Pluszeichen steht, können weggelassen werden. Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht, werden aufgelöst, indem die Zeichen Plus und Minus, die innerhalb der Klammer waren, geändert werden. Rechnen mit Termen – Multiplikation Terme werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied des einen Terms mit jedem Glied des anderen Terms multipliziert. Dabei sind die Vorzeichenregeln zu beachten. Kommt in allen Gliedern eines Terms ein gemeinsamer Faktor vor, kann man ihn herausheben. Dadurch wird die Termstruktur verändert. Termstrukturen Für das Vereinfachen von Termen ist es wichtig, die Termstruktur zu beachten: Summe A + B; Differenz A – B; Produkt A·B; Quotient A _ B Merke dir die binomischen Formeln gut: (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2 ab + b2 (a – b)(a + b) = a2 – b2 Lösungstext: „Die Mathematik ist das Alphabet, mit dem Gott die Welt geschrieben hat.“ Galileo Galilei Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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