9 Lösungen F Gleichungen und Formeln 1 Aufstellen von Gleichungen und Formeln (Seite 40) 215 a) Wenn man 300 um eine Zahl a vermehrt, ergibt sich 985. a = 685 b) Das 25fache einer Zahl b ist 750. b = 30 c) Das 3fache einer Zahl c vermindert um 150 ergibt 3150. c = 1 100 216 1) h g 3 Gleichung: h = g + 3 2) h g g Gleichung: h = 2·g 217 a) y = x + 5 b) x = 4·y c) x – 4 = y 218 a) u = (4 x + 1)·4 = 16 x + 4 A = (4 x + 1)2 – 4 x2 = 12 x2 + 8 x + 1 b) u = 6 x + 8 A = 2 x2 + 2 x + 2 c) u = 18 x – 4 A = 24 x – 12 2 Lösen von Gleichungen (Seite 40) 219 B, C, E 220 a) 3 x – 22 = 6,5 ! + 22 b) 17 – 3 y = ‒28 ! + 3 y 3 x = 28,5 ! : 3 17 = ‒28 + 3 y ! + 28 x = 9,5 45 = 3 y ! : 3 y = 15 c) 6 z + 7 = 4 z – 5 ! ‒4 z 2 z + 7 = ‒5 ! ‒7 2 z = ‒12 ! : 2 z = ‒6 221 a) 5 x __ 2 + 12 = 87 __ 4 ! · 4 b) 4 y __ 3 – 51 __ 6 = 49 __ 3 ! · 6 10 x + 48 = 87 ! ‒48 8 y – 51 = 98 ! + 51 10 x = 39 ! : 10 8 y = 149 ! : 8 x = 3,9 y = 18 5 _ 8 Probe: 87 __ 4 Probe: 49 __ 3 c) 2 z __ 3 + 75 __ 4 = 145 ___ 2 ! · 12 8 z + 225 = 870 ! ‒225 8 z = 645 ! : 8 z = 80 5 _ 8 Probe: 145 ___ 2 222 a) 5 a + 12 = 102 ! ‒12 b) 2 a – 8 = 3 a + 10 ! ‒2 a c) 4 y + 4 = 10 ! : 4 5 a = 90 ! : 5 – 8 = a + 10 ! ‒10 y + 1 = 2,5 ! ‒1 a = 18 a = ‒18 y = 1,5 223 a) r = 58 e) e = 6 i) d = 0,9 m) w = ‒2,5 b) e = 40 f) p = 10 j) e = 0 n) n = ‒5 c) w = 17 g) g = 2 k) s = 8 o) o = 11 d) i = 7 h) k = ‒18 l) l = ‒1 p) o = ‒4 Lösungstext: KNOWLEDGE IS POWER 224 richtig: B, E, falsch: A a + b _ 3 = c _ 3 , C y = x _ 4 ‒ z, D 6 x – z = 6 y Lösungswort: SMART 225 2 α + γ = 180° a) α = 45°, b) α = 30°, c) α = 72° 226 C, B, D, A 227 a) x _ 3 + x _ 5 = x _ 2 + 2; Zahl = 60 b) (x + 4)·x = x2 + 160; Seite des Quadrats = 40 cm c) x + 4 x + 5 x = 150; erste Zahl = 15 d) x + x + 3 _ 2 x = 56; Basis des Dreiecks = 24 cm e) 1 500 + 18 x = 2 400; Masse eines Fasses = 50 kg f) 1,4 x + (30 – x)·1,1 = 39,6; 22 kg Tomaten g) x _ 3 + 12 = x + 12 ____ 2 ; Herr Drechsler ist 36 Jahre alt. h) 9 x __ 2 = 7 (x + 4) _____ 2 ; Diagonale der ursprünglichen Raute = 14 cm i) 0,45 x + 0,38 (270 – x) = 111; Es wurden 120 Eier der Größe L verkauft. Lösungswort: EXCELLENT 3 Arbeiten mit Formeln (Seite 42) 228 a) s = u + 2 t c) a = 20 + 4 b u = s – 2 t b = (a – 20) _____ 4 t = (s – u) ____ 2 b) a = b _ 4 , b = 4 a d) x = 3 y __ 2 , y = 2 x __ 3 229 Formel Umformung richtig falsch Korrektur A = 1 _ 2 ·a·b b = A __ 2 a b = 2 A __ a A = a·ha ha = A __ a A = e·f __ 2 f = e ___ 2·A f = 2 A __ e u = 4 a a = u – 4 a = u __ 4 u = 2 a + 2 b b = u – 2 a b = (u – 2 a)2 A = (a + c)·h _____ 2 a = 2 A – h ____ c a = 2 A ____ h – c 230 a) y = 1 _ 3 (x – z) c) b = 1 _ x (z + y) e) a = c·d ___ b z = x – 3 y x = 1 _ b (z + y) b = c·d ___ a y = b·x – z c = a·b ___ d b) a = u – c ___ 2 – b d) x = t – y _ z f) a = 3 m – 2 b b = u – c ___ 2 – a y = (t – x)·z b = 1 _ 2 (3 m – a) c = u – 2 (a + b) z = y ___ t – x 231 1) a) A = a·b ___ 2 b) A = e·f __ 2 2) a) a = 2A __ b b = 2A __ a b) e = 2A __ f f = 2A __ e 232 1) K = A + n·s 2) n = K – A ____ s ; n = 7 Stunden 233 1) u = 2·(a + b) 2) a = u _ 2 – b; a = 12,5 cm 3) A = a·b, A = 241,25 cm2 4 Verhältnisgleichungen (Seite 44) 234 a) 60 x = 120 c) 111 z = 444 x = 2 z = 4 Probe: 52 = 6024 Probe: 11137 = 124 2,5 = 2,5 3 = 3 x ≠ 0 z ≠ 0 b) 80 y = 192 d) 1 _ 5 v = 1 __ 10 y = 2,4 v = 1 _ 2 Probe: 8032 = 62,4 Probe: 1 _ 5 1 _ 6 = 3 _ 5 1 _ 2 2,5 = 2,5 1,2 = 1,2 y ≠ 0 v ≠ 0 235 Susanne soll 80 Maschen anschlagen. 236 200, 160 237 900 cm = 9 m, 540 cm = 5,4 m 238 a) An der Abstimmung haben 1,25 Millionen Personen teilgenommen. b) 468750 Menschen haben mit Ja gestimmt. 239 1B 2C 3A A: 380 € B: 619,50 € C: 250 € 240 A; b = 64 cm 241 a) 90 €, 210 €, 150 € b) 420 €, 168 €, 252 € Merkenswertes (Seite 45) Gleichungen und Formeln Gleichungen, die dieselbe Lösung haben, heißen äquivalente Gleichungen. Die Lösung einer Gleichung verändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung 1) dieselbe Zahl addiert, 2) dieselbe Zahl subtrahiert, 3) mit derselben Zahl (≠0) multipliziert, 4) durch dieselbe Zahl (≠0) dividiert oder 5) dasselbe Vielfache der Unbekannten addiert oder subtrahiert. Diese Umformungen heißen Äquivalenzumformungen. Mit diesen lassen sich Formeln umformen, und so kann jede Variable ausgedrückt werden. Die Unbekannte in Gleichungen kann man durch Probieren, durch Rückgängigmachen der Rechenoperationen oder durch Äquivalenzumformungen finden. Proportionen Wenn zwei Verhältnisse ab und cd einander entsprechen, darf man sie mit einem Gleichheitszeichen verbinden. Es entsteht eine Verhältnisgleichung oder Proportion. ab = cd Man sagt: „a verhält sich zu b wie c zu d.“ Eine Verhältnisgleichung ist genau dann richtig, wenn gilt: Produkt der Außenglieder = Produkt der Innenglieder ab = cd É a _ b = c _ d É a·d = b·c (b, d ≠ 0) Eine Proportion darf „umgedreht“ werden, denn ab = cd ist gleichbedeutend mit ba = dc. Lösungstext: Wer auf einen Baum klettern will, fängt unten an, nicht oben. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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