14 Lösungen a A B C b a b D e f Drachenviereck (Deltoid) A = e·f __ 2 a h A B C D b c d Trapez A = (a + c)·h ______ 2 Umkehraufgaben Bei Umkehraufgaben wird mit Hilfe von Äquivalenzumformungen die gesuchte Größe aus den bekannten Formeln ermittelt. Flächeninhalt allgemeiner Vierecke Den Flächeninhalt allgemeiner Vierecke und Vielecke ermittelt man durch Zerlegen in Teilfiguren, zB in Dreiecke und Trapeze oder durch Abziehen eines Rechtecks und Umschreiben geeigneter Flächeninhalt. Regelmäßige Vielecke Im regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß. Sein Inkreis und Umkreis haben denselben Mittelpunkt. Das regelmäßige Sechseck besitzt sechs Symmetrieachsen. Lösungswort: HOEHENSCHNITTPUNKT J Ähnlichkeit 1 Zentrische Streckung (Seite 68) 309 1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 y x B C Z A A’ B’ C’ 2) Man kann auch die Koordinaten mit 5 multiplizieren und die neuen Punkte einzeichnen. 310 Die Verbindungsgeraden der Punkte AA’, BB’ usw. schneiden einander im Streckzentrum. Der Streckfaktor ist 3. B C D A B’ C’ D’ A’ Z 311 Der Streckfaktor ist 3. Daher sind die Seitenlängen der gestreckten Figur 3-mal so lang wie die angegebenen: A’B’ = 6 B’C’ = 8,49 C’D’ = 12 A’D’ = 6 2 Ähnlichkeit bei Vielecken (Seite 69) 312 1. Einander entsprechende Winkel müssen gleich groß sein. 2. Einander entsprechende Längenstücke müssen zueinander im gleichen Verhältnis stehen. c135 = 45 w 5·c1 = 35·4 w c1 = 28 m d120 = 45 w 5·d1 = 20·4 w d1 = 16 m 313 a) Rechteck und Quadrat b) Quadrat und Raute Erfüllt ist Bedingung 1. Erfüllt ist Bedingung 2. Nicht erfüllt ist Bedingung 2. Nicht erfüllt ist Bedingung 1. 314 1) a) k = 3 b) k = 3 c) k = 0,5 d) k = 1 _ 3 A’B’ = 6 A’B’ = 6 A’B’ = 1 A’B’ = 5 _ 3 B’C’ = 8,49 B’C’ = 3 B’C’ = 1,58 B’C’ = 3,16 ___ 3 C’D’ = 6 C’D’ = 12,36 C’D’ = 2 C’D’ = 2 _ 3 A’D’ = 8,49 A’D’ = 8,49 A’D’ = 2,12 A’D’ = 1 2) Für alle Vierecke aus 1) gilt: _AB ‾ A’B’ = _ AC‾ A’C’ ¼ABC = ¼A’B’C’ _ BC u ___ B’C’ Wenn _AD = x cm und ‾A ’D’ = 4 x cm, dann ist k = 4 Wenn k = 3, dann ist BC dreimal so lang wie B’C’ AB ___ ___ A’B’ = BC ___ ___ B’C’ = CD _ ‾C ’D’ = AD _ ___ A’D’ 3 Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken (Seite 70) 315 a) Es entsprechen einander die Seiten PQ und PS, ebenso die Seiten QR und ST sowie die Seiten PR und PT. b) __ QR __ ST = __ PR __ PT __ PQ __ QR = __ PS _ ST __ PQ __ QS = __ PR __ RT 316 x27 = 836 w x = 6 cm y18 = 4436 w y = 22 cm 317 a) (verkleinert) A B T 5 3 b) x = 0,9 cm w __ AT = 4,5 cm, __ TB = 2,7 cm Messung: __ AT ≈ 4,5 cm, __ TB ≈ 2,7 cm 318 a) (verkleinert) 5 4 a b Messung: b ≈ 2,4 cm b) b = 2,4 cm 4 Längen- und Flächenbeziehungen bei ähnlichen Figuren (Körpern) (Seite 71) 319 a) a2a1 = 3542 = 56 w b248 = 56 w b2 = 40 mm c266 = 56 w c2 = 55 mm b) u1 = 156 mm, u2 = 130 mm w u2u1 = 130156 = 1012 = 56 c) A2A1 = a2 2a1 2 = 352422 = 1 2251 764 = 2536 Die Flächeninhalte verhalten sich wie 25 zu 36. 320 a) Eileen hat Recht. Sie verwendet die Eigenschaft, dass in ähnlichen Dreiecken einander entsprechende Seitenlängen im gleichen Verhältnis stehen. b) h ≈ 21 m Der Turm ist ungefähr 21 m hoch. c) 1,751,05 = 200s w s ≈ 120 m Der Schatten ist ca. 120 m lang. (verkleinert) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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