Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

Arbeitsheft Humenberger (Hrsg.) Aue, Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl Das ist Mathematik A B C 4

Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer: 225369 Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 225371 Mit Bescheid des Bundesministeriums Bildung vom 17. Februar 2026, Geschäftszahl: 2024-0.697.760, gemäß § 14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 4. Klasse an Mittelschulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) und für die 4. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Dr. Herbert Löffler, Wien Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: weissbunt, design und kontext, Berlin Layout: weissbunt, design und kontext, Berlin Satz: CMS - Cross Media Solutions GmbH, Würzburg Druck: Paul Gerin GmbH & Co KG, Wolkersdorf ISBN 978-3-209-12286-5 (Das i. Mathematik AH 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-13081-5 (Das i. Mathematik AH 4 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

www.oebv.at Arbeitsheft Humenberger (Hrsg.) Aue, Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl Das ist Mathematik 4 A B C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis Wiederholungstest 1 4 Wiederholungstest 2 6 Mathematik macht Spaß 8 Kompetenzbereich – Zahlen und Maße A Reelle Zahlen 9 1 Wurzeln 9 2 Zahlenmengen 11 3 Reelle Zahlen 11 4 Intervalle 13 Merkenswertes 14 Kompetenzbereich – Variablen und Funktionen B Terme 15 1 Eigenschaften von Termen 15 2 Bruchterme 18 Merkenswertes 20 C Gleichungen und Formeln 21 1 Äquivalente Gleichungen 21 2 Formeln 23 Merkenswertes 24 D Funktionen 25 1 Einführung von Funktionen 25 2 Lineare Funktionen 29 3 Weitere Funktionstypen 31 Merkenswertes 33 E Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 34 1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 34 2 Graphisches Lösen linearer Gleichungssysteme 35 3 Koeffizienten und Lösungsfälle 36 4 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme 37 5 Lösen von Textaufgaben 39 Merkenswertes 42 Kompetenzbereich – Daten und Zufall F Statistik und Wahrscheinlichkeit 43 1 Häufigkeiten und Diagramme 43 2 Mittelwerte 44 3 Vierfeldertafel 47 4 Wahrscheinlichkeit 48 Merkenswertes 51 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis Kompetenzbereich – Figuren und Körpern G Berechnungen am Kreis 52 1 Die Kreiszahl π 52 2 Umfang des Kreises 52 3 Länge des Kreisbogens 53 4 Flächeninhalt des Kreises 54 5 Flächeninhalt des Kreissektors 54 Merkenswertes 55 H Satz des Pythagoras 56 1 Satz des Pythagoras 56 2 Beweise für den Satz des Pythagoras 58 3 Berechnungen in ebenen Figuren 59 4 Katheten- und Höhensatz 64 5 Berechnungen in Körpern 65 Merkenswertes 68 I Zylinder, Kegel und Kugel 69 1 Zylinder 69 2 Kegel 70 3 Kugel 72 Merkenswertes 74 Übungen für die Oberstufe 75 Anhang Lösungen zu den Aufgaben (herausnehmbar) 1–16 B O M DI Damit wird angezeigt, welche der Prozesse (Operieren, Rechnen, Konstruieren; Modellieren, Problemlösen; Darstellen, Interpretieren; Vermuten, Begründen) in der Aufgabe behandelt werden. Symbol für Spiegelaufgaben zum Schulbuch schwierige, herausfordernde Aufgabe, Erweiterungsstoff 1 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 Wiederholungstest 1 Berechne und trage die richtigen Lösungen ein! a) 2 _ 3 ∙ 3 _ 4 – 5 _ 4  15 __ 8 = c) 2 _ 3 ∙ ( 3 _ 4 – 5 _ 4 ) 15 __ 8 = b) 2 _ 3 ∙ ( 3 _ 4 – 5 _ 4  15 __ 8 ) = d) ( 2 _ 3 ∙ 3 _ 4 – 5 _ 4 ) 15 __ 8 = 0,18 1 __ 18 ‒ 1 _ 6 1 _ 6 0,4 2 _ 5 ‒ 2 _ 5 ‒ 8 __ 45 Schreibe den Text in Form einer Gleichung und berechne dann die gesuchte Zahl! a) Verkürzt man jede Seite eines Quadrats um 5 cm, so nimmt der Flächeninhalt um 105 cm2 ab. Berechne die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats! b) In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine spitze Winkel 5-mal so groß wie der andere spitze Winkel. Wie groß sind die Winkel dieses Dreiecks? Vereinfache den Term! Führe die Probe für a = 3 und b = 2 durch! a) 3 a – 4 b + 7 – (9 b – 5) – (6 a – 5 b + 3) = b) (3 a + b)2 – 3·(5 a – 2 b)·(5 a + 2 b) + (4 a – 3 b)2 = Vereinfache durch Herausheben bzw. Herausheben und Kürzen! a) 3 x·(x + y) – 2 y·(x + y) = b) 6 a2 b – 6 b = c) 15 rs – 6 r 2 ______ 9 r – 12 rs = Gib folgende Verhältnisse mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen an! a) 1 3 _ 5 5 = c) 71,4 = e) 5 _ 4  3 _ 8 = b) 3 m212 dm2 = d) 6 m350 dm3 = f) 11,5 kg750 g = Eine Strecke ist auf dem Plan 4 mm lang und hat in Wirklichkeit eine Länge von 1 km. In welchem Maßstab wurde der Plan erstellt? Kreuze die richtige Lösung an! A 1293 B 1100 000 C 11 000 D 1250 000 E 1250 000 F 11 000 000 0,00 1980 1990 2000 2010 2020 15. September 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 3,74 4,45 4,79 5,52 6,00 6,08 6,12 6,54 7,57 Im Diagramm ist die Größe der Meereisfläche jeweils zum 15. September der angegebenen Jahre dargestellt. 1) Erstelle ein Diagramm, das die Verringerung der Eisfläche drastisch darstellt! 2) Erstelle ein Diagramm, das die Verringerung der Eisfläche harmlos darstellt! 3) Recherchiere, welche Auswirkungen die Meereisschmelze auf die Umwelt hat! Zu Beginn des Jahres 2023 legt Herr Bauer 7500 € auf ein Sparbuch. Die Bank vereinbart mit ihm einen Zinssatz von 4,5 % p.a. Nach 1 Jahr legt Herr Bauer nochmals 7500 € dazu. Mit welchem Guthabenstand könnte Herr Bauer bei gleich bleibendem Zinssatz am Beginn des Jahres 2035 rechnen? Wie viel Euro an tatsächlichen Zinsen werden ihm dann gutgeschrieben? Jährlicher Nettozinssatz: Zeitpunkt Guthaben in € Zinsen in € Beginn 2023 nach 1 Jahr nach 12 Jahren 1 B O M DI 2 B O M DI 3 B O M DI 4 B O M DI 5 B O M DI 6 B O M DI B O M DI 7 8 B O M DI Wiederholungstest 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 Wiederholungstest 1 In einem Betrieb wurden die folgenden Nettogehalter (in Euro) ausgezahlt: 582, 582, 598, 598, 634, 634, 680, 687, 720, 740, 1 130, 1 310, 1 310, 1 383 1 390, 1 390, 1 450, 1 480, 1 480, 1 870, 2 100, 2 170, 2 225, 2 245, 2 245, 2 245, 2 388 1) Gib das Minimum und das Maximum an! 2) Berechne das arithmetische Mittel und den Median! 3) Der Maximalwert der Liste wird um 100 € erhöht. Was passiert mit dem arithmetischen Mittel bzw. mit dem Median? 4) Ein weiteres Gehalt von 2 230 wird ergänzt. Ändert sich dadurch der Median bzw. das arithmetische Mittel? Der Wasservorrat einer Expedition reicht bei einem Tagesverbrauch von 56 Litern für 18 Tage. Wie viel Liter dürfen pro Tag verbraucht werden, wenn die Dauer der Expedition (bei gleich großem Wasservorrat) um 3 Tage verlängert wird? Ein Wandmosaik hat die Form eines Drachenvierecks mit den Diagonalenlängen e = 8,40 m und f = 5,20 m. Das Mosaik soll zur Gänze mit rautenförmigen Plättchen ausgelegt werden. Die Rauten haben 12 cm lange Seiten und sind 8 cm hoch. Begründe, dass 2 000 Plättchen für die Herstellung des Mosaiks nicht ausreichen! Die trapezförmige Querschnittfläche eines Bergwerkstollens ist am Boden 3,40 m breit, an der Decke 2,60 m. Boden und Decke liegen parallel zueinander und haben 2,40 m Abstand voneinander. Wie groß ist der Flächeninhalt der Querschnittfläche? A = m2 a) Zeichne das allgemeine Viereck, das durch die Koordinaten seiner Eckpunkte A = (‒5 1 ‒3), B = (4 1 ‒4), C = (7 1 6) und D = (4 1 7) gegeben ist, auf ein Blatt Papier! b) Beschreibe, wie man den Flächeninhalt dieses Vierecks so berechnen kann, dass man alle benötigten Längen aus den gegebenen Koordinaten ablesen kann! c) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks! A = a) Schreibe auf, welche Dreiecke in der nebenstehenden Figur zueinander ähnlich sind! Verwende dabei das richtige Zeichen für „ähnlich“! 24 x 36 P S T Q R 15 68 y b) Gib einen Grund für die Ähnlichkeit der Dreiecke an! c) Berechne die Längen der Strecken x und y! x = y = Die Abbildung rechts zeigt das Dach einer Lagerhalle. a) Um welchen geometrischen Körper handelt es sich dabei? A quadratische Pyramide C dreiseitige Pyramide B dreiseitiges Prisma D rechteckiges Prisma b) Berechne den Rauminhalt des Daches, wenn die Basis des Giebeldreiecks c = 69,00 m, die schrägen Dachkanten a = 37,70 m und das Dach selbst l = 150,00 m lang ist! V = Manuel wirft eine Münze 200-mal. Schätze ab, wie oft die Münze auf der Kopf-Seite landen wird! Am Ende der Versuchsreihe hat Manuel 112-mal Kopf geworfen. Berechne die relative Häufigkeit von Kopf in dieser Serie! B O M DI 9 10 B O M DI 11 B O M DI B O M DI 12 13 B O M DI 14 B O M DI 15 B O M DI a a c l B O M DI 16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

6 Wiederholungstest 2 Berechne und ordne die Lösungen korrekt zu! (‒3)·(+ 5) – (‒2)·(‒3) = [(‒3)·(+ 5) – (‒2)]·(+ 3) = (‒3)·[(+ 5) – (‒2)]·(‒3) = (‒3)·[(+ 5) – (‒2)·(‒3)] = ‒39 ‒21 63 3 (‒4)·(+ 6) – (‒2)·(‒5) = [(‒4)·(+ 6) – (‒2)]·(+ 5) = (‒4)·[(+ 6) – (‒2)]·(‒5) = (‒4)·[(+ 6) – (‒2)·(‒5)] = ‒110 160 ‒34 16 Vereinfache! a) ( ‒ 1 _ 4 ) 3 ·42 = b) ( ‒ 3 _ 4 ) 3 = c) ‒42 + (‒4)2 = d) (5·a3·b)2·a5·b5 = Berechne die Unbekannte und führe eine Probe durch! a) (3 + 2 x) ∙ 12 x – 52 = (3 x + 5) ∙ (8 x – 4) x = Probe: b) (8 y – 1)2 – (3 y – 4)2 = (11 y – 3) ∙ (5 y + 2) y = Probe: Schreibe den Text jeweils in Form einer Gleichung und berechne! a) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 170 m. Die Länge ist um 15 m kürzer als das Vierfache der Breite. Kreuze das richtige Maß für die Seitenlängen des Rechtecks an! Länge: A 25 cm B 38 cm C 45 cm D 55 cm E 65 cm F 75 cm Breite: A 10 cm B 20 cm C 30 cm D 40 cm E 50 cm F 60 cm b) Verlängert man die Seiten eines Quadrats um je 8 cm, so vergrößert sich der Flächeninhalt um 256 cm2. Kreuze das richtige Maß für die Seitenlängen des ursprünglichen Quadrats an! A 8 cm B 9 cm C 10 cm D 11 cm E 12 cm F 13 cm Vereinfache durch Herausheben bzw. Herausheben und Kürzen! a) 2 x·(x – y) – 3 y·(x – y) = d) 4 px – 5 qy – 4 qx + 5 py = b) 5 ab2 – 5 a = e) (3 e – 2 f)·(5 v + 2 w) – (3 e – 2 f)·(4 v – w) = c) 6 rs – 15 r 2 ______ 12 rs – 9 r = f) 6 x3 + 9 x2 y _______ 12 xy + 18 y2 = Vereinfache! a) ( ‒ 1 _ 3 ) 3 ·33 = c) [ (2 – 5) 3 + 6 2 ] 2 = e) (3·a·b2)2·a5·b5 = b) ( ‒ 5 _ 2 ) 2 = d) ‒42 + (‒4)2 = f) 2 x 2·y ____ 4 y 2 = Ergänze! a) (4 x + )2 = + + 25 b) ( – 8)2 = – 48 z + Schreibe neben die verschiedenen Merkmalsausprägungen das passende Merkmal! A, B, AB, 0 40 €, 45 €, 30 € 2 847 m, 1 870 m 67 m2, 105 m2 1 bis 100 1, 2, 3, 4, 5 1 bis 12 12 000 m, 7 800 m schwimmen, lesen männlich, weiblich Eine 6 km lange Strecke ist auf dem Plan 2,4 cm lang. Welchen Maßstab hat die Karte? Kreuze die richtige Lösung an! A 150 B 250 C 15 000 D 25 000 E 150 F 250 000 17 B O M DI 18 B O M DI B O M DI 19 20 B O M DI 21 B O M DI B O M DI 22 23 B O M DI 24 B O M DI 25 B O M DI Wiederholungstest 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 Wiederholungstest 2 Ein Zug durchfährt eine 204 km lange Strecke mit einer mittleren Geschwindigkeit von 85 km/h. Wie lange braucht er für diese Strecke? Mit welcher mittleren Geschwindigkeit müsste er fahren, um für diese Strecke 24 Minuten schneller zu sein? Schreibe das Verhältnis mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen! a) 4 m2 cm = c) 35 m37 dm3 = e) 1 500 kg2,5 t = b) 12 kg4 g = d) 0,240,36 = f) 1 1 _ 4 h zu 45 min = Im Jahr 1989 wurden in Österreich für Forschung und experimentelle Entwicklung 1 669 Mio. € (von Schilling umgerechnet) ausgegeben; im Jahr 2018 waren es 12,3 Mrd. €. (Quelle: Statista, 2023) Berechne wieviel Prozent des Wertes von 1989 jener von 2018 ausmacht! Kreuze die richtige Lösung an! A ≈ 348 % B ≈ 34,8 % C ≈ 737 % D ≈ 400 % E ≈ 34,9 % F ≈ 39,9 % Ein Würfel wird geworfen. Kreuze die richtigen Aussagen an! A Jeder sechste Wurf ist ein Sechser. B Bei vielen Würfen ist ungefähr ein Sechstel der Ergebnisse ein Sechser. C Die Wahrscheinlichkeit, einen Sechser zu würfeln, liegt bei ≈ 0,167. D Wenn ich 6-mal würfle, ist sicher ein Sechser dabei. E Bei 60 000 Würfen ist rund 10 000-mal ein Sechser dabei. Der quadratische Fußboden eines Raumes hat eine 12,40 m lange Diagonale. Der Fußboden soll mit trapezförmigen Fliesen ausgelegt werden. Die Parallelseiten der Trapeze sind jeweils 28 cm und 14 cm lang, die Trapezhöhe beträgt jeweils 7cm. Begründe, dass man für den Fußboden mehr als 5 000 Fliesen benötigt! a) Zeichne das allgemeine Viereck, das durch die Koordinaten seiner Eckpunkte A = (‒5 1 ‒4), B = (5 1 ‒4), C = (3 1 6), D = (‒4 1 8) (Einheit 1 cm) gegeben ist, auf ein Blatt Papier! b) Beschreibe, wie man den Flächeninhalt dieses Vierecks so berechnen kann, dass man alle benötigten Längen aus den gegebenen Koordinaten ablesen kann! c) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks! A = Die Längen zweier Strecken a und b stehen im Verhältnis ab = 37. a) Konstruiere die Strecke b mit Hilfe des Strahlensatzes oder ähnlicher Dreiecke wenn a = 4,2 cm lang ist! b) Berechne die Länge von b und kontrolliere deine Konstruktion durch Messen von b! b = In einem Behälter finden sich die angegebenen Kugeln. Es wird einmal blind gezogen. Ordne den einzelnen Ereignissen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu! 1 Es wird eine schwarze Kugel gezogen. A 0,3 B 0,5 C 9 __ 10 D 0,1 E 1 _ 3 F 0,4 2 Es wird eine Kugel mit einer geraden Zahl gezogen. 3 Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist durch 3 teilbar. 4 Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist einstellig. a) Die Abbildung rechts zeigt eine Stützmauer, die auf einer Seite abgeschrägt ist. Um welchen geometrischen Körper handelt es sich dabei? A rechteckiges Prisma C vierseitiges Prisma B abgeschnittene Pyramide b) Berechne den Rauminhalt der Stützmauer, wenn sie 6,40 m hoch, an der Basis 8,60 m und oben 3,80 m breit ist und ihre Länge 12,00 m beträgt! V = B O M DI 26 27 B O M DI 28 B O M DI B O M DI 29 B O M DI 30 31 B O M DI 32 B O M DI 33 B O M DI 9 5 4 7 1 3 8 2 10 6 34 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

8 Mathematik macht Spaß Mathematik macht Spaß Anne hat einige Würfel zusammengeklebt und erhält den rechts zu sehenden Körper. Sie dreht ihn, um ihn von verschiedenen Seiten zu betrachten. Welche Ansicht kann sie nicht erhalten? A B C D E Ein Paket hat die Länge l = 25 cm, die Breite b = 15 cm und die Höhe h = 7cm. Je nach Masse des Inhalts soll es unterschiedlich verschnürt werden. 1) Schätze, für welches Paket du am meisten Schnur benötigst! 2) Gib noch 20 cm (insgesamt) für die Knoten hinzu und berechne für jedes Paket die jeweils benötigte Schnurlänge! A B C D A = cm B = cm C = cm D = cm 3) Zeichne in das Paket unten die folgende Schnürung: 4 mal l + 4 mal b + 8 mal h + 20! Schallwellen legen in der Luft in jeder Sekunde eine Strecke von rund 340 m zurück, die Rundfunkwellen dagegen rund 300 000 km in der Sekunde. Wer hört einen vor dem Mikrofon sprechenden Redner „früher“: Ein genau 2 m vom Redner entfernt sitzender Zuhörer im Saal oder ein Rundfunkhörer, der die Sendung in genau 1 000 km Entfernung mit Kopfhörern verfolgt? Kreuze deine Vermutung an und begründe diese durch Rechnen in Bruchform! A Zuhörer im Saal früher als Rundfunkhörer B gleichzeitig C Rundfunkhörer früher als Zuhörer Begründung: Betrachte die folgenden Figuren! Aus wie vielen Plättchen besteht eine Seite, wenn die gesamte Figur 1) aus 32, 2) aus 56 Plättchen besteht? Das Mobile ist im Gleichgewicht, wenn an beiden Seiten der Balken ein äquivalenter Term hängt. Ordne zu, welcher der Terme an welcher Stelle stehen muss, damit das Mobile ausgeglichen ist! 1) 2 x + x·x + 5 2) 4 x + 2 x² + 10 3) x + x + 3 + 2 + x² 4) 4 x + x4 + 10 5) 8 x + x² + 3 x² + 20 35 B O M DI 36 B O M DI 37 B O M DI 38 B O M DI 39 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A 9 Reelle Zahlen 1 Wurzeln 1) Für nicht negative Zahlen ist das Wurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens. a) √ __ 25 = , weil 2 = 25 ist. b) √ ___ 100 = , weil 2 = 100 ist. 2) Gib ein weiteres Beispiel an! Ordne zu! a) 1 162 2 √ __ 16 3 √ ___ 162 A 4 B 16 C 256 b) 1 √ ___ 0,09 2 0,092 3 √ ____ 0,092 A 0,0081 B 0,09 C 0,3 1) Berechne die Ergebnisse ohne TR! 2) Betrachte die Anzahl der Nachkommastellen vor und nach der Rechnung! Welchen Zusammenhang stellst du fest? 0,22 = 0,42 = √ ___ 0,25 = √ __ 9 = 0,022 = 0,042 = √ _____ 0,0025 = √ ___ 0,09 = Berechne mit dem TR und gib die Wurzel auf vier Kommastellen genau an! a) √ __ 50 = b) √ ____ 1 000 = c) √ ___ 250 = Ein Rechteck hat die Länge 28 cm und die Breite 7 cm. Das Rechteck ist flächeninhaltsgleich mit einem Quadrat. Wie lang ist die Quadratseite? Zwischen welchen aufeinander folgenden natürlichen Zahlen liegt die Quadratwurzel? Antworte, ohne den TR zu verwenden und begründe deine Antwort! a) < √ __ 18 < , weil c) < √ __ 72 < , weil b) < √ __ 40 < , weil d) < √ ___ 120 < , weil Berechne und vergleiche die Ergebnisse! a) √ _____ 9 + 16 = c) √ ______ 36 + 64 = e) √ ______ 100 – 36 = √ __ 9 + √ __ 16 = √ __ 36 + √ __ 64 = √ ___ 100 – √ __ 36 = b) √ _____ 25 – 16 = d) √ ______ 144 + 25 = f) √ _______ 400 – 144 = √ __ 25 – √ __ 16 = √ ___ 144 + √ __ 25 = √ ___ 400 – √ ___ 144 = Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von 16 cm2. Wie groß ist die Seitenlänge eines Quadrats, das den 1) doppelten, 2) dreifachen, 3) vierfachen Flächeninhalt hat? 1) cm 2) cm 3) cm Verbinde die Längen der Quadratseiten mit den passenden Längen der Diagonalen! Länge der Quadratseite (in cm) Länge der Diagonale (in cm) 40 B O M DI 41 B O M DI 42 B O M DI 43 B O M DI 44 B O M DI 45 B O M DI 46 B O M DI 47 B O M DI 48 B O M DI √ __ 20 6 √ __ 2 √ __ 10 3 √ __ 2 20 5 6 4 √ __ 2 10 6 12 2 √ __ 10 20 √ __ 2 √ ___ 200 8 2 √ __ 5 6 √ __ 2 5 √ __ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

10 Reelle Zahlen A Ziehe die Quadratwurzel ohne TR durch geeignetes Zerlegen! Beispiel: √ ___ 900 = √ __ 9 · √ ___ 100 = 3·10 = 30 a) √ ___ 400 = d) √ ___ 196 = g) √ ____ 36 a2 = b) √ ____ 3 600 = e) √ ____ 2 500 ____ 10 000 = h) √ _____ 64 a2 b2 = c) √ ______ 160 000 = f) √ ___ 49 ___ 900 = i) √ _____ 25 x4 y2 = Vereinfache durch partielles Wurzelziehen! a) √ __ 8 = c) √ __ 32 = e) √ __ 50 = g) √ __ 98 = b) √ __ 27 = d) √ __ 45 = f) √ __ 72 = h) √ ___ 108 = Vereinfache durch partielles Wurzelziehen! a) √ ___ 5 y2 = c) √ ____ 10 a4 = e) √ ___ 8 a2 = g) √ _____ 50 a2 b2 = b) √ ___ 3 z 2 = d) √ ___ 25 b = f) √ _____ 36 a b2 = h) √ _____ 32 a2 b = Formuliere einen allgemeinen Satz für diese beiden Beispiele! a) 3 √ __ 64 = , weil 3 = 64 ist. b) 3 √ ____ 8 000 = , weil 3 = 8 000 ist. Zwischen welchen aufeinander folgenden natürlichen Zahlen liegt die Kubikwurzel? Antworte, ohne den TR zu benützen und begründe deine Antwort! a) < 3 √ __ 20 < , weil c) < 3 √ ___ 200 < , weil b) < 3 √ ___ 100 < , weil d) < 3 √ ___ 400 < ,weil Ziehe die Kubikwurzel! Bei welchen Beispielen ergibt sich eine endliche Dezimalzahl? Warum? a) 3 √ _ 8 = b) 3 √ ___ 125 = c) 3 √ __ 64 = d) 3 √ ___ 2,7 = 3 √ ___ 0,8 = 3 √ ___ 12,5 = 3 √ ___ 640 = 3 √ ___ 0,27 = 3 √ ___ 0,08 = 3 √ ___ 1,25 = 3 √ ____ 6 400 = 3 √ ____ 0,027 = 3 √ ____ 0,008 = 3 √ ____ 0,125 = 3 √ _____ 64 000 = 3 √ _____ 0,002 7 = Ein Würfel aus Kork (Dichte ρ = 300 kg/m3) ist 153,6 kg schwer. Wie groß ist seine Kantenlänge? 1) Schätze zunächst die Kantenlänge des Würfels! Kreuze an! A 1 cm B 8 cm C 1 dm D 8 dm E 1 m F 8 m W2 2) Berechne dann die Kantenlänge! Verwende die Formel m = V · ρ! Markiere im rechts stehenden Zahlenfeld alle Quadratzahlen in Farbe! 1) Wie viele Kubikzahlen, die kleiner als 100 sind, gibt es? 2) Gibt es zwischen 0 und 100 mehr Quadratzahlen oder Kubikzahlen? Begründe deine Antwort! Die Summe zweier benachbarter Quadratzahlen nennt man zentrierte Quadratzahl. Dieser Begriff kann zB mittels graphischer Veranschaulichung erklärt werden: Das Punktmuster der kleineren Quadratzahl (grün) passt in das Punktmuster der größeren Quadratzahl (blau). 2 2 + 1 2 = 3 2 + 2 2 = 1) Wie lauten die nächsten fünf zentrierten Quadratzahlen? 2) Stelle die 4. zentrierte Quadratzahl als Punktmuster dar! B O M DI 49 50 B O M DI 51 B O M DI 52 B O M DI 53 B O M DI 54 B O M DI 55 B O M DI B O M DI 56 17 16 55 64 99 45 22 44 12 34 66 72 81 7 67 4 5 3 89 9 13 1 27 49 71 2 8 25 38 68 57 B O M DI 58 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A 11 2 Zahlenmenge Gib den Vorgänger bzw. Nachfolger der ganzen Zahl an! a) 27 c) 999 e) 1 000 109 b) ‒18 d) ‒1001 f) ‒199 a) Kreuze alle natürlichen Zahlen an! b) Kreuze alle ganzen Zahlen an! A + 8 __ 2 B ‒3 C 1 __ 3 D ‒2 E 1,7 A ‒ 4 __ 2 B + 1 C ‒ 7 ___ −2 D ‒ 1 __ 3 E 8 __ 2 Setze die Zahlenfolge fort! a) ‒3, ‒6, ‒9, , , , , , , , , b) ‒15, ‒7, + 1, , , , , , , , , c) 1 __ 3 , + 4 __ 3 , + 7 __ 3 , , , , d) ‒3, +9, ‒27, , , 59 B O M DI 60 B O M DI 61 B O M DI 2 Zahlenmengen 3 Reelle Zahlen Welche Zahl gehört nicht zu den reellen Zahlen? Kreuze an! A √ __ 5 B √ __ 9 C √ ___ – 4 D √ ___ 2,2 E ‒3 F † √ ___ †‒9† † a) Welche Zahlbereiche sind in der Figur rechts dargestellt? Ergänze die Lücken! b) Worin besteht der Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen? Was lässt sich über die Dezimaldarstellung rationaler bzw. irrationaler Zahlen sagen? Welcher der folgenden Ausdrücke ergibt eine irrationale Zahl? Kreuze an! A 2 + √ __ 25 = C 2·√ __ 2 – √ __ 8 = E √ __ 2 ·√ __ 8 = B √ __ 3 + 2·√ __ 3 = D ‒3·√ __ 3 + √ __ 27 = F √ __ 5 – √ __ 2 _____ √ __ 2 – √ __ 5 = Kreuze alle Zahlenmengen an, zu denen die Zahl in der Tabelle jeweils gehört! Zahl ℕ ℤ ℚ ℝ I 3 √ __ 64 2,5·105 13 0,143 143… 1,010 010 001… ‒2,5·101 √ __ 27 20 % B O M DI 62 I 63 B O M DI 64 B O M DI 65 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

12 3 Reelle Zahlen A Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Kreuze an! Aussage richtig falsch A Es gibt eine kleinste natürliche Zahl. B Es gibt eine kleinste positive rationale Zahl. C Es gibt eine größte negative ganze Zahl. D Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. E Zwischen zwei natürlichen Zahlen gibt es nie eine irrationale Zahl. F Zwischen je 2 verschiedenen natürlichen Zahlen gibt es ∞ viele reelle Zahlen. G Null gehört sowohl zu den negativen als auch zu den positiven ganzen Zahlen. H Null gehört weder zu den negativen noch zu den positiven ganzen Zahlen. I Null gehört zu den rationalen Zahlen. J Null gehört zu den irrationalen Zahlen. K Die Subtraktion ist in den natürlichen Zahlen abgeschlossen. L Die Subtraktion ist in den ganzen Zahlen abgeschlossen. M Alle Subtraktionen reeller Zahlen ergeben wieder eine reelle Zahl. N Alle Divisionen reeller Zahlen ≠ 0 ergeben wieder eine reelle Zahl. O Alle Additionen irrationaler Zahlen ergeben wieder eine irrationale Zahl. P Alle Subtraktionen irrationaler Zahlen ergeben wieder eine irrationale Zahl. Q Alle Multiplikationen irrationaler Zahlen ergeben wieder eine irrationale Zahl. R Alle Divisionen irrationaler Zahlen ergeben wieder eine irrationale Zahl. Um zum Lösungstext zu gelangen, steige in die ganz unten bei I auf dich wartende Gondel ein und beginne die Fahrt mit dem Wiener Riesenrad im Uhrzeigersinn! Die Pfeile für richtig (r) und für falsch (f) führen dich jeweils zum nächsten Buchstaben bzw. Zeichen für den Lösungstext. Wenn du eine Runde zurückgelegt hast, beginne eine zweite, „sammle“ die restlichen, bis jetzt nicht verwendeten Buchstaben bzw. Zeichen im Uhrzeigersinn ein und füge sie zu denen der ersten Runde! So erhältst du den gesamten Lösungstext. Lösungstext: __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 66 B O M DI r r r r r r r f f f f f f f f f f r r f r r r r f f f f f f f f r r r r r r r f f r f f f f f f r f * E B * L A E U M N * W I * D E A * E I R D T R R P E M I ! E E H E U B Start Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A 13 4 Intervalle 4 Intervalle Schreibe die Menge der reellen Zahlen x mit der Eigenschaft a) –4 ≤ x < 2, b) –1 < x < 4, c) † x † ≤ 3 in Intervallschreibweise und markiere diese auf der Zahlengeraden! a) b) c) 0 1 0 1 0 1 Welche Zahlenmenge ist auf der Zahlengeraden dargestellt? Schreibe sie als Intervall und in Form einer Ungleichungskette! a) 0 2 b) 0 1 Schreibe in Form einer Ungleichung! a) x * [0; 3] b) y * (‒∞; 1] c) z * [5; ∞) Wie viele Zahlen sind in der angegebenen Menge enthalten? a) {x * N|5 ≤ x < 10} : c) {y * N|y < 9} : b) {e * Z|e ≤ | ‒2|} : d) {z * Z|z < 9} : Mit dem Heron-Verfahren kann man die Quadratwurzel mit Hilfe der Grundrechnungsarten berechnen (➞ Schulbuch S. 33). 1) Berechne die Quadratwurzel mittels der angegebenen Seitenlängen x und y (Startwerte) und fülle die Tabelle aus! Mittelwert x + y ___ 2 neue Seitenlänge neuer Mittelwert neue Seitenlänge neuer Mittelwert neue Seitenlänge a) √ __ 48 x = 4 y = 12 b) √ __ 36  x = 2 y = 18 2) Zeichne die jeweiligen Rechtecke übereinander! a) 2 0 2 4 6 8 4 6 8 10 10 12 y x b) 2 0 2 4 6 8 4 6 8 10 12 10 18 14 16 y x Welcher Figur werden diese immer ähnlicher? 67 B O M DI 68 B O M DI 69 B O M DI 70 B O M DI 71 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

14 Merkenswertes A Wähle zum Füllen der Lücken aus den rechts stehenden Wörtern die passenden aus! Trage die Buchstaben bzw. Silben in der Reihenfolge der Lücken in den Lösungstext ein! Zahlenmengen Die Menge der rationalen Zahlen ℚ und die Menge der irrationalen Zahlen I ergeben zusammen die Menge der Zahlen ℝ. Zu den Zahlen zählen viele wie √ __ 2 , √ __ 3 , 3 √ __ 2…, aber auch die Zahl π und unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen, wie 0,010 011 000111… . Rationale Zahlen lassen sich in schreiben, irrationale nicht. Irrationale Zahlen sind unendliche, periodische . Die ganzen Zahlen ℤ sind eine der rationalen Zahlen ℚ; die natürlichen Zahlen ℕ sind eine Teilmenge der Zahlen ℤ. Im Bereich der Zahlen ℚ lassen sich Rechenoperationen durchführen, mit Ausnahme der durch Null. Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten die gleichen wie für das Rechnen mit rationalen Zahlen. Wurzeln Für nicht negative Zahlen ist das (Quadrat-)Wurzelziehen die des Quadrierens. Die Zahl x ≥ 0 heißt einer Zahl a ≥ 0 , wenn x2 = a ist. Die Quadratwurzel aus a ist nur dann sinnvoll, wenn a oder gleich null ist. Eine Zahl heißt Quadratzahl, wenn sie das einer natürlichen Zahl ist. Oft können Radikanden als Summe oder als von Quadratzahlen geschrieben werden. Damit lassen sich irrationale Zahlen als konstruktiv ermitteln und als Punkte auf der darstellen. Mit den irrationalen Zahlen ist die Zahlengerade vollständig gefüllt. Das Berechnen von Kubikwurzeln heißt . Eine Zahl heißt , wenn sie die 3. Potenz einer Zahl ist. Lösungstext , . (Paul Erdós, ungarischer Mathematiker) Kubikwurzelziehen ur Kubikzahl dar natürlichen an Differenz si größer wö Quadratwurzel ge Streckenlängen ch Umkehrung n Zahlengeraden n Quadrat hnt Dezimalzahlen th ganzen at irrationalen le rationalen ik Teilmenge em Wurzeln r Rechenregeln ma reellen Man nicht Ma Menge va Division ht alle nic Bruchform nt Merkenswertes Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B 15 Terme Hannah legt Dreiecke aus Streichhölzern. Wie viele Streichhölzer braucht Hannah für die 4., 5., … n-te Figur? Begründe deine Antwort! Zeichne die nächste Figur in der Reihe und fülle die Tabelle aus! Berechne den Wert des Terms für den angegebenen x-Wert und bemale die Felder in der Tabelle mit den Lösungen! 1) x = 10 a) T (x) = 3 x2 = c) T (x) = √ ___ 9 x 2 = e) T (x) = 3 (x2 – 9) = g) T (x) = 2 x2(x – 3) ______ 7 x = b) T (x) = 3 x 2 ___ 2 = d) T (x) = √ ______ 325 – x2 = f) T (x) = 3 x2 (x – 5) = h) T (x) = 3 (99 – x2) = 2) x = ‒4 a) T (x) = 2 x + 12 = e) T (x) = 2 x + 4 ____ x = b) T (x) = 3 x + 2 = f) T (x) = x – 2 ___ x + 2 = c) T (x) = 20 – x = g) T (x) = 3 x2 + 4 = d) T (x) = 3 (x – 2) = h) T (x) = 4 x2 + 0,6 _____ 2 = 3) x = 0,1 Runde gegebenenfalls auf 1 Dezimalstelle! a) T (x) = 2 x + 12 = e) T (x) = 2 x + 4 ____ x = b) T (x) = 3 x + 2 = f) T (x) = x – 2 ___ x + 2 = c) T (x) = 20 – x = g) T (x) = 3 x2 + 4 = d) T (x) = 3 (x – 2) = h) T (x) = 4 x2 + 0,6 _____ 2 = Welche Terme sind mehrgliedrig? Kreuze an! A 7 a + 4 b B 9x __ 4 C ‒5,5 y4 D 9 x2 – 25 y2 E 6 c – 15 + 5 d F 2x __ 3 – 1,66 Gib die Koeffizienten aller Potenzen von a an! a) 3 a3 – 2 a2 + 5 b) ‒7 a + a2 – 3 c) 11 a + 7 a2 – 4 a3 d) 6 a3 + 2 a2 – 9 a + 16 Stelle einen Term zur gegebenen Anweisung auf! a) Addiere zum Vierfachen einer Zahl das Dreifache dieser Zahl! b) Nimm das Fünffache einer Zahl und subtrahiere das Siebenfache derselben Zahl! c) Multipliziere die Summe aus dem Doppelten und dem Dreifachen einer Zahl mit 3! d) Dividiere eine Zahl durch 17 und subtrahiere dann die Hälfte derselben Zahl! Beschreibe den folgenden Term mit Worten! a) 3 x + 6 x Zum Dreifachen einer Zahl wird das b) 2 x + y c) (x + y)·3 72 Figur Streichhölzer 1. Figur 3 2. Figur 3 + 2 = 5 3. Figur 3 + 4. Figur 5. Figur 6. Figur 50. Figur n-te Figur B O M DI 73 B O M DI 12 21,1 ‒18 20 900 2,3 7 24 15 1 4 450 17,7 ‒3 30 3 1 500 52 90 19 ‒5,7 14 16 300 ‒10 150 19,9 0,3 6 2 2,3 4,0 12,2 ‒0,9 273 7,7 1,3 32,3 400 14,2 8,6 42 74 B O M DI 75 B O M DI 76 B O M DI B O M DI 77 1 Eigenschaften von Termen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

16 Terme B Ein Buch hat a Seiten mit je 34 Zeilen und b Zeichen pro Zeile. a) Wie viele Zeichen passen auf eine Seite? b) Wie viele Zeichen passen in dieses Buch? Gib einen Term zur Berechnung des Volumens des dargestellten Körpers an! a) b a a a a V = b) 3a a a c b b V = Vereinfache und führe die Probe für x = 2 durch! a) 5 x + 1 __ 4 x + 3 __ 2 x = b) 2 x – 2,5 x + 1,25 x = c) 3 __ 8 x – 1 __ 4 x + 2 x = d) ‒0,5 x + 0,8 x – 2,4 x = Fülle die Lücken aus! a) 16 a + – 8 a = 15 a c) 5 a b – 6 a + a b + = 12 a b + 3 a c b) 7 a b – 3 + 4 a c – = a b + a c d) 9 a2 – 10 – 8 + = a2 + 4 In einem Zauberquadrat ist die Summe in jeder Zeile, Spalte und Diagonale gleich. Zeige, dass es sich beim abgebildeten Quadrat um ein Zauberquadrat handelt! Bilde die Summe! 1. Zeile: (x + 4) + 4 x + (4 x + 5) = 9 x + 9 2. Zeile: 3. Zeile: 1. Spalte: 2. Spalte: 3. Spalte: 1. Diagonale: 2. Diagonale: a) Vervollständige zu einem Zauberquadrat! b) Die Summen sind jeweils 3 a – 3. x + y x – y + z x – z x + y + z a + 2 a + 1 a – 2 Vereinfache den Term, indem du Schritt für Schritt ausfüllst! a) 7 x2 – [5 x – (9 x + 11 x2)] + 5 x2 = c) g3 – 2·(g 2 + g 3) – 5·3 g 2 = 7 x2 – (5 x ) + 5 x2 = g 3 – ( + ) – g 2 = 7 x2 – ( x x2) + 5 x2 = g 3 – – g 2 = x2 + x g 3 – g 2 b) (7 y – 3 y2)·( – 2 y) + 15 y2 – y3 = d) 4 f²·(3 f – 7) + 4 f 3 – 9 f 2 + 2 f³ = y2 + y3 + 15 y2 – y3 = f³ – f2 + f³ – 9 f 2 = y3 + y2 f³ – f² 78 B O M DI 79 B O M DI 80 B O M DI 81 B O M DI B O M DI x + 4 4 x 4 x + 5 6 x + 4 3 x + 3 2 2 x + 1 2 x + 6 5 x + 2 82 83 B O M DI 84 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B 17 Terme Gib zuerst das kgV an! Vereinfache anschließend die Terme! a) 3 x2 – 5 x _____ 6 – 11 x2 + 2 x ______ 9 = (kgV(6, 9) = ) b) 7 x – 8 x2 _____ 12 + 6 x – x2 ____ 18 = (kgV(12, 18) = ) ·(3 x 2 – 5 x) – ·(11 x 2 + 2 x) ____________________ = ·(7 x – 8 x 2) + ·(6 x – x 2) ___________________ = x 2 – x – x 2 – x ____________________ = x 2 x _________ x – x 2 + __________________ = x 2 x _________ Berechne das Ergebnis! a) · 5 x 6 3 x ‒4 b) · 3 x ‒y ‒2 x 3 y Vervollständige die Tabelle! a) · 4 x 2x2 24 b) · x x2 3 y 15 y Binomrätsel: Bestimme bei jeder der 11 binomischen Formeln die Werte der vorkommenden Symbole! Wenn du die angegebenen Lösungsbuchstaben in die Tabelle unten einträgst, ergibt sich ein Satz von Cornelius Gurlitt (1850 –1938, Kunsthistoriker). ☼ ◆ ♥  1) (2 x + ☼)2 = ◆ + 28 xy + ♥ L R T 2) (☼ – ◆)2 = 9 x4 – ♥ + y4 H I ! 3) (☼ + 13 y)2 = ◆ + 78 x y + ♥ D N E 4) (2 x + ☼)3 = ◆ + ♥ +  + y3 E D S E 5) (☼ + ◆)(☼ – 10 y) = 25 x2 – ♥ E E G 6) (☼ + 5 x)2 = ◆ + 70 x + ♥ N O , 7) (6 x2 – ☼)2 = ◆ – 48 x2 + ♥ M A S 8) (9 x + ☼)(◆ – ☼) = ♥ – 9 y2 N N N 9) (☼ – ◆)3 = x3 – 15 x2 + ♥ –  L A K L 10) (9 x2 + ☼)2 = ◆ + 108 x2 y2 + ♥ H C T 11) (6 x2 – ☼)(◆ + 5 y2) = 36 x4 – ♥ C E H 4 5 7 16 49 125 x 3 x 5 x 9 x 75 x y 3 y 7 y 10 y 3 x2 4 x2 6 x2 9 x2 25 x2 81 x2 y2 5 y2 6 y2 49 y2 100 y2 169 y2 8 x3 36 x4 81 x4 25 y4 36 y4 6 x y2 12 x2 y 6 x2 y2 Lösungstext: (Cornelius Gurlitt) 85 B O M DI 86 B O M DI 87 B O M DI 88 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

18 Terme B Kreuze die Bruchterme an! A 50 __ 3x B x + y ____ 2 C 10 a – 7 b ______ a b D 15 – c _________ (c + d)(c – d) E ‒ e  2 f _______ 6 – (4 – 2) Zerlege zunächst Zähler bzw. Nenner in Faktoren! Kürze dann so weit wie möglich! Welche Bedingungen müssen für die Variablen erfüllt sein, damit der jeweilige Nenner nicht null ist? a) 9 a ___ 15 a 3 = a ≠ b) 6 z 3 ___ 18 z 2 = z ≠ c) 5 u ___ 20 u = u ≠ 95 B O M DI 96 B O M DI Schreibe als Quadrat eines Binoms! a) a2 – 18 a + 81 = c) 4 y2 – 2 y + 1 _ 4 = e) 9 u2 – u v + 1 __ 36 v2 = b) b2 + 3 b + 2,25 = d) 4 x2 + 12 x y + 9 y2 = f) 0,16 s2 + 4 s t + 25 t2 = Forme den gegebenen Term durch Herausheben des größten gemeinsamen Faktors und Zerlegen in ein Produkt um und vereinfache so weit wie möglich! a) 5 x2 + 10 x y = f) 9 a b – 6 a2 b2 = b) 8 a3 + 6 a2b = g) 4 x3 – 8 x = c) 4 x2y + 3 x y2 = h) 14 a3 + 21 a2 = d) 12 a – 36 b + 84 c = i) a x – a y + 9 a = e) 6 x y + 3 y2 – 5 y3 = j) a x4 + b x3 + c x = Vereinfache den Term! Führe anschließend eine Probe durch. Tipp: Vereinfache zuerst die Klammern und multipliziere anschließend. a) (a + 5 b) (7 – 3 b) + (a + 5 b) (8 b – 9) = b) (3 x – 4 y) (x + 5 y) – (3 x +3 y) (3 x – 4 y) = Zerlege den gegebenen Term in ein Produkt! a) 16 x2 – 49 y2 = ( ) ( ) c) 144 a2 – 100 b2 = ( ) ( ) b) 4 _ 9 u2 – 9 w2 = ( ) ( ) d) e2 __ 4 – 16 f2 ___ 25 = ( ) ( ) Welche binomische Formel ist hier jeweils dargestellt? a) y2 3xy b) 9a2 4b2 c) 25s2 10rs ( )2 = ( )2 = ( )2 = Kreuze die passende Termstruktur an! Forme anschließend jeden Term durch Herausheben oder Ausmultiplizieren so um, dass eine andere Termstruktur entsteht! Gib an welche! Term Summe Differenz Produkt Quotient 5 y – 10 x ___ 3 5 ( y – 2 x __ 3 ) 10 x ___ 3 u (a + b) (a – b) 89 B O M DI 90 B O M DI 91 B O M DI B O M DI 92 93 B O M DI 94 B O M DI 2 Bruchterme Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B 19 Terme Welche Zahl darf man in den gegebenen Term für die Variable nicht einsetzen? a) T (x) = x + 100 ____ x – 9 x ≠ 9 b) T (x) = 7 x ____ 2 x – 7 c) T (x) = 3 x – 132 _____ 8 + 5 x Zerlege zunächst Zähler bzw. Nenner in Faktoren! Kürze dann so weit wie möglich! Welche Bedingungen müssen für die Variablen erfüllt sein, damit der jeweilige Nenner nicht null ist? a) 8 x – 4 y _____ 16 x = = x ≠ b) 6 u – 4 v _____ 112 v = = v ≠ c) 4 x 2 – y 2 _____ 6 x + 3 y = = x ≠ , y ≠ d) 3 y 2 – 75 _____ 4 y – 20 = = y ≠ e) 2 z 3 – 32 z ______ 6 z 2 + 24 z = = z ≠ f) 6 a  2 b – 10 a b2 ________ 30 a b = = a ≠ , b ≠ g) 12 s  2 – 18 s t _______ 3 s t = = s ≠ , t ≠ Paul hat die folgende Termumformung durchgeführt: 12 (4 x2 – 8 y) _______ 8 x = 3 (x 2 – 2 y) ______ 2 x Welchen Fehler hat Paul beim Kürzen gemacht? Stelle die Umformung richtig! Fehler: richtiges Ergebnis: Erweitere den Bruch mit (x + 5)! a) x + 5 ___ x – 5 = ________ (x – 5)·(x + 5) = ________ b) 2 x – 1 ____ x + 5 = ___________ (x + 5)·(x + 5) = ______ Bei dieser Rechenmauer sollen bis zur Spitze benachbarte Steine jeweils addiert werden! Fülle sie aus! a) b) Vereinfache! Welche Bedingungen müssen für die Variablen erfüllt sein, damit im Nenner der auftretenden Bruchterme nicht Null steht? a) x (x + y) _____ 4 x y – y (x – y) _____ 4 x y = _______________ 4 x y = ___________ 4 x y x ≠ , y ≠ b) 5 (z – 3) _____ 6 z – 9 – 4 – 4 z ______ 3 (2 z – 3) = _______________ = ___________ z ≠ c) 5 u – 8 _____ 14 – 7 u – 6 (3 u – 5) ______ 7 (2 – u) = _______________ = ___________ u ≠ d) 1 _ x – 1 ___ x – 1 = _______________ = ___________ x ≠ 97 B O M DI B O M DI 98 B O M DI 99 100 B O M DI 101 B O M DI 3x 2x - 1 4x 2x + 1 8x 2x + 1 7x 2x - 1 3 a + b 8 a - b 4 a - b 7 a + b 102 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

20 Terme B Führe die Multiplikation bzw. die Division durch! Welche Bedingungen müssen die Variablen erfüllen? a) x  2 __ 5 y ·( ‒ 15 y 2 ___ 2 x ) = ___________ x ≠ , y ≠ d) ( ‒ 5 z ___ 8 v 2 )( ‒ 10 z 2 ___ 4 v 2 ) = __________ z ≠ , v ≠ b) 5 y 2 – 5 ____ 3 y + 9 ·  y 2 – 9 ____ 5 y + 5 = ___________ y ≠ e) 8 z – 16 _____ 2 z 2 – 18   (z – 2) 2 ____ (z + 3) 2 = ___________ z ≠ c) x – 5 ___ x   2 x ___ x + 5 = x ≠ f) ( a _ 2 – 2 _ b ) ( a _ 2 + 2 _ b ) = b ≠ Vereinfache den Doppelbruch so weit wie möglich! a) 3 a __ 20 __ 9 a __ 50 = a ≠ b) 7 a ___ 4 b 2 ___ 49 a 2 ___ 10 b = a ≠ , b ≠ 103 B O M DI 104 B O M DI Merkenswertes Wähle zum Füllen der Lücken aus den rechts stehenden Wörtern die passenden aus! Trage die Buchstaben bzw. Satzzeichen in der Reihenfolge der Lücken in den Lösungstext ein! Eigenschaften von Termen Beim Rechnen mit und Termen gelten dieselben und Rechengesetze wie beim Rechnen mit . Es dürfen beim (Subtrahieren) nur Variablen zusammengefasst werden. Beim von mehrgliedrigen Termen wird jedes Glied des ersten Terms mit jedem Glied des zweiten Terms multipliziert. Beim Dividieren wird der erste Term mit dem des zweiten Terms . Mit der kann man feststellen, ob man richtig gerechnet hat. und Ausmultiplizieren von sind Rechenoperationen. Durch Herausheben bzw. wird aus einer (Differenz) ein Produkt, umgekehrt wird durch Ausmultiplizieren aus dem eine Summe ( ). Die Formeln gelten in beide Richtungen. = a2 + 2 a b + b2 (a – b) (a + b) = a2 – b2 (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 = a2 – 2 a b + b2 = a3 – 3 a2 b + 3 a b2 – b3 Lösungstext , . (Kai Noack) Herausheben HN Kehrwert M Rechenregeln KO Summe AL Termen EL Zerlegen R Probe SC Variablen IM Zahlen PF (a + b)² D (a – b)³ KT (a – b)² EN binomischen N Produkt S entgegengesetzte LE Multiplizieren NET multipliziert AN Differenz MA Addieren RE gleiche CH Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

C 21 Gleichungen und Formeln Forme die Gleichung um und trage die Umformungsschritte ein! Ermittle die Unbekannte und führe die Probe durch! a) 2 x – 3 = x _ 5 + 15 | + 3 c) x _ 4 – 5 – 2 x ____ 3 + 4 = 3 x __ 2 |·12 2 x = | = 18 x | = | = | x = x = Probe: Probe: b) 7 – y + 1 ___ 4 = – y |·4 d) y + 2 ___ 3 – y – 2 ___ 6 = 9 _ 2 – y _ 4 |· 28 – = – 4 y | 4 y + 8 – = | = | = | y = y = Probe: Probe: Löse die Gleichungen! Die Buchstaben unter den richtigen Lösungen ergeben ein Lösungswort! 1) ‒3 (x – 5) = 15 4) 7 (x + 2) = ‒14 7) 5 x = 3 x + (‒2 x + 8) 2) 5 (x + 12) – 7 = 38 5) 15 = 8 x – (7 x – 6) 8) ‒7 + (x + 3) = 9 – (3x – 3) 3) 14 – (2 x – 14) = 8 x + 23 6) 9 (x – 2) + 7 = ‒2 ‒4 ‒3 0 0,5 1 2 4 9 T O F O A L L B Lösungswort: Beim Lösen der Gleichung sind Fehler passiert. Korrigiere die Fehler und gib die richtige Lösung an! (x – 2)2 = (x – 4) (x + 4) x2 – 2 x + 4 = x2 – 16 | – x2 ‒2 x + 4 = ‒16 | – 4 ‒2 x = ‒12 | (‒2) x = 6 Ordne der Gleichung die entsprechende Lösung zu! 1 3 (x – 2) + 5 x = 2 x – 4 (x – 2) A { } D x = 4,5 2 x _ 3 – x _ 2 + 2 = 3 + x ___ 6 B x = ‒2,1 E x = 5 3 4 + x ___ 2 = 7 + 2 x ____ 4 C x = 1,4 F x * ℝ 4 2 _ 3 + x = 2 ( 1 _ 3 – x ) + 3 x Ermittle die Unbekannte und führe die Probe durch! Schreibe auf einem Blatt die Lösungsschritte sorgfältig untereinander! a) 4 (8 a – 6) – 5 (2 + 4 a) = 15 (a – 1) – 16 c) (2c – 5)2 – (2 c + 3) (2 c – 3) = 18 – 4 c b) (5 b – 11) (3 b + 3) – 5 b2 = (2 b – 10) (5 b – 7) – 3 b – 5 d) (d + 2)2 + (2 d – 1)2 = 5 d (d + 1) Finde für das gegebene Zahlenrätsel eine Gleichung! Löse diese und mache die Probe! Ist die rechnerische Lösung auch eine sinnvolle Lösung der Textaufgabe? Wenn man die Differenz aus einer Zahl und der Zahl 3 halbiert, erhält man um 3,25 mehr als ein Viertel der Zahl. Wie lautet die Zahl? Gleichung: Lösung: sinnvoll: Die Zahl lautet . 105 B O M DI 106 B O M DI 107 B O M DI 108 B O M DI B O M DI 109 B O M DI 110 1 Äquivalente Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

22 Gleichungen und Formeln C Schreibe in der folgenden Textaufgabe den Text zunächst in Form einer Gleichung! Löse dann die Gleichung und führe die Probe durch! Überprüfe, ob die Lösung der Gleichung auch Lösung der Textaufgabe ist! Wenn man das Dreifache einer Zahl um 13 vermindert, erhält man um 11 mehr als ein Drittel der Zahl. Berechne die Zahl! Gleichung: Lösung: sinnvoll: Die Zahl lautet . Frau Böhm versprach ihrem Sohn Felix, ihm für jede richtig gelöste Mathematikaufgabe aus dem Arbeitsheft 50 Cent zu geben. Allerdings musste Felix sich verpflichten, für jede falsch gelöste Aufgabe 25 Cent zurückzugeben. Nach dem Lösen von 18 Aufgaben erhielt Felix insgesamt 6 €. Wie viele Aufgaben löste Felix fehlerfrei, wie viele waren falsch? Gleichung: Felix löste Aufgaben richtig, Aufgaben hatte er falsch. Bei einer Preisverteilung machen der 1. Preis 45 %, der 2. Preis 25 %, der 3. und 4. Preis jeweils 15 % der gesamten Gewinnsumme aus. Die Gewinnerin des 1. Preises spendet 6 500 € für einen wohltätigen Zweck, wodurch der ihr verbleibende Betrag nur noch der Hälfte des 2. Preises entspricht. Berechne die als Gewinn vorgesehenen Beträge! Gleichung: 1. Preis: €, 2. Preis: €, 3. Preis: €, 4. Preis: € Die Länge eines Rechtecks ist fünfmal so lang wie die Breite. Der Umfang dieses Rechtecks beträgt 60 cm. Kreuze die beiden richtigen Gleichungen an und berechne die Seitenlängen! A (5 b + b)·2 = 60 B 5 l + l = 30 C l _ 5 + l = 30 D b _ 5 + b = 30 E l _ 5 + l = 60 In einem Dreieck ist eine Seite genau so lang wie die zugehörige Höhe. Wird die Seite um 2 cm und die Höhe um 4 cm verkürzt, so verringert sich der Flächeninhalt um 20 cm2. Wie lang sind Seite und zugehörige Höhe des ursprünglichen Dreiecks? Gleichung: Seite: cm, Höhe: cm Von zwei quaderförmigen Aquarien fasst das größere mit einer Grundfläche von 70 cm mal 50 cm um 56 Liter Wasser mehr als das kleinere, dessen Grundfläche die Ausmaße 60 cm mal 40 cm hat. Das größere Aquarium ist 5 cm höher als das kleinere. Welche Höhen haben die beiden Aquarien? Die Flächeninhalte des Quadrats und des Rechtecks sind gleich groß. Berechne die Seitenlängen! Gleichung: SeitenlängeQuadrat: LängeRechteck: BreiteRechteck: Lea kauft sieben Vollkornsemmeln und drei Brote für insgesamt 20,50 €. Ein Brot kostet 2 € mehr als eine Vollkornsemmel. Kreuze die richtige Gleichung an und berechne den Preis für eine Vollkornsemmel und ein Brot! A 7 x + 3 x + 2 = 20,5 B 7 (x + 2) + 3 x = 20,5 C 7 x + 3 (x + 2) = 20,5 Beim Schulfest will die 4B-Klasse ein Gewinnspiel veranstalten und 1 320 € Preisgeld ausschütten. Die Schülerinnen und Schüler haben sich vorher überlegt, dass die Hälfte des Preisgelds auf die drei Hauptgewinne aufgeteilt wird. Der zweite Preis ist 1 1 _ 4 mal so groß wie der dritte, der erste Preis 1 1 _ 2 mal so groß wie der zweite. Berechne, wie viel Euro für jeden Preis ausbezahlt werden! 111 B O M DI B O M DI 112 B O M DI 113 114 B O M DI 115 B O M DI B O M DI 116 117 B O M DI x x x – 2 x + 3 118 B O M DI 119 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

C 23 Gleichungen und Formeln Die vier Seitenflächen des unten abgebildeten Hausdaches haben zusammen eine Fläche von 150 m2. Wie groß ist die Grundfläche A des Dachbodens? Überlege: Das Hausdach besteht aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken, die jeweils deckungsgleich sind. 2·ATrapez + 2·ADreieck = 150 = 150 = 150 = x = w A = = m2 Die Figuren E, F, G und H zeigen Rechtecke mit dem gleichen Flächeninhalt A. Welche Figur passt zu welcher Formel? Begründe deine Entscheidungen mit eigenen Worten! Zu welcher Figur passt keine der vier Formeln? E F G H I A = x·y + y·z = y·(x + z) II A = a·(c + d) + b (c + d) = (a + b)(c + d) III A = p·q + p·r + p·s = p·(q + r + s) IV A = g·h + g·e + f·h + f·e = ( + ) ( + ) Drücke in der Formel zunächst jede der vorkommenden Variablen durch die anderen aus! Gib an, wozu die Formel dient! a) h = √ __ 3 · a _ 2 a = b) a = √ ______ h 2 + ( c _ 2 ) 2 h = , c = c) V = a  2·h ___ 3 h = , a = Forme die Formel so um, dass die Variable x ausgedrückt wird! a) 2 a = 5 + 2 x ____ b x = b) 3 x2 = 5 b – a _ 2 x = c) 1 ___ abx = 6 x = Die Formel für den freien Fall aus einer Höhe h0 lautet bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes h = ‒5 t2 + h  0. 1) Drücke aus dieser Formel die Zeit t aus! 2) Wie viele Sekunden nach dem Loslassen fällt ein Ball im ersten Stock (h = 3 m) „vorbei“, der im 5. Stock (h0 = 12 m) losgelassen wurde? Für die Dichte eines Körpers gilt ρ = m __ V . Juan soll das Volumen V eines Aluminiumwürfels berechnen, dessen Masse m den Wert 337,5 g hat. Die Dichte ρ von Aluminium liegt bei 2,7g/cm3. Leider hat Juan einen Fehler gemacht. Korrigiere seine Rechnung! Formel: ρ = m __ V Einsetzen: 2,7 = 337,5 ____ V | · V 2,7 V = 337,5 | ‒2,7 V = 334,8 Das Volumen beträgt 334,8 cm3. 120 B O M DI A x + 8 x 7 6 6 121 B O M DI 122 B O M DI 123 B O M DI 124 B O M DI 125 B O M DI 2 Formeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

24 Gleichungen und Formeln C Bei einem Kettenkarussell kann man durch den Auslenkwinkel der Sitze ungefähr feststellen, wie schnell sich das Karussell dreht. Die Katheten des eingezeichneten Dreiecks entsprechen der Fliehkraft FF = m·v2 ___ r und der Gravitationskraft FG ≈ 10·m. Bei dem eingezeichneten Winkel im Bild gilt ca. FG = 3·F F. 1) Schreibe diese Formel auf! Welche Variable kann wegfallen? Was bedeutet das? 2) Berechne die Geschwindigkeit des Kettenkarussells in m/s und in km/h, wenn der Radius r = 5 m beträgt! Drücke in der Formel alle vorkommenden Variablen durch die anderen aus! a) O = 4 π r 2 b) A = b·r ___ 2 c) I = U __ R d) h = g _ 2 t 2 – h  0 126 FG α FF B O M DI 127 B O M DI Merkenswertes Wähle zum Füllen der Lücken aus den rechts stehenden Möglichkeiten die passenden aus! Trage die Wortteile in der Reihenfolge der Lücken in den Lösungstext ein! Gleichungen Gleichungen wie zB 7x – 9 = 19 heißen Gleichungen mit einer Variablen. Die , mit der die Unbekannte wird, heißt Koeffizient. Wenn wir eine lösen, suchen wir für die Unbekannte jene Zahl, die die Gleichung . Die kann durch sinnvolles , durch Rückgängigmachen der oder durch Äquivalenzumformungen werden. Setzen wir diesen Wert für die in die Gleichung ein, ergibt sich eine Aussage. Lineare Gleichungen ax + b = c (a ≠ 0) haben im Allgemeinen Lösung, sie können aber auch keine oder Lösungen haben. Formeln Durch von Formeln kann man eine Variable (zB x) durch die Variablen ausdrücken. Diese wird dann explizit ausgedrückt. Bei der Berechnung von x werden dann die anderen Variablen als Zahlen betrachtet. Lösungstext „ , , .“ (Albert Einstein) lineare Ni Unbekannte ge wahre zä eine hlt Lösung es Gleichung al ermittelt s Probieren w unendlich viele wer erfüllt l Rechenoperationen a multipliziert t Klammern en Zahl ch anderen kann Variable zä Umformen den konstante hlt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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