3 Lösungen 3 Reelle Zahlen (Seite 11) 62 C 63 a) Q N R Z I b) Rationale Zahlen lassen sich im Gegensatz zu den irrationalen Zahlen in Bruchform schreiben. Rationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit endlich vielen Stellen oder periodische Dezimalzahlen; irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen ohne Periode. 64 B 65 Zahl ℕ ℤ ℚ ℝ I 3 √ __ 64 2,5·105 13 0,143143… 1,010010001… ‒2,5·101 √ __ 27 20 % 66 richtig: A, C, D, F, H, I, L, M, N; falsch: B, E, G, J, K, O, P, Q, R Lösungstext: IM*PRATER*BLUEHEN*WIEDER*DIE*BAEUME! 4 Intervalle (Seite 13) 67 a) [‒4; 2) -4-3-2-1 0 1 2 3 b) (‒1; 4) -2-1012345 c) [‒3; 3] -3-2-10 1 234 68 a) [‒10; 10], ‒10 ≤ x ≤ 10 b) (‒3; 5], ‒3 < x ≤ 5,5 69 a) 0 ≤ x ≤ 3 b) y ≤ 1 c) z ≥ 5 70 a) 5 b) 5 c) 9 d) unendlich viele 71 1) a) √ __ 48 x = 4 y = 12 8 x = 6; y = 8 7 x ≈ 6,86; y = 7 6,93 x ≈ y ≈ 6,93 b) √ __ 36 x = 2 y = 18 10 x = 3,6; y = 10 6,8 x ≈ 5,29; y = 6,8 6,045 x ≈ 6,045, y ≈ 5,955 2) a) 2 0 2 4 6 8 4 6 8 10 10 12 y x b) 0 2 2 4 6 8 4 6 8 10 12 10 18 14 16 y x Quadrat Merkenswertes (Seite 14) Zahlenmengen Die Menge der rationalen Zahlen ℚ und die Menge der irrationalen Zahlen I ergeben zusammen die Menge der reellen Zahlen ℝ. Zu den irrationalen Zahlen zählen viele Wurzeln, wie √ _ 2 , √ _ 3 , 3 √ _ 2,… aber auch die Zahl π und unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen, wie 0,010011000111… . Rationale Zahlen lassen sich in Bruchform schreiben, irrationale nicht. Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Die ganzen Zahlen ℤ sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen ℚ; die natürlichen Zahlen ℕ sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen ℤ. Im Bereich der rationalen Zahlen ℚ lassen sich alle Rechenoperationen durchführen, mit Ausnahme der Division durch Null. Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie für das Rechnen mit rationalen Zahlen. Wurzeln Für nicht negative Zahlen ist das (Quadrat-)Wurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens. Die Zahl x ≥ 0 heißt Quadratwurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x2 = a ist. Die Quadratwurzel aus a ist nur dann sinnvoll, wenn a größer oder gleich null ist. Eine Zahl heißt Quadratzahl, wenn sie das Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Oft können Radikanden als Summe oder als Differenz von Quadratzahlen geschrieben werden. Damit lassen sich irrationale Zahlen als Streckenlängen konstruktiv ermitteln und als Punkte auf der Zahlengeraden darstellen. Mit den irrationalen Zahlen ist die Zahlengerade vollständig gefüllt. Das Berechnen von Kubikwurzeln heißt Kubikwurzelziehen. Eine Zahl heißt Kubikzahl, wenn sie die 3. Potenz einer natürlichen Zahl ist. Lösungstext: Man lernt Mathematik nicht, man gewöhnt sich nur daran. (Paul Erdós, ungarischer Mathematiker) B Terme 1 Eigenschaften von Termen (Seite 15) 72 Figur Streichhölzer 1. Figur 3 2. Figur 3 + 2 = 5 3. Figur 3 + 2·2 = 7 4. Figur 3 + 3·2 = 9 5. Figur 3 + 4·2 = 11 6. Figur 3 + 5·2 = 13 50. Figur 1 + 49·2 = 99 n-te Figur 3 + (n – 1) 2 = 1 + 2 n Zu einem „Anfangsstreichholz“ legt sie in jeder Figur zwei dazu. 73 1) a) 300 e) 273 b) 150 f) 1 500 c) 30 g) 20 d) 15 h) ‒3 2) a) 4 e) 1 b) ‒10 f) 3 c) 24 g) 52 d) ‒18 h) 32,3 3) a) 12,2 e) 42 b) 2,3 f) ‒0,9 c) 19,9 g) 4,0 d) ‒5,7 h) 0,3 74 A, D, E, F 75 a) 3, 2 b) ‒7, 1 c) 11, 7, ‒4 d) 6, 2, ‒9 76 a) 4 x + 3 x b) 5 x – 7 x c) (2 x + 3x )·3 d) x __ 17 – x _ 2 77 a) Zum Dreifachen einer Zahl wird das Sechsfache der Zahl addiert. b) Zum Doppelten einer Zahl wird eine andere Zahl addiert. c) Die Summe zweier Zahlen wird verdreifacht. d) Man verdreifacht die Differenz aus dem Doppelten einer Zahl und einer anderen Zahl. 78 a) 34 b b) 34 a b 79 a) V = a3 + a2 b b) V = 3 a b c + 2 a b2 80 a) 27 __ 4 x; Probe: 13,5 c) 17 __ 8 x; Probe: 4,25 b) 0,75 x; Probe: 1,5 d) ‒2,1 x; Probe: ‒4,2 81 a) 16 a + 7a–8a c) 5 a b ‒6 a c + 7 a b + 9 a c b) 7 a b – 3 a c + 4 a c – 6 a b d) 9 a2 –10 – 8a2 + 14 12 21,1 ‒18 20 900 2,3 7 24 15 1 4 450 17,7 ‒3 30 3 1 500 52 90 19 ‒5,7 14 16 300 ‒10 150 19,9 0,3 6 2 2,3 4,0 12,2 ‒0,9 273 7,7 1,3 32,3 400 14,2 8,6 42 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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