4 Lösungen 82 2. Zeile: (6 x + 4) + (3 x + 3) + 2 = 9 x + 9 3. Zeile: (2 x + 1) + (2 x + 6) + (5 x + 2) = 9 x + 9 1. Spalte: (x + 4) + (6 x + 4) + (2 x + 1) = 9 x + 9 2. Spalte: 4 x + (3 x + 3) + (2 x + 6) = 9 x + 9 3. Spalte: (4 x + 5) + 2 + (5 x + 2) = 9 x + 9 1. Diagonale: (x + 4) + (3 x + 3) + (5 x + 2) = 9 x + 9 2. Diagonale: (2 x + 1) + (3 x + 3) + (4 x + 5) = 9 x + 9 83 a) x + y x – y – z x + z x – y + z x x + y – z x – z x + y + z x – y b) a a – 5 a + 2 a + 1 a – 1 a – 3 a – 4 a + 3 a – 2 84 a) 7 x2 – [5 x – (9 x + 11 x2)] + 5 x2 = c) g3 – 2· (g 2 + g 3) – 5·3 g 2 = 7 x2 – (5 x – 9 x – 11 x2) + 5 x2 = g 3 – (2 g2 + 2 g3) – 15 g 2 = 7 x2 – (‒4 x – 11 x2) + 5 x2 = g 3 – 2 g2 – 2 g3 – 15 g 2 = 23 x2 + 4 x ‒g 3 – 17 g 2 b) (7 y – 3 y2)· (‒2 y) + 15 y2 – y3 = d) 4 f²· (3 f – 7) + 4 f 3 – 9 f 2 + 2 f³ = ‒14 y2 + 6 y3 + 15 y2 – y3 = 12 f3 – 28 f2 + 6 f³ – 9 f 2 = 5 y3 + 1 y2 18 f³ – 37 f² 85 a) 3 x2 – 5 x _____ 6 – 11 x2 + 2 x ______ 9 = (kgV(6, 9) = 18) b) 7 x – 8 x2 _____ 12 + 6 x – x2 ____ 18 = (kgV(12, 18) = 36) 3·(3 x 2 – 5 x) – 2·(11 x 2 + 2 x) ________________ 18 = 3·(7 x – 8 x 2) + 2·(6x – x 2) ______________ 36 = 9 x 2 – 15 x – 22 x 2 – 4 x ____________ 18 = ‒13 x 2 – 19 x _______ 18 21 x – 24 x 2 + 12 x – 2 x2 _____________ 36 = ‒26 x 2 + 33 x _______ 36 86 a) · 5 x 6 3 x 15 x2 18 x ‒4 ‒20 x ‒24 b) · 3 x ‒y ‒2 x ‒6 x2 2 x y 3 y 9 x y ‒3 y2 87 a) · 2 x 4 x 2 x2 4 x 6 12 x 24 b) · x 5 x x2 5 x 3 y 3 x y 15 y 88 ☼ ◆ ♥ 1) (2 x + ☼)2 = ◆ + 28 xy + ♥ 7 y L 4 x2 R 49 y2 T 2) (☼ – ◆)2 = 9 x4 – ♥ + y4 3 x2 H y2 I 6 x2y2 3) (☼ + 13 y)2 = ◆ + 78 xy + ♥ 3 x D 9 x2 N 169 y2 E 4) (2 x +☼)3 = ◆ + ♥ + + y3 y E 8 x3 D 12 x2 y S 6 x y2 E 5) (☼ + ◆)(☼ – 10 y) = 25 x2 – ♥ 5 x E 10 y E 100 y2 G 6) (☼ + 5 x)2 = ◆ + 70 x + ♥ 7N 49O 25x2 , 7) (6 x2 – ☼)2 = ◆ – 48 x2 + ♥ 4 M 36 x4 A 16 S 8) (9 x + ☼)(◆ – ☼) = ♥ – 9 y2 3yN 9xN 81x2 N 9) (☼ – ◆)3 = x3 – 15 x2 + ♥ – x L 5 A 75 x K 125 L 10) (9 x2 + ☼)2 = ◆ + 108 x2y2 + ♥ 6 y2 H 81 x4 C 36 y4 T 11) (6 x2 – ☼)(◆ + 5 y2) = 36 x4 – ♥ 5 y2 C 6 x2 E 25 y4 H Lösungstext: MAN SOLL DENKEN LEHREN, NICHT GEDACHTES! (Cornelius Gurlitt) 89 a) (a – 9)2 c) ( 2 y – 1 _ 2 ) 2 e) ( 3 u – 1 _ 6 v ) 2 b) (b + 1,5)2 d) (2 x + 3 y)2 f) (0,4 s + 5 t)2 90 a) 5 x (x + 2 y) f) 3 a b (3 – 2 a b) b) 2 a2 (4 a + 3 b) g) 4 x (x2 – 2) c) x y (4 x + 3 y) h) 7 a2 (2 a + 3) d) 12 (a – 3 b + 7 c) i) a (x – y + 9) e) y (6 x + 3 y – 5 y2) j) x (a x3 + b x2 + c) 91 a) 5 a b – 2 a + 25 b2 – 10 b Probe (zB: a = 1, b = 2): 88 b) ‒6 x2 + 14 x y – 8 y2 Probe (zB: x = 1, y = 2): ‒6 92 a) (4 x – 7 y)(4 x + 7 y) c) (12 a – 10 b)(12 a + 10 b) b) ( 2 _ 3 u – 3 w )( 2 _ 3 u + 3 w ) d) ( e _ 2 – 4 f __ 5 )( e _ 2 + 4 f __ 5 ) 93 a) 3 x y y2 9 x2 3 x y b) 6 a b 9 a2 4 b2 6 a b (3 x + y)2 = 9 x2 + 6 x y + y2 ( 3 a + 2 b)2 = 9 a2 + 12 a b + 4 b2 c) 4 r2 10 r s 10 r s 25 s2 (2 r + 5 s)2 = 4 r2 + 20 r s + 25 s2 94 Term Summe Differenz Produkt Quotient 5 y – 10 x ___ 3 5 ( y – 2 x __ 3 ) 10 x ___ 3 u (a + b) (a – b) 2 Bruchterme (Seite 18) 95 A, C, D 96 a) 3 ___ 5 a2 ; a ≠ 0 b) z _ 3 ; z ≠ 0 c) 1 _ 4 ; u ≠ 0 97 b) 2 x – 7 ≠ 0 w x ≠ 3,5 c) 8 + 5 x ≠ 0 w x ≠ ‒1,6 98 a) 4 (2 x – y) ______ 16 x = 2 x – y ____ 4 x ; x ≠ 0 c) (2 x – y)(2 x + y) _________ 3 (2 x + y) = 2 x – y ____ 3 ; x ≠ ‒ y _ 2 , y ≠ ‒2 x b) 2 (3 u – 2 u) _______ 112 v = 3 u – 2 v _____ 56 v ; v ≠ 0 d) 3 (y – 5)(y + 5) ________ 4 (y – 5) = 3 (y + 5) _____ 4 ; y ≠ 5 e) 2 z (z – 4)(z + 4) _________ 6 z (z + 4) = z – 4 ___ 3 ; z ≠ 0, ‒4 f) 2 a b (3 a – 5 b) ________ 30 a b = 3 a – 5 b _____ 15 ; a ≠ 0, b ≠ 0 g) 6 s (2 s – 3 t) _______ 3 s t = 2 (2 s – 3 t) ______ t ; s ≠ 0, t ≠ 0 99 Fehler: Paul hat beide Faktoren des Zählers durch 4 dividiert; richtiges Ergebnis: 6 (x2 – 2 y) ______ x 100 a) x + 5 ___ x – 5 = (x + 5)2 ________ (x – 5)·(x + 5) = x2 + 10 x + 25 _______ x2 – 25 b) 2 x – 1 ____ x + 5 = (2 x – 1)(x + 5) ________ (x + 5)·(x + 5) = 2 x2 + 9 x – 5 ________ x2 + 10 x + 25 101 a) 3x 2x - 1 4x 2x + 1 8x 2x + 1 7x 2x - 1 30x2-x 4x2 - 1 22x2-5x 4x2 - 1 52x2-6x 4x2 - 1 36x2-6x 4x2 - 1 88x2-12x 4x2 - 1 14x2-x 4x2 - 1 b) 3 a + b 8 a - b 4 a - b 7 a + b 11a-3b a2 - b2 18a-2b a2 - b2 36a+4b a2 - b2 18a+6b a2 - b2 7a+b a2 - b2 11a+5b a2 - b2 102 a) x2 + x y – x y + y2 _________ 4 xy = x2 + y2 ____ 4 x y ; x ≠ 0, y ≠ 0 c) 5 u – 8 – 18 u + 30 __________ 7 (2 – u) = ‒13 u + 22 ______ 7 (2 – u) ; u ≠ 2 b) 5 z – 15 – 4 + 4 z _________ 3 (2 z – 3) = 9 z – 19 ______ 3 (2 z – 3) ; z ≠ 3 _ 2 d) x – 1 – x _____ x (x – 1) = ‒1 _____ x (x – 1) ; x ≠ 0; 1 103 a) ‒3 x y ____ 2 ; x ≠ 0, y ≠ 0 d) 1 __ 4 z ; z ≠ 0, v ≠ 0 b) (y – 1)(y – 3) _______ 3 ; y ≠ ‒1, ‒3 e) 4 (z + 3) _______ (z – 3)(z – 2) ; z ≠ 2, 3, ‒3 c) x2 – 25 ____ 2 x2 ; x ≠ 0; ‒5 f) a 2 __ 4 – 4 __ b 2 ; b ≠ 0 104 a) 5 _ 6 ; a ≠ 0 b) 5 ___ 14 ab ; a ≠ 0, b ≠ 0 Merkenswertes (Seite 20) Beim Rechnen mit Variablen und Termen gelten dieselben Rechenregeln und Rechengesetze wie beim Rechnen mit Zahlen. Es dürfen beim Addieren (Subtrahieren) nur gleiche Variablen zusammengefasst werden. Beim Multiplizieren von mehrgliedrigen Termen wird jedes Glied des ersten Terms mit jedem Glied des zweiten Terms multipliziert. Beim Dividieren wird der erste Term mit dem Kehrwert des zweiten Terms multipliziert. Mit der Probe kann man feststellen, ob man richtig gerechnet hat. Herausheben und Ausmultiplizieren von Termen sind entgegengesetzte Rechenoperationen. Durch Herausheben bzw. Zerlegen wird aus einer Summe (Differenz) ein Produkt, umgekehrt wird durch Ausmultiplizieren aus dem Produkt eine Summe (Differenz). Die binomischen Formeln gelten in beide Richtungen. (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 (a – b)(a + b) = a2 – b2 (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 (a – b)3 = a3 – 3 a2 b + 3 a b2 – b3 Lösungstext: IM KOPF RECHNET MAN SCHNELLER, ALS MAN DENKT. (Kai Noack) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==