5 Lösungen C Gleichungen und Formeln 1 Äquivalente Gleichungen (Seiten 21) 105 a) 2 x – 3 = x _ 5 + 15 | + 3 c) x _ 4 – 5 – 2 x ____ 3 + 4 = 3 x __ 2 |·12 2 x = x _ 5 + 18 | ‒ x _ 5 3 x – 20 + 8 x + 48 = 18 x | ‒11 x 9 x __ 5 = 18 |· 5 _ 9 28 = 7 x | : 7 x = 10 Probe: 17 x = 4 Probe: 6 b) 7 – y + 1 ___ 4 = ‒y |·4 d) y + 2 ___ 3 – y – 2 ___ 6 = 9 _ 2 – y _ 4 |·12 28 – (y + 1) = ‒4 y | ‒27 + 4 y 4 y + 8 – 2 y + 4 = 54 – 3 y | + 3 y – 12 3 y = ‒27 | : 3 5 y = 42 | : 5 y = ‒9 Probe: 9 y = 8,4 Probe: 2,4 106 Lösungswort: FOOTBALL 107 (x – 2)2 = (x – 4) (x + 4) x2 – 2 x + 4 = x2 – 16 | ‒x2 x2 – 4 x + 4 = x2 – 16 | ‒x2 ‒2 x + 4 = 16 | ‒4 ‒4 x + 4 = ‒16 | ‒4 ‒2 x = ‒12 ‒4 x = ‒20 | (‒4) x = 5 108 1C, 2D, 3A, 4F 109 a) a = ‒1; Probe: ‒46 c) c = 1; Probe: 14 b) b = 2; Probe: ‒29 d) d = 1; Probe: 10 110 x – 3 ___ 2 = x _ 4 + 3,25; x = 19; ja: Die Zahl lautet 19. 111 3 x – 13 = x _ 3 + 11; x = 9; ja: Die Zahl lautet 9. 112 50 x – 25 (18 – x) = 600 Felix löste 14 Aufgaben richtig, 4 Aufgaben hatte er falsch. 113 0,45 x – 6 500 = 0,125 x; 1. Preis: 9 000 €, 2. Preis: 5 000 €, 3. Preis: 3 000 €, 4. Preis: 3 000 €. 114 A, C 115 (c – 2)(c – 4) _______ 2 = c 2 __ 2 – 20 Seite: 8 cm, Höhe: 8 cm 116 (h + 0,5)·35 = h·24 + 56; Höhe des größeren Aquariums: 4 dm = 40 cm, Höhe des kleineren Aquariums: 3,5 dm = 35 cm 117 Gleichung: x2 = (x + 3) (x – 2) SeitenlängeQuadrat6 LängeRechteck9 BreiteRechteck4 118 C; Vollkornsemmel 1,45 € Brot 3,45 € 119 1. Preis 300 €, 2. Preis 200 €, 3. Preis 160 € 2 Formeln (Seite 23) 120 2·ATrapez + 2·ADreieck = 150 6 (x + 8 + x) + 6·7 = 150 12 x + 48 + 42 = 150 12 x = 60 x = 5 w A = 13·7 = 91 m2 121 Zu H passt keine der vier Formeln. I: E Die Länge des Rechtecks ist (x + z), die Breite y. II: F Die eine Seite des Rechtecks ist (a + b), die andere (c + d). III: G Die Länge des Rechtecks ist (q + r + s), die Breite p. IV: F Die eine Seite des Rechtecks ist (f + g), die andere (e + h). 122 a) a = 2 h __ √ _ 3 ; Höhe im gleichseitigen Dreieck b) h = √ ______ a 2 – ( c _ 2 ) 2 ; c = 2·√ _____ a 2 – h 2 Berechnung der Schenkellänge a im gleichschenkligen Dreieck; c) h = 3 V __ a 2 ; a = √ __ 3 V __ h ; Volumen der quadratischen Pyramide 123 a) x = a b – 2,5 b) x = √ _____ 5 _ 3 b – a _ 6 c) x = 1 ___ 6 a b 124 1) t = √ ____ h – h 0 ____ – 5 = √ ____ h 0 – h ____ 5 (h 0 > h) 2) nach ca. 1,34 Sekunden 125 2,7 V = 337,5 | 2,7 V = 125 cm3 126 1) 10 m = 3 m v 2 ___ r Die Masse m fällt bei Division weg. Unabhängig von der Masse ist der Auslenkwinkel bei allen Personen gleich. 2) v = √ ___ 10 r ___ 3 ≈ 4 m/s bzw. 14,7 km/h 127 a) r = √ __ O __ 4 π c) R = U __ I ; U = I·R b) b = 2 A __ r ; r = 2 A __ b d) h0 = g _ 2 t2 – h; t = √ _______ 2 _ g (h + h 0) Merkenswertes (Seite 24) Gleichungen Gleichungen wie zB 7x – 9 = 19 heißen lineare Gleichungen mit einer Variablen. Die Zahl, mit der die Unbekannte multipliziert wird, heißt Koeffizient. Wenn wir eine Gleichung lösen, suchen wir für die Unbekannte jene Zahl, die die Gleichung erfüllt. Die Lösung kann durch sinnvolles Probieren, durch Rückgängigmachen der Rechenoperationen oder durch Äquivalenzumformungen ermittelt werden. Setzen wir diesen Wert für die Unbekannte in die Gleichung ein, ergibt sich eine wahre Aussage. Lineare Gleichungen a x + b = c (a ≠ 0) haben im Allgemeinen eine Lösung, sie können aber auch keine oder unendlich viele Lösungen haben. Formeln Durch Umformen von Formeln kann man eine Variable (zB x) durch die anderen Variablen ausdrücken. Diese Variable wird dann explizit ausgedrückt. Bei der Berechnung von x werden dann die anderen Variablen als konstante Zahlen betrachtet. Lösungstext: „Nicht alles, was gezählt werden kann, zählt.“ (Albert Einstein) D Funktionen 1 Einführung von Funktionen (Seite 25) 128 a) Funktion: ja, Zuordnungen zB: f (Wurst) = 2,50 €, f (Käse) = 2,50 €, f (Hühnerfleisch) = 3,10 € b) Funktion: nein, Gegenbeispiele: f (Flora) = reiten, f (Flora) = musizieren c) Funktion: ja, Zuordnungen: f (Flora) = 3. November, f (Markus) = 2. Mai 129 f (Mahler) = Gustav, f (Vivaldi) = Antonio, f (Bach) = Johann Sebastian, f (Strauss) = Richard, f (Mozart) = Wolfgang Amadeus Nachname Mahler Vivaldi Bach Strauss Mozart Wolfgang Amadeus Johann Sebastian Antonio Richard Gustav Vorname 130 a) Ja, weil jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. b) Nein, weil dem x-Wert 1 zwei verschiedene y-Werte zugeordnet werden. c) Ja, weil jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. d) Nein, weil dem x-Wert 0 kein y-Werte zugeordnet wird. 131 1) B, C 2) A, weil jedem x-Wert >0 zwei y-Werte zugeordnet werden. D, weil manchen x-Werten mehrere y-Werte zugeordnet werden. 132 a) x ‒2 ‒1 0 1 2 3 f (x) 2 2,5 3 3,5 4 4,5 b) x ‒2 ‒1 0 1 2 3 4 5 6 f (x) 1 2 2 0 ‒0,5 ‒1 0,5 2 5 g (x) 4 4 3 2 2 2 3 4 5 c) A = (‒4 1 1), B = (‒3 1 1,5), C = (4 1 5) 0 f(x) 2 4 1 3 5 x 1 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 133 t 0 2 5 6 12 15 20 g (t) 1200 1000 800 800 600 400 0 ZB Carla legt in den ersten beiden Minuten einen Weg von 200 m zurück. Für die nächsten 200 m braucht sie 3 Minuten. Nach einer einminütigen Wartezeit an einer Kreuzung braucht sie für die folgenden 200 m 6 Minuten. Nun eilt sie in 8 Minuten zur 600 Meter entfernten Schule. 134 B, E Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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