8 Lösungen E Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen (Seite 34) 157 1) 4 x + 3 y = ‒15 D 3) ‒0,4 x + 0,3 y = ‒1 B 5) 5 x – 0,6 y = 6 A, F 2) ‒4 x + 3 y = 9 C, D 4) 5 x – 2 y = 20 A, E 6) 3 x – 7 y = 17 B 158 Gleichung: 3 x + 4 y = 84; L: (0 1 21), (4 1 18), (8 1 15), (12 1 12), (16 1 9), (20 1 6), (24 1 3), (28 1 0) 159 Gleichung: 6 x + 10 y = 90; L: (0 1 9), (5 1 6), (10 1 3), (15 1 0) 160 Gleichung: 8 x + 12 y = 280; L: (2 1 22), (14 1 14), (26 1 6), (5 1 20), (8 1 18), (11 1 16), (17 1 12), (20 1 10), (23 1 8), (29 1 4), (32 1 2), (35 1 0) 161 Gleichung: 1,5 x + 2 y = 32; L: (0 1 16), (4 1 13), (8 1 10), (12 1 7), (16 1 4), (20 1 1) 162 Gleichung: 2 x + y = 24; L: (0 1 24), (1 1 22), (3 1 18), (4 1 16), (5 1 14), (6 1 12), (7 1 10), (8 1 8), (9 1 6), (10 1 4), (11 1 2), (12 1 0) 163 a) x y 0 ‒1 1 2 2 5 b) x y ‒3 6 0 0 7 ‒14 c) x y 0 ‒3 ‒ 8 _ 3 1 2 ‒6 164 a) L: (0 1 6), (1 1 4), (2 1 2), (3 1 0), (0,5 1 5) ZB Fritz bezahlt mit 1-Euro- und 2-Euro-Münzen einen Betrag von 6 €. a) 0 y x 2 4 6 8 2 4 6 b) 0 y x 2 4 6 8 2 4 6 b) L: (1 1 3), (3 1 2), (5 1 1), (7 1 0), (0 1 3,5) ZB Leas Haustiere haben zusammen 14 Beine. Sie hält Kaninchen und Wellensittiche. 165 y x 1 0 1 2 3 2 3 -1 -2 -1 -2 f1 f2 f3 f4 f5 f6 2 Graphisches Lösen linearer Gleichungssysteme (Seite 35) 166 a) A = (4 1 5) Probe: I: 4 + 5 = 9 II: 5 = 2·4 – 3 b) B = (2 1 1) Probe: I: 1 = 2·2 – 3 II: 2 + 3·1 = 5 y x 0 2 2 4 6 8 10 4 6 8 10 -2 -2 -4 12 A = (4|5) B = (2|1) 167 a) S = (11 1 ‒2) I: 11 + 3·(‒2) = 5 II: 11 – 2 = 9 b) S = (7,5 1 1,5) I: 7,5 + 1,5 = 9 II: ‒3·7,5 + 5·1,5 = ‒15 c) S = (5 1 0) I: 5 + 3·0 = 5 II: ‒3·5 + 5·0 = ‒15 3 Koeffizienten und Lösungsfälle (Seite 36) 168 1) keine Lösung; die Geraden sind parallel. I: ‒x + y = ‒4 II: ‒x + y = ‒8 2) unendlich viele Lösungen; die Geraden fallen zusammen. I: 2 x + 8 y = ‒8 II: 2 x + 8 y = ‒8 3) eine Lösung; die Geraden schneiden einander. I: x – y = 5 II: 3 x + y = 2 4) keine Lösung; die Geraden sind parallel. I: 2 x + 3 y = ‒9 II: 2 x + 3 y = 12 169 ZB Gleichung eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen a) 3 x – y = 5 2 x + y = 7 3 x – y = 9 6 x – 2 y = 10 b) x – y = 0 4 x + 3 y = 1 x – y = ‒3 4 x – 4 y = 0 c) y = 1,5 x + 2 x + y = 7 3 x – 2 y = 0 3 x – 2 y = ‒4 d) 5 y – 3 x = 7 5 x – 3 y = 7 3 x – 5 y = 2 3 x – 5 y = ‒7 e) x = y x = 2 y x = y + 1 2 x = 2 y f) x = 5 x = y x = 6 2 x = 10 g) y = ‒3 x = ‒3 y = 0 3 y = ‒9 170 A, C 4 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme (Seite 37) 171 a) 5 x + (‒2 x + 10) = 22 c) 5 a + (‒a + 4) = 16 3 x = 12 x = 4, y = 2 4 a = 12 a = 3, b = 0,5 Probe: I:, 5·4 + 2 = 22 Probe: I:, 5·3 + 2·0,5 = 16 II:,2 = ‒2·4 + 10 II:,2·0,5 = ‒3 + 4 b) 3 c + 5 (c – 3) = 21 d) 2 v + v + 4 = 7 18 c = 36 c = 2, d = 3 3 v = 3 u = 5, v = 1 Probe: I:, 3·2 + 5·3 = 21 Probe: I:, 5 + 2·1 = 7 II:,3 = 3·2 ‒ 3 II:,5 = 1 + 4 172 a) 11 – 3 y = ‒2 y + 9 d) ‒4 b – 5 = ‒7 b – 11 y = 2 x = 5, y = 2 3 b = ‒6 a = 1, b = ‒2 Probe: I: 5 = 11 – 3·2 Probe: I: 3·1 = ‒4·(‒2) – 5 II: 5 = ‒2·2 + 9 II: 3·1 = ‒7·(‒2) – 11 b) 2 d + 8 = 5 d + 17 e) ‒6 u + 31 = ‒3 u + 16 3 d = ‒9 c = 2, d = ‒3 15 = 3 u u = 5, v = 1 Probe: I: 2 = 2·(‒3) + 8 Probe: I: 1 = ‒6·5 + 31 II: 2 = 5·(‒3) + 17 II: 1 = ‒3·5 + 16 c) ‒t‒2 = 3 t + 2 f) 2 q + 2 = ‒4 q + 8 ‒4 t = 4 s = ‒1, t = ‒1 6 q = 6 q = 1, r = 4 Probe: I: ‒1 = ‒ (‒1) – 2 Probe: I: 4 = 2·1 + 2 II: ‒1 = 3·(‒1) + 2 II: ‒4 = 4·1 – 8 173 a) x = 3, y = 6 b) x = 6, y = 5 c) x = 1, y = 6 d) x = 3, y = 2 174 a) ‒8 x – 2 y = ‒28 d) ‒14 a – 4 b = ‒44 5 x + 2 y = 19 3 a + 4 b = 11 ‒3 x = ‒9 w x = 3; y = 2 ‒11 a = ‒33 w a = 3; b = 0,5 4·3 + 2 = 14; 5·3 + 2·2 = 19 7·3 + 2·0,5 = 22; 3·3 + 4·0,5 = 11 b) 2·I: 4 c + 6 d = 10 e) 2·I: 20 u + 10 v = 5 3·II: 15 c ‒ 6 d = ‒48 5·II: 35 u ‒ 10 v = 0,5 19 c = ‒38 w c = ‒2; d = 3 55 u = 5,5 w u = 0,1; v = 0,3 2·(‒2) + 3·3 = 5; 5·(‒2) – 2·3 = ‒16 10·0,1 + 5·0,3 = 2,5; 7·0,1 ‒ 2·0,3 = 0,1 c) x – y = 1 f) ‒x + 4 y = ‒2 ‒x + y = 2 x ‒ 4 y = 2 0 = 3 w L = { } 0 = 0 w L = {(x 1 y) 1 x, y * ℝ 1 x ‒ 4 y = 2} I und II parallel; keine Probe I und II äquivalent; keine Probe 175 a) {(4 1 ‒4)} b) {(3 1 1)} c) {(‒5 1 ‒4,5)} d) {(2 1 4)} e) {(3 1 ‒2)} f) {(4 1 1)} 5 Lösen von Textaufgaben (Seite 39) 176 I: x + y = 420 II: x + 2 y = 600 x = 240, y = 180 Es wurden 240 1-Euro- und 180 2-Euro-Münzen gesammelt. 177 I: x = 2y II: 6 x + 10 y = 110 x = 10, y = 5 Es werden 10 Kartons zu 6 und 5 Kartons zu 10 Stück benötigt. 178 I: x + y = 35 II: 3 x + 5 y = 145 x = 15, y = 20 Es gibt 15 Dreibett- und 20 Fünfbettzimmer. + + + + + + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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