9 Lösungen 179 I: x + y = 4 II: x – y = 1,5 x = 2,75; y = 1,25 Boot: 2,75 m/s, Fluss: 1,25 m/s. 180 I: x + 1 = y – 1 II: 2 (x – 1) = y + 1 x = 5, y = 7 Mario hat 5 Marillen gepflückt, Maria 7. 181 I: xy = 25 II: (x + 5)(y + 2) = 5 : 9 x = 10, y = 25 Die beiden ursprünglichen Zahlen sind 10 und 25. 182 I: 2 (x + y) = 118 II: (x + 21)(y – 4) = x y + 130 x = 41, y = 18 Das erste Rechteck hat 738 cm2 Flächeninhalt, das zweite 868 cm2. 183 a) I: 5 = ‒5 k + d b) I: ‒2 = ‒2 k + d II: 3 = ‒k + d II: 1 = 3 k + d k = ‒0,5; d = 2,5 k = 0,6; d = ‒0,8 y = ‒0,5 x + 2,5 y = 0,6 x – 0,8 184 a) s = 100·t1; s = 120·t2 w t2 = t1 –0,25 w 100 t1 = 120 (t1– 0,25) w t1 = 1,5 h; s = 150 km; Der Treffpunkt ist um 13:30 nach 150 km. b) 0 s (in km) t (in h) 1 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2 3 Startpunkte A = (1,5|150) 185 1) B, D 2) 9 Mädchen, 16 Burschen 186 a) Der Treffpunkt ist um 7:15 Uhr, 4,75 km von Neuberg entfernt. b) 0 s (in km) t (in h) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 S = (1,25|6,25) 187 s (in km) t (in min) 3 0 3 6 9 12 15 18 6 9 12 -3 R E = (6|18) P Der Raser wird nach 18 km (6 min) von der Polizei eingeholt. 188 Salzmenge: 300·0,18 = 54 kg Gesamtmasse: 300 + x kg 54 = 0,12·(300 + x) w x = 150 kg Merkenswertes (Seite 42) Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y * ℝ hat die Form a x + b y = c. (a, b, c * R a, b nicht beide 0) Eine solche Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen. Das sind geordnete Zahlenpaare (x 1 y), die die Gleichung erfüllen. Die graphische Darstellung der Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gerade. Es sind folgende Sonderfälle möglich: Die Gerade ist eine Parallele zur x-Achse (zB 5 y = 25) oder sie ist eine Parallele zur y-Achse (zB 4 x = 12, das ist keine Funktion!) Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen Ein lineares Gleichungssystem besteht zumindest aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen. Ein solches System hat im Allgemeinen ein einziges Zahlenpaar als Lösung (die Geraden haben dann genau einen Schnittpunkt). Es kommt aber auch vor, dass zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung haben. Unendlich viele Lösungen: Die Gleichungen sind äquivalent und die zugehörigen Geraden sind zusammenfallend. Sie haben daher unendlich viele Punkte gemeinsam. Das Gleichungssystem besteht eigentlich nur aus einer linearen Gleichung mit zwei Variablen. Keine Lösung: Die Geraden sind parallel und haben daher keinen Schnittpunkt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. L = { } Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems Für viele Aufgaben ist das graphische Lösungsverfahren nicht gut geeignet. Bei rechnerischen Lösungsverfahren möchte man aus den beiden Gleichungen mit zwei Variablen eine Gleichung mit einer Variablen erhalten. Drei Methoden sind gebräuchlich: 1) Einsetzungsverfahren, 2) Gleichsetzungsverfahren, 3) Eliminationsverfahren (Additionsverfahren) Lösungstext: „SAGE ES MIR, UND ICH VERGESSE ES; ZEIGE ES MIR, UND ICH ERINNERE MICH; LASS ES MICH TUN, UND ICH BEHALTE ES!“ (Konfuzius) F Statistik und Wahrscheinlichkeiten 1 Häufigkeiten und Diagramme (Seite 43) 189 Kontinent absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Asien 3 0,12 Afrika 5 0,2 Nordamerika 1 0,04 Südamerika 1 0,04 Europa 13 0,52 Australien/Ozeanien 2 0,08 190 1) Kontinent Fläche in Millionen Quadratkilometer Prozent Asien 44 29,3 Afrika 30,5 20,3 N-Amerika 24,5 16,3 S-Amerika 18 12 Antarktis 13,8 9,2 Europa 10,2 6,8 Australien/ Ozeanien 9 6 Gesamt 150 100 2) Asien Afrika N-Amerika S-Amerika Antarktis Europa Australien 191 0 20 Pazifik Atlantik Indische O. Rest 40 60 80 100 (verkleinert) 2 Mittelwerte (Seite 44) 192 1) arithmetisches Mittel: 1705 € Median: 1 380 € 2) Betriebsrat: Median; Betriebsleitung: arithmetisches Mittel Das mittlere Einkommen von 1 380 € im Monat ist niedrig, stützt daher das Argument der Arbeitenehmerinnen und -nehmer. Das mittlere Einkommen von 1705 € ist ist höher, stützt daher das Argument der Arbeitgeberinnen und Arbeitgeber. 3) Der Median ist der aussagekräftigste Mittelwert. Links vom arithmetischen Mittel liegen 7 Werte, rechts nur einer. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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