11 Lösungen 215 1) 40 % 2) 40 % 3) 60 % 4) 60 % 5) 0 % 6) 56 % 7) 96 % 8) 0 % 216 1) 2) 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6 0,1 3) a) 46 % b) 54 % c) 16 % 217 1) A G N G N G N G N B C D 1 4 1 4 1 4 1 4 5 70 1 20 19 20 2 25 1 10 9 10 23 25 65 70 2) D 3) 7,5 % Merkenswertes (Seite 51) Häufigkeiten und Diagramme Die absolute Häufigkeit zeigt, wie oft ein Wert in einer Stichprobe vorkommt. Die relative Häufigkeit beschreibt den Anteil dieses Werts an der Gesamtanzahl aller Werte. Sie kann durch Multiplikation mit 100 als Prozent angegeben werden. Für Kreisdiagramme und Prozentstreifen verwendet man prozentuelle Häufigkeiten. Mittelwerte Bei Werten, mit denen man sinnvoll rechnen kann (= metrische Merkmale), eignet sich das arithmetische Mittel als Mittelwert. Bei Werten, die man nicht sinnvoll berechnen kann, die aber eine Reihenfolge haben (= ordinale Merkmale), verwendet man den Median. Das gilt auch, wenn Ausreißer nicht berücksichtigt werden sollen. Bei nominalen Merkmalen lassen sich weder arithmetisches Mittel noch Median ermitteln. Vierfeldertafel Vierfeldertafeln (Kreuztabellen) zeigen den Zusammenhang zweier Merkmale. Dabei werden Merkmale nach zwei Merkmalen gleichzeitig ausgezählt. Baumdiagramme und Wahrscheinlichkeit Zur Darstellung von Kombinationen verwendet man Baumdiagramme. Je nach Anzahl der Auswahlmöglichkeiten spricht man von zwei-, drei- oder mehrstufigen Baumdiagrammen. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ergibt sich aus dem Produkt der jeweiligen Anzahlen von Möglichkeiten auf jeder Stufe. Multipliziert man die relativen Anteile entlang eines Pfades, ergibt sich der relative Anteil der jeweiligen Kombinationsmöglichkeit bezogen auf die Gesamtheit. Gibt es n verschiedene Versuchsausgänge, die alle gleich wahrscheinlich sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit P für jeden Versuchsausgang A gegeben durch P(A) = 1 _ n . Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchsausgangs des zweistufigen Zufallsversuchs verwendet man die Produktregel. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verwendet man die Summenregel. Lösungstext: ES GIBT NUR EINS, WAS AUF DAUER TEURER IST ALS BILDUNG – KEINE BILDUNG! (John F. Kennedy) G Berechnungen am Kreis 1 Die Kreiszahl π (Seite 52) 218 a) Savanna hat Recht. b) Das Rad vollführt rund 318 Umdrehungen. 2 Umfang des Kreises (Seite 52) 219 a) d = 15,7cm Ü: u ≈ 3·16 = 48 TR: u = π·15,7 = 49,323… cm ≈ 49,3 cm b) d = 6,14 m Ü: u ≈ 3·6 = 18 TR: u = π·6,14 = 19,289… m ≈ 19,3 m c) r = 4,20 km Ü: u ≈ 3·8 = 24 km TR: u = π·8,4 = 26,389… km ≈ 26,4 km 220 a) u ≈ 15 325 km c) u ≈ 449 197 km b) u ≈ 38 026 km d) u ≈ 155 597 km 221 a) d = u __ π b) r = u ____ (2·π) 222 a) r = 3,899… cm ≈ 3,9 cm b) r = 0,725… m ≈ 0,73 m 223 a) r ≈ 3 397 km b) r ≈ 1 195 km c) r ≈ 25 559 km d) r ≈ 60 268 km 224 a) C, E b) D, E c) A, C 3 Länge des Kreisbogens (Seite 53) 225 a) b = 8,848… cm ≈ 8,8 cm c) u = 64,311… cm ≈ 64,3 cm b) b = 52,311… m ≈ 52,3 m 226 a) 60° w b ≈ 99,5 cm (99,483…) b) 270° w b ≈ 447,7 cm ≈ 4,48 m c) 24 volle Umdrehungen, das entspricht 24 Kreisumfängen. u ≈ 596,9 cm, 24·u ≈ 14 326 cm ≈ 143,26 m. Der Zeiger legt in 1 Tag rund 143 m zurück. 227 a) r = b·180 ____ (α·π) b) α = b·180 ____ (π·r) 228 Lösungswort: SONNENDECK 229 1C, 2A, 3F, 4E 4 Flächeninhalt des Kreises (Seite 54) 230 a) r = 8,9 cm Ü: A ≈ 3·92 = 243 cm2 TR: A = π·8,92 = 248,845… ≈ 249 cm2 b) r = 4,81 m Ü: A ≈ 3·52 = 75 m2 TR: A = π·4,812 = 72,684… ≈ 72,7 m2 231 Umfang: Ü: u ≈ 3·20 = 60 TR: u ≈ 57,5 m (57,491…) Flächeninhalt: Ü: A ≈ 3·102 = 300 TR: A ≈ 263 m2 (263,022…) 232 a) r2 = A __ π w r = √ __ A __ π b) r ≈ 2,8 cm (2,843…), u ≈ 17,9 cm (17,865…) 233 a) u ≈ 6,3 m A = π m2 ≈ 3,14 m2 b) r = 1 ___ (2 π) m ≈ 0,16 m c) r = √ __ 1 __ π m ≈ 0,56 m 234 C 235 1C, 2A, 3E, 4F 5 Flächeninhalt des Kreissektors (Seite 54) 236 a) 5,24 cm2 b) 21,60 cm2 c) 23,7 cm2 237 1) b = A·2 ___ r w b = 16·π cm ≈ 50,3 cm 2) α = A·360 ____ (π·r2) w α = 45° oder α = b·180 ____ (π·r) w α = 45° 238 C, D, E 239 1D, 2E, 3A, 4C Merkenswertes (Seite 55) Umfang und Flächeninhalt des Kreises Für den Umfang des Kreises gilt (Kurzsprechweise): „Umfang = π mal Durchmesser“, als Formel: u = π·d bzw. u = 2 π·r. Für den Flächeninhalt des Kreises gilt kurz: „Flächeninhalt = π mal Radius hoch 2“, als Formel A = π·r² Umfang und Flächeninhalt des Kreissektors Ein Kreissektor wird von zwei Radien und dem Kreisbogen begrenzt. Hat der Kreissektor den Zentriwinkel α, dann wird die Länge des Kreisbogens b folgendermaßen berechnet: b = π·α ___ 180 ·r Den Umfang des Sektors berechnet man mit u = 2·r + b. Für den Flächeninhalt des Kreissektors gilt: A = π·α ___ 360 ·r2 bzw. A = b·r ___ 2 Lösungstext: „Störe meine Kreise nicht!“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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