12 Lösungen H Satz des Pythagoras 1 Satz des Pythagoras (Seiten 56) 240 x2 = y2 + z2 q2 = p2 – r2 b2 = d2 + m2 h2 = f2 – g2 241 a) 122 + 352 = 144 + 1 225 = 1 369 372 = 1 369 b) 242 + 702 = 576 + 4 900 = 5 476 742 = 5 476 c) 602 + 1752 = 3 600 + 30 625 = 34 225 1852 = 34 225 d) (12·x)2 + (35·x)2 = 144·x2 + 1 225·x2 = 1 369·x2 (37·x)2 = 1 369·x2 Die beiden Ergebnisse stimmen überein. 242 27, 123, 120; 76, 95, 57; 12, 35, 37; 234, 250, 88; 72, 75, 21 243 a) c2 = a2 + b2 = 10,52 + 3,62 = 123,21 w c = 11,1 cm b) b2 = c2 – a2 = 15,02 – 14,42 = 17,64 w b = 4,2 cm c) a2 = c2 – b2 = 83,12 – 34,52 = 5 715,36 w a = 75,6 cm 244 a) a = 2·A ___ b w a = 5,1 cm C B a hc c b A b) K: c ≈ 8,5 cm, hc ≈ 4,1 cm (verkleinert) c) c = 8,5 cm d) hc = 2·A ___ c hc = 4,08 cm ≈ 4,1 cm 245 a) b) c) d) e) a (in cm) 19,5 67,2 31,2 19,5 33,6 b (in cm) 46,8 28,0 23,4 26,0 25,2 c (in cm) 50,7 72,8 39,0 32,5 42,0 A (in cm2) 456,3 940,8 365,04 253,5 423,36 hc (in cm) 18,0 25,85 18,72 15,6 20,16 Lösungstext: DIE ZAUBERFLOETE 246 a) A = (1 1 2), B = (5 1 7) b) Die Differenz ihrer x-Koordinaten beträgt 4 cm. Die Differenz ihrer y-Koordinaten beträgt 5 cm. __ AB 2 = 42 + 52 w __ AB = √ __ 41 cm ≈ 6,4 cm c) __ AB ≈ 6,4 cm 247 a) 0 y 2 4 1 3 5 x 1 2 3 4 5 6 7 A B C b) __ AB: Differenz der x-Koordinaten: 7cm Differenz der y-Koordinaten: –1 cm __ AB2 = 72 + (–1)2 w __ AB ≈ 7,07 cm BC : Differenz der x-Koordinaten: 5 cm Differenz der y-Koordinaten: 5 cm __ BC2 = 52 + 52 w __ BC ≈ 7,07 cm __ AC: Differenz der x-Koordinaten: 2 cm Differenz der y-Koordinaten: 4 cm __ AC2 = 22 + 42 w __ AC ≈ 4,47 cm c) Messergebnisse vergleichen! d) 35 cm2 – (4 + 3,5 + 12,5) cm2 = 15 cm2 2 Beweise für den Satz des Pythagoras (Seite 58) 248 Abbildung 1: Zwei Quadrate mit den Seitenlängen a und b liegen aneinander. Abbildung 2: Zwei rechtwinklige Dreiecke werden abgesteckt. Beide rechtwinkligen Dreiecke sind kongruent und haben die Seitenlängen a und b. Abbildung 3: Diese beiden rechtwinkligen Dreiecke werden umgelegt und bilden ein neues Quadrat, dessen Seitenlänge die Hypotenuse der rechtwinkligen Dreiecke ist. Durch das Umlegen sieht man, dass der Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge a und des Quadrats mit der Seitenlänge b gleich dem Flächeninhalt des neuen Quadrats mit der Seitenlänge der Hypotenuse ist. 249 Man kann „sehen“: Die Quadrate über den Katheten a und b bestehen aus zwei „Geodreiecken“, das Quadrat über der Hypotenuse c aus vier: 2 Geodreiecke + 2 Geodreiecke = 4 Geodreiecke w a2 + b2 = c2 250 A1 = b·b = b2, A 2 = a·a = a2 Das freibleibende Viereck im unteren Rahmen ist ebenfalls ein Quadrat, weil es vier gleich lange Seiten (c) hat und die Winkel 90° groß sind. Sie ergänzen die beiden komplementären Winkel α und β des rechtwinkligen Dreiecks auf einen gestreckten Winkel. A3 = c·c = c2 Daraus folgt unmittelbar der Satz des Pythagoras, weil die nach dem Auflegen der jeweils vier kongruenten Dreiecke freibleibenden Flächen im oberen Rahmen insgesamt genau so groß sein müssen wie die freibleibende Fläche im unteren Rahmen: A1 + A2 = A3 w a2 + b2 = c2 251 1)–3) Vergleiche mit der Figur im Arbeitsheft alle Winkel gleich groß, alle Dreiecke haben die Seite c. ZB 4) A1 = (a – b) 2 alle Winkel 90°; jede Seite: a–b 5) A1 + 4·A2 = A3 6) (a – b)2 + 4· a b __ 2 = c2 w a2 – 2 a b + b2 + 2 a b = c2 w a2 + b2 = c2 3 Berechnungen in ebenen Figuren (Seite 59) 252 B 253 1) w 0,3 5 2) w ≈ 4,99 m 3) ca. 6 % 254 Das Zelt ist 2,66 m breit. 255 a) Die Höhe des Giebeldreiecks teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die schrägen Dachkanten bilden jeweils die Hypotenuse eines solchen Dreiecks. Die beiden Katheten eines dieser rechtwinkligen Dreiecke entsprechen der Höhe bzw. der halben Basis des Giebeldreiecks. Die gesuchten Längen kann man daher mit dem Satz des Pythagoras berechnen. b) Die schrägen Dachkanten sind jeweils 22,1 m lang. 256 1) 2) (verkleinert) 0 y 2 4 1 3 6 5 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 3) A = 44 cm2 4) u = 20 + 2 √ _ 8 + 4 √ __ 13 w u ≈ 40,1 cm (40,07…) 257 1D, 2A, 3B, 4C 258 1) 612 m 2) ca. 7,1 % 3) ca. 125 km 40,80 m 8,50 m s s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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