13 Lösungen 259 a) 6,40 m = 640 cm w 640 cm : 200 = 3,2 cm b) Zeichnung: Ganzes Spielfeld: d1 ≈ 7,2 cm; Spielfeldhälfte: d2 ≈ 4,5 cm Wirklichkeit: d1 ≈ 7,2 cm·200 = 1 440 cm = 14,4 m; d2 ≈ 4,5 cm·200 = 900 cm = 9,0 m c) d1 2 = 6,42 + 12,82 = 204,8 w d 1 ≈ 14,31 m; d2 2 = 6,42 + 6,42 = 81,92 w d 2 ≈ 9,05 m (verkleinert) d1 d2 a b 260 C, Begründung: Die Seiten a und b des Rechtecks und die Diagonale d bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit d als Hypotenuse. Aus d2 = a2 + b2 folgt a2 = d2 – b2 bzw. a = √ _____ d2 – b2 . 261 a) a = u _ 2 – b, d = √ __________ 2 b2 – b u + u2 __ 4 , A = b ( u _ 2 – b ) b) b = A __ a , u = 2 ( a + A __ a ), d = √ _____ a2 + A2 __ a2 262 a) d = √ _ 2 a, u = 4 a, A = a2 c) a = u _ 4 , d = √ _ 2 u ___ 4 , A = u2 __ 16 b) a = d __ √ _ 2 , u = 4 d __ √ _ 2 , A = d2 __ 2 d) a = √ __ A , d = √ ___ 2 A , u = 4 √ __ A 263 ( c _ 2 ) 2= a2 – h c 2 w ( c _ 2 ) 2 = 56,25 w c _ 2 = 7,5 w c = 15,0 cm A = c·h c ___ 2 w A = 135,0 cm2; A = a·h a ___ 2 w ha = A·2 ___ a w ha ≈ 13,8 cm. 264 Die Balkenlängen sind von oben nach unten angegeben. a) 4,24 m (4,242…), 2,83 m (2,828…), 9,90 m (9,899…) b) 1,73 m (1,732…), 2,00 m, 2,60 m (2,598…), 5,00 m 265 a, c: he= √ ______ a 2 – ( c _ 2 ) 2 a, hc: c = 2·√ ______ a 2 – h c 2 c, hc: a = √ _______ ( c _ 2 ) 2 + h c 2 266 a) h = 6,581… cm ≈ 6,6 cm, A = 25,010… ≈ 25,0 cm2 b) a = 2·h ___ √ _ 3 w a = 9,699… cm ≈ 9,7cm, A = 40,737… ≈ 40,7 cm2 c) a2 = 4·A ___ √ _ 3 w a = 8,098…. ≈ 8,1 cm; h = 7,013… ≈ 7,0 cm 267 h ≈ 10,4 cm (10,3923…) 268 Die Höhe h teilt das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Man kann daher den Satz des Pythagoras anwenden h2 = a2 – ( a _ 2 ) 2 und damit h berechnen. In jedem Dreieck gilt: „Flächeninhalt = Seite mal zugehörige Höhe durch 2“. Man erhält daher den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a und der Höhe h durch A = a·h ___ 2 . 269 Geeignet ist Rechengang D. Nicht geeignet sind Rechengang A, weil man den Flächeninhalt des Drachens im Allgemeinen nicht mit A = a·b berechnen kann. Rechengang B, weil die angegebenen Rechenwege für die Teilstrecken x und y falsch sind, und Rechengang C, weil das Dreieck, das von den beiden Seiten a und b und der Diagonale e des Drachenvierecks gebildet wird, im Allgemeinen nicht rechtwinklig ist. 270 1) 294,40 € 2) 18,25 m 271 a) a2 = ( e _ 2 ) 2 + ( f _ 2 ) 2 w ( f _ 2 ) 2 = a2 – ( e _ 2 ) 2 w f = 12,0 cm; b) A = e·f __ 2 w A = 172,8 cm2 c) A = a·ha w ha = h = A __ a w h = 11,076… ≈ 11,1 cm. d) Der Inkreisradius ist halb so groß wie die Höhe der Raute. Daraus folgt ρ = 5,538… cm ≈ 5,5 cm. 272 A = 1 620 cm2 x2 = a2 – h a 2 w x = 27 cm. e2 = h a 2 + (a + x)2 w e = 80,498… cm ≈ 80,5 cm f2 = h a 2 + (a – x)2 w f = 40,249… cm ≈ 40,2 cm Kontrolle: A = e·f __ 2 w A = 1 620 cm2 273 a) m = 7,2 cm (a + m)2 = e2 – h a 2 w a + m = 28,0 cm w a = 20,8 cm b) f2 = h a 2 + (a – m)2 w f = 16,646… cm ≈ 16,6 cm c) A = a·ha w A = 199,68 cm2 d) hb = A : b w hb = 16,64 cm ≈ 16,6 cm. 274 1) x = √ _____ n 2 – g 2 ; s = √ _________ (m + x) 2 + g 2 ; t = √ _________ (m – x) 2 + g 2 2) t ≈ 4,4 dm 275 a) Ich berechne im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten h, b und x = a – c ___ 2 die Länge der Seite b (= d): b = √ _____ h2 + x2 Die Diagonale e (= f) ist Hypotenuse des Dreiecks mit den Katheten h und (a – x) w e = √ ________ h2 + (a – x)2 Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt: A = (a + c)·h ______ 2 b) x = 2,4 cm, b = d = 4,0 cm, e = f = 13,0 cm, A = 40,32 cm2 276 1) b ≈ 3,01 cm, d ≈ 3,61 cm, f ≈ 3,61 cm 2) Die Süßigkeit darf maximal 2,9 cm breit sein. 277 Rafael hat Recht. Die Spiegelfläche ist doppelt so hoch wie ein solches gleichseitiges Dreieck, ihr Flächeninhalt beträgt das Sechsfache des Dreiecksflächeninhalts. 278 1) A ≈ 3 016 cm2 2) Abfall: ca. 17,1 % 4 Katheten- und Höhensatz (Seite 64) 279 a2 = c·p w c = a2 : p w c = 97,5 cm. Aus b2 = c2 – a2 folgt b = 78,0 cm. 5 Berechnungen in Körpern (Seite 65) 280 a) D F E B A C b) D E F B A G C J K L H I 281 a) d1 = 15,3 cm, d2 = 22,2 cm, d3 = 24,964… cm ≈ 25,0 cm; d = 25,982… cm ≈ 26,0 cm b) V = 7,2·13,5·21 w V = 2 041,2 cm3 c) O = 2·(7,2·13,2 + 7,2·21 + 13,5·21) w O = 1 063,8 cm2 282 A: Kasten drehen 60 × 100 × 196 w 60 < 80; 100 < 150; 196 < 200 C: Raumdiagonale des Lifts: 292 cm und 292 > 250 283 Die Flächendiagonale d1 ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b. Es gilt daher d1 2 = a2 + b2 und d 1 = √ _____ a2 + b2 . In gleicher Weise gilt d2 2 = a2 + c2 und d 2 = √ _____ a2 + c2 . Ebenso gilt d3 2 = b2 + c2 und d 3 = √ _____ b2 + c2 . Die Raumdiagonale d ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten d1 und c. Es gilt daher d2 = d 1 2 + c2 = a2 + b2 + c2 und d =√ ________ a2 + b2 + c2 . 284 a) V = a·a·a = a3 w a = 3 √ __ V w a = 8,4 cm. b) d1 = 11,879… cm ≈ 11,9 cm; d = 14,549… cm ≈ 14,5 cm c) O = a2·6 w O = 423,36 cm2 285 a) h ≈ 102 cm b) h ≈ 62 cm c) h ≈ 50 cm d) h ≈ 30 cm a x x h e c h b d A B C D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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