14 Lösungen 286 a) G = 39,079 cm2 ≈ 39,1 cm2 Die Höhe h des Prismas entspricht der Länge der Stahlschiene w V = 3 360,828 cm3 ≈ 3 361 cm3 b) Die Mantelfläche M besteht aus drei Rechtecken mit den Seitenlängen 9,5 cm und 86,0 cm. M = 2 451 cm2 w O = 2 529,158 cm2 ≈ 2 529 cm2 c) V = 3 360,828… cm3 = 3,360… dm3 = 0,003 36… m3 m = 0,003 36…·7 800 = 26,214… w m ≈ 26,2 kg. 287 Da der Eiswürfel eine Seitenlänge von ca. 1,5 m hat, passt er nicht durch die Tür der Gondel. 288 a) B A C D S b) D E S F B A C 289 a) G = a2 w G = 23,04 cm2 w V = 34,56 cm3 b) h1 2 = h2 + ( a _ 2 ) 2 w h 1 = 5,1 cm. c) Der Mantel besteht aus vier gleichschenkligen Dreiecken. A = a·h 1 ___ 2 w A = 12,24 cm2 w M = 48,96 cm2 w O = 72,0 cm2 d) s2 = h 1 2 + ( a _ 2 ) 2 w s = 5,636… cm ≈ 5,6 cm. 290 a) 0,985 m2·560 = 552 € b) 153,09 kg, die Skulptur kann transportiert werden! 291 a) ( a _ 2 ) 2 = s2 – h 1 2 w a _ 2 = 9,9 m w a = 19,8 m w M = 522,72 m2. Die Dachfläche ist rund 523 m2 groß. b) h2 = h 1 2 – ( a _ 2 ) 2 w h = 8,730… m ≈ 8,7 m w V = 1 140,964 m3 ≈ 1 141 m3 292 a) ca. 116 cm Merkenswertes (Seite 68) Für die Seitenlängen jedes rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt der Satz des Pythagoras: a² + b² = c². Außerdem gilt der Kathetensatz: a² = c·q und b² = c·p Der Höhensatz lautet: h² = p·q. Die Strecken p und q nennt man die Hypotenusenabschnitte. Im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a gilt für die Höhe h = √ _ 3 · a _ 2 und für den Flächeninhalt A = √ _ 3 · a 3 __ 4 . Im Rechteck gilt folgender Zusammenhang zwischen den Längen der Seiten a und b und der Diagonale d: d 2 = a 2 + b 2 bzw. d = √ _____ a 2 + b 2.Im Quadrat gilt: d2 = 2·a 2 bzw. d = √ _ 2 ·a Im gleichschenkligen Dreieck, im allgemeinen Dreieck, im Parallelogramm und im Trapez erhält man durch Einzeichnen von Diagonalen rechtwinklige Teildreiecke. Kennt man zwei ihrer Seitenlängen, kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die dritte Seitenlänge und somit alle gesuchten Strecken längen des Dreiecks bzw. Vierecks berechnen. In der Raute und beim Drachenviereck bilden die normal aufeinander stehenden Diagonalen rechtwinklige Teildreiecke, die man zum Berechnen gesuchter Seiten- und Diagonalenlängen verwenden kann. Lösungstext: RECHTWINKLIGE DREIECKE Formelsammlung räumliche Geometrie Quader: Flächendiagonalen: d1 = √ _____ a2 + b2 , d 2 = √ _____ a2 + c2 , d 3 = √ _____ b2 + c2 Raumdiagonale: d = √ ________ a2 + b2 + c2 Würfel: Flächendiagonale: d1 = d 2 = d 3 = √ _ 2 ·a Raumdiagonale: d = √ _ 3 ·a Prisma: O = 2·G + M, V = G·h Pyramide: O = G + M, V = 1 _ 3 ·G·h Dichte von Körpern: ρ = m __ V Lösungstext: SCHAU GENAU! I Zylinder, Kegel und Kugel 1 Zylinder (Seite 69) 293 a) h = 25 cm, r = 10 cm w O = 2 π·102 + 2 π·10·25 = 2 199,114… cm2 ≈ 2 199 cm2 b) V = π·102·25 = 7 853,981… cm3 = 7,853… dm3 ≈ 0,00785 m3 c) m = V·ρ = 0,00785…·450 = 3,534… kg ≈ 3,5 kg 294 r = 9 cm w V = 8 906,415… cm3 = 8,906… dm3 = 8,906… Liter. Das Glasgefäß fasst rund 8,9 Liter. 295 a) r = 0,4 m, Höhe des Wasserzylinders h = 0,7 m V = 0,351 85… m3 = 351,85… dm3 = 351,85… Liter ≈ 3,52 hLiter b) Bestrichene Fläche: je zweimal Grundfläche und Mantelfläche w A = 8,042… m2 ≈ 8,0 m2 296 h = V ____ (π·r2) w h = 2,099… cm ≈ 2,1 cm 297 r2 = V ____ (π·h) w r = √ ____ V ____ (π·h) w r = 3,498… cm ≈ 3,5 cm 298 O ≈ 7,6 kg 299 1 347 m3 300 3 _ 4 Liter = 0,75 Liter = 0,75 dm3 = 750 cm3 d = 12,4 cm w r = 6,2 cm w h = 6,210… cm ≈ 6,2 cm 301 a) 1) M1 = 2 π·r1·h1 = 2 π·r·2·h = 4 π·r·h = 2·M Die Mantelfläche wird doppelt so groß. 2) V1 = π·r1 2·h 1 = π·r2·2·h = 2·π·r2·h = 2·V Das Volumen wird doppelt so groß. b) 1) M2 = π·2·r2·h2 = 2·2·π·r·h = 4·π·r·h = 2·M Die Mantelfläche wird doppelt so groß. 2) V1 = π·r2 2·h 2 = (2·r) 2·π·h = 4·π·r2·h = 4·V Das Volumen wird viermal so groß. c) 1) M2 = 2·π·r3·h3 = 2·2·r·π·2·h = 8·π·r·h = 4·M Die Mantelfläche wird viermal so groß. 2) V1 = π·r3 2·h 3 = π·(2·r) 2·2·h = 8·r2·π·h = 8·V Das Volumen wird achtmal so groß. 302 1) ca. 294 cm2 2) ca. 0,88 g/cm3 2 Kegel (Seiten 70, 71) 303 1) r = 6,5 cm w V = 690,207… cm3 ≈ 690 cm3 2) s = 16,9 cm w M = 345,103… cm2 ≈ 345 cm2 3) O = G + M = 477,836… cm2 ≈ 478 cm2 304 1) O = π·10·10,52 + π·10,5·27,3 = 1 246,898… cm2 ≈ 1 247 cm2 2) Zum Berechnen des Rauminhalts benötigst du noch die Höhe des Kegels. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: h = √ ____ s2 – r2 = √ ________ 27,32 – 10,52 = 25,2 cm w V = 2 909,428… cm3 ≈ 2 909 cm3 305 a) r = 6,2 cm, hZ = 6,4 cm, hK = 13,8 cm VZ = 772,882… cm3, V K = 555,508… cm3 w V =1 328, 391… cm3 = 1,328… dm3 ≈ 1,33 Liter Das Gefäß fasst rund 1,33 Liter. b) Die zu lackierende Fläche A ist so groß wie die Mantelfläche des Zylinders und die Mantelfläche des Kegels zusammengenommen: s = 15,128…cm MZ = 249,316… cm2, MK = 294,676… cm2 w A = 543,993… ≈ 544 cm2 Es sind rund 544 cm2 zu lackieren. 306 V = π·r2·h ____ 3 w h = V·3 ____ (π·r2) w h = 3,819… m ≈ 3,82 m 307 Da das Produkt π·h etwas mehr als 3 ergibt und V = π·r2·h ____ 3 den Zahlenwert 1 haben soll, muss r2 etwas kleiner als 1 sein. Daher ist auch r kleiner als 1 m und der Durchmesser knapp weniger als 2 m. V = π·r2·h ____ 3 w r2 = V·3 ____ (π·h) w r2 = 0,954… w r = 0,977 2… m w d ≈ 1,95 m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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