15 Lösungen 308 1. Platz (5 kg): ≈ 19 cm 2. Platz (4 kg): ≈ 15 cm 3. Platz (3 kg): ≈ 11 cm 309 h = 2 cm 310 1B (cm3), 2A (mm3), 3E (dm3), 4B (m3) 3 Kugel (Seite 72) 311 r = 4,2 cm w O = 4 π·4,22 = 221,67 cm3 ≈ 222 cm3, V = 4 π __ 3 ·4,23 = 310,339… cm3 ≈ 310 cm3 = 0,31 dm3 = 0,000 31 m3 w m = V·ρ ≈ 0,124 kg ≈ 12,4 dag 312 1) NEIN r1 = 5 cm w r·2 = 10 cm w O1 ≈ 314 cm2, O2 ≈ 1 257 cm2; V1 ≈ 524 cm3, V 2 ≈ 4 189 cm3 Marvins Behauptung ist falsch. 2) O2 = 4·π·r2 2 = 4·π·(2·r 1) 2 = 16·π·r 1 2 = 4·O1 Der Oberflächeninhalt wird viermal so groß. V2 = 32·π ___ 3 ·r 1 3 = 8·V1 Das Volumen wird achtmal so groß. 313 a) O ≈ 12,6 m2 V ≈ 4,2 m3 b) r ≈ 28,2 cm V ≈ 94,0 dm3 c) r ≈ 62,0 cm O ≈ 4,8 m2 314 a) O ≈ 2 827 cm2 b) 2 686 Spiegel 315 um ca. 841 % 316 Volumen = Masse durch Dichte = 4 kg7 870 kg/m3 w V = 0,000 508… m3; r3 = 3 V __ 4 π w r = 3 √ __ 3 V __ 4 π w r = 0,049 50… m ≈ 4,95 cm Die 4 kg-Eisenkugel hat einen Durchmesser von rund 9,9 cm. 317 Das Volumen verachtfacht sich, die Oberfläche vervierfacht sich. 318 Für das Volumen der Flaschen muss man jeweils das Volumen von Zylinder und Halbkugel addieren. r1 = 4 cm h1 = 8 cm w V1 = VZ + VHK = π·42·8 + 1 _ 2 · 4 π __ 3 ·43 = 536,165… cm3 ≈ 536 cm3 r2 = 2 cm h2 = 20 cm w V2 = VZ + VHK = π·22·20 + 1 _ 2 · 4 π __ 3 ·23 = 268,082… cm3 ≈ 268 cm3 Die Flasche 1 fasst mehr Inhalt. Zum Ermitteln des Materialverbrauchs benötigt man jeweils die Grundfläche und die Mantelfläche des Zylinders sowie die halbe Oberfläche der Kugel. A = GZ + MZ + 1 _ 2 ·OK = π·r2 + π·d·h + 1 _ 2 ·4 π·r2 A1 = π·42 + π·8·8 + 1 _ 2 ·4 π·42 = 351,858… cm2 ≈ 352 cm2 A2 = π·22 + π·4·20 + 1 _ 2 ·4 π·22 = 289,026… cm2 ≈ 289 cm2 Die Flasche 1 benötigt mehr Material. 319 C, A, B, D Merkenswertes (Seite 74) Zylinder Für den Zylinder gilt wie für das Prisma „Volumen = Grundfläche mal Höhe“ (V = G·h). Da die Grundfläche des Zylinders ein Kreis ist, folgt für sein Volumen die Formel V = π·r²·h. Für die Oberfläche des Zylinders gilt: Oberfläche = 2 mal Grundfläche plus Mantel (O = 2·G + M) Denkt man sich den Mantel des Zylinders in der Ebene ausgebreitet, so entsteht ein Rechteck, dessen eine Seite genau so lang wie der Umfang der Grundfläche (uG) und dessen andere Seite genau so lang wie die Höhe (h) des Zylinders ist. Es gilt: M = uG·h Da uG = 2·π·r ist, folgt für M = 2·π·r·h und für O = 2·π·r² + 2·π·r·h. Kegel Das Volumen des Kegels wird wie das der Pyramide mit der Formel V = G·h ___ 3 berechnet („Volumen = Grundfläche mal Höhe durch 3“). Da die Grundfläche des Kegels ein Kreis ist folgt V = π·h ___ 3 ·r2. Die Oberfläche des Kegels setzt sich aus der Grundfläche und dem Mantel zusammen. Der ausgebreitete Mantel des Kegels stellt einen Kreissektor dar, dessen Radius der Länge der Mantellinie s und dessen Bogenlänge dem Umfang uG der Grundfläche entspricht. Da der Flächeninhalt eines Kreissektors mit A = b·r ___ 2 berechnet werden kann, ergibt sich für den Mantel des Kegels M = 2·π·r·s _____ 2 = π·r·s und für die Oberfläche O = π·r² + π·r·s. Kugel Das Volumen der Kugel wird mit V = 4 π r3 ___ 3 und ihre Oberfläche mit O = 4·π·r² berechnet. Lösungswort: Fussballnationalmannschaft Lösungen Übungen für die Oberstufe Zahlen und Maße (Seite 75) 320 richtig falsch Richtigstellung 1) √ ______ 169 – 25 = 13 – 5 = 8 √ ______ 169 – 25 = √ ___ 144 = 12 2) √ _______ 144 + 256 = √ ___ 400 = 20 3) √ ___ 256 = √ ____ 16·16 = 4·4 = 16 4) √ ______ 9 000·a 2 = 30·a √ ______ 9 000·a 2 = √ ________ 900·10·a 2 = 30·a·√ __ 10 5) √ __ 54 = √ ___ 9·6 = 3·6 = 18 √ __ 54 = √ ___ 9·6 = 3·√ _ 6 6) √ __ 98 = √ ____ 49·2 = 7·√ _ 2 321 Zahl ℕ ℤ ℚ ℝ I 1) 3,5·102 2) (√ _ 2 )3 3) 0 4) √ _ 2 ·√ _ 4 5) ‒ 5 _ 3 6) √ _ 3 ·√ __ 27 7) 0, ___ 134 8) 3 √ __ 10 322 Längeneinheit Erde–Himmelskörper Entfernung Entfernung im Modell in Lj in km in mm in km Erde-Proxima centauri 4,2 3,99·10 13 km 2,66·105 mm 266 km Erde-Polarstern 430 4,085·1015 km 2,72·1010 mm 2,72·107 km Erde-Andromeda-Nebel 2,5·106 2,375·1019 km 1,6·1016 mm 1,6·1013 km 323 1) 91 2) 133,33 3) 480 324 Beginn 2025: Guthabenstand: 2 509,38 € Zinsen: 9,38 € Beginn 2029: Guthabenstand: 5 084,95 € Zinsen: 84,95 € Variablen und Funktionen (Seite 76) 325 a) 7 (a – b) ______ 24 (a + b) a ≠ ± b b) 1 – a b ____ a b a, b ≠ 0; a ≠ ± b 326 x = 4; Probe: 35 __ 24 ; x ≠ 0, 2, ‒2 327 1) h1(t) = 50 – 5 t, h2(t) = 40 – 3 t 2) Die Kerzen sind nach 5 Stunden gleich lang. 328 I: x + y = 8 490 II: 18 x + 12 y = 121 434 x = 3 259, y = 5 231 3 259 Sitzplatz-, 5 231 Stehplatzkarten 329 ‒20 = ‒20 25 – 45 = 16 – 36 25 – 45 + ( 9 _ 2 ) 2 = 16 – 36 + ( 9 _ 2 ) 2 ( 5 – 9 _ 2 ) 2 = ( 4 – 9 _ 2 ) 2 5 – 9 _ 2 = 4 – 9 _ 2 5 = 4 Es wird von einer wahren Aussage gestartet. Die Zahl ‒20 wird durch zwei unterschiedliche Subtraktionen dargestellt. Zu beiden Seiten wird ( 9 __ 2 ) 2 addiert (korrekte Äquivalenzumformung). Korrekte Anwendung der zweiten Binomischen Formel. Fehler: Hier wird die Wurzel gezogen, was in diesem Fall keine Äquivalenzumformung darstellt: Linke Seite wird durch 0,5 dividiert, rechte Seite durch ‒0,5. Falsche Aussage 330 a) x = 3 _ 2 Probe: 4 = 4 b) x = 2Probe: 2 _ 3 = 2 _ 3 331 z = u + x _ y x = y·(z – u) y = x ___ z – u 332 a) (2 x – y) (16 x – 1) b) 5 a (a – 2 b) c) 3 (25 s2 – 4) _______ 3 s (5 s – 2) = (5 s – 2) (5 s + 2) _________ s (5 s2 – 2 s) = 5 s + 2 ____ s 333 1) < 0 2) < 0 3) < 0 4) > 0 5) > 0 6) < 0 7) < 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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