Blümel | Müller | Vilsecker Geometrische Bilder Analysieren Konstruieren Interpretieren
Geometrische Bilder, Schulbuch + E-Book Schulbuchnummer: 225289 Geometrische-Bilder Schulbuch E-Book Solo Schulbuchnummer: 225291 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 21. März 2025, Geschäftszahl 2024-0.744.958, gemäß 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Mittelschulen und an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe für die 4. Klasse im Unterrichtsgegenstand Geometrisches Zeichnen (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffen- heit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Bildquellen: S. 3.1: iFelino / iStockphoto.com; S. 3.2: Alexandru Magurean / iStockphoto.com; S. 3.3: Shahaira / iStockphoto.com; S. 3.4: jomare / Fotolia; S. 4.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 4.2: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 4.3: Hübner ZT GMBH, Wien; S. 4.4: Hübner ZT GMBH, Wien; S. 4.5: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 5.1: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 5.2: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 5.3: Jan Wörler, Würzburg; S. 5.4: iofoto / Fotolia; S. 5.5: Ryan McVay / Digital Vision / Thinkstock; S. 5.6: Harald Waiss / öbv, Wien; S. 5.7: Harald Waiss / öbv, Wien; S. 5.8: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 5.9: Michael Valdez / iStockphoto.com; S. 5.10: Klaus Scheiber, Graz / AG Didaktische Innovation für Geometrie; S. 6.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 6.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 6.3: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 6.4: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 6.5: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 7.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 7.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 7.3: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 7.4: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 7.5: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 7.6: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 7.7: Arnold und Domnick, Leipzig; S. 7.8: David Crockett / iStockphoto.com; S. 7.9: Arnold und Domnick, Leipzig; S. 8.1: Ryan Jones / iStockphoto.com; S. 9.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 9.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 9.3: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 9.4: alexei_tm / Shutterstock; S. 9.5: Daniel Etzold / Fotolia; S. 10.1: Arnold und Domnick, Leipzig; S. 10.2: Karin Vilsecker, Wals / öbv, Wien; S. 10.3: Arnold und Domnick, Leipzig; S. 10.4: Arnold und Domnick, Leipzig; S. 10.5: Arnold und Domnick, Leipzig; S. 11.1: industrieblick / Fotolia; S. 12.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 12.2: moonrun / Fotolia; S. 13.1: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 14.1: burak pekakcan / iStockphoto.com; S. 14.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 14.3: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 15.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 16.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 16.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 17.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 18.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 19.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 19.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 20.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 21.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 21.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 21.3: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 21.4: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 21.5: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 22.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 22.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 23.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 23.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 23.3: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 23.4: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 23.5: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 24.1: Karin Vilsecker, Wals / öbv, Wien; S. 24.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 26.1: AdShooter / iStockphoto.com; S. 26.2: © Wiener Linien; S. 27.1: Karin Vilsecker, Wals / öbv, Wien; S. 28.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 28.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 29.1: Franz Wittmann KG, Etsdorf/Kamp; S. 30.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 32.1: Jaap2 / iStockphoto.com; S. 33.1: Science Source / PhotoResearchers / picturedesk.com; S. 33.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 34.1: öbv, Wien; S. 34.2: electriceye / Fotolia; S. 34.3: öbv, Wien; S. 34.4: dancingwithvectors / Getty Images - iStockphoto; S. 34.5: Franz Pfluegl / Fotolia; S. 36.1 bis 3: stöckler gruber architekten, Lochau; S. 37.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 38.1: zveiger alexandre / iStockphoto; S. 38.2: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 41.1: öbv, Wien; S. 41.2: öbv, Wien; S. 42.1: Rafael Ramirez Lee / iStockphoto.com; S. 43.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 44.1: Lukasz Panek / iStockphoto.com; S. 44.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 45.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 46.1: Karim Hesham / iStockphoto.com; S. 47.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 47.2: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 48.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 48.2: Levent Konuk / iStockphoto.com; S. 48.3: Trout55 / iStockphoto.com; S. 50.1: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 51.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 51.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 51.3: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. 51.4: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 52.1: Free Agents Limited / Getty Images; S. 52.2: FrankRitchie / iStockphoto.com; S. 53.1: bpk / Staatliche Kunstsammlungen Dresden / Jürgen Karpinski; S. 53.2: Manfred Blümel, Eichgraben / öbv, Wien; S. 54.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; 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S. 62.2: Mac99 / iStockphoto.com; S. Ausschneidebogen I.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. Ausschneidebogen III.1: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien; S. Ausschneidebogen III.2: Thomas Müller, Krems / öbv, Wien 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Umschlag-Illustration: jutka5/Getty Images Redaktion: Sonja Stopper, Wien Herstellung: Harald Waiss, Wien Umschlaggestaltung: Arnold & Domnick/Nadine Neubauer, Leipzig Layout: Arnold & Domnick/Nadine Neubauer, Leipzig Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien Satz: Arnold & Domnick, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12358-9 (Geometrische-Bilder SB + E-Book) ISBN 978-3-209-12917-8 (Geometrische-Bilder SB E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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2 Wie arbeite ich mit diesem Buch? Liebe Schülerin, lieber Schüler, auf dieser Seite zeigen wir dir den Aufbau des Buches. Die Aufgaben auf einen Blick Das sind einfachere Aufgaben, die dir den Einstieg in ein Thema erleichtern. Wenn du diese Aufgaben lösen kannst, hast du das Wesentliche verstanden. Das sind Aufgaben, die schwieriger sind oder mehr Zeit in Anspruch nehmen. Diese Aufgaben sollen zu zweit bearbeitet werden. Diese Aufgaben sind für eine Gruppenarbeit geeignet. Digitales Zusatzmaterial Mit dem angegebenen Code hast du Zugang zu weiteren Materialien auf www.oebv.at. Erklärvideo Wesentliche Vorgänge werden dir schrittweise gezeigt und erklärt. CAD-konkret Schritt-für-Schritt-Anleitungen für das Modellieren mit SketchUp, GAM und Tinkercad Quiz Am Ende eines Kapitels kannst du das Gelernte nochmals wiederholen. Dynamisches Modell Modelle, die du bewegen und verändern kannst, unterstützen deine Vorstellung. LearningApp Am Ende eines Kapitels kannst du das Gelernte nochmals wiederholen. Zeichenaufgabe Zusätzliche Aufgaben zum Konstruieren Arbeitsblatt Übungen, die zum Thema passen 8 9 Geometrische Objekte 2 2.2 Vielecke, Körper, Modellarten Die Oberfläche vieler Körper besteht aus ebenen Figuren. Meist werden sie nach der Anzahl ihrer Eckpunkte benannt, zB Dreieck, Viereck, Sechseck. Allgemein werden sie als Vielecke bezeichnet. Über regelmäßige Vielecke erfährst du auf den Seiten 12 und 13 mehr. 12 a) Ordnet die Begriffe den Bildern zu, indem ihr sie durch Linien verbindet. Unterstreicht Vielecke rot und räumliche Objekte blau. Quader Pyramide Quadrat Dreieck Sechseck dreiseitiges Prisma b) Erklärt die Unterschiede zwischen einem Quadrat und einem Quader. 13 Die Oberfläche vieler Körper besteht aus Vielecken. Meist sind nicht alle sichtbar. Trage jeweils die Anzahl aller in Wirklichkeit vorkommenden Vielecke ein. TIPP Beachte, dass die Bilder der Vielecke meist verzerrt sind. quadratischer Pyramidenstumpf regelmäßiges sechsseitiges Prisma Würfel mit abgeschnittenen Ecken Dreiecke Rechtecke Trapeze Quadrate Parallelogramme Quadrate Trapeze regelm. Sechsecke rechtw. Dreiecke Deltoide Fünfecke gleichseit. Dreiecke 14 Eine prismenförmige Schachtel kann um ihre Kanten gekippt werden. Diskutiert und kreuzt an: richtig falsch Die Kanten eines Prismas sind Strecken, an denen zwei Flächen des Körpers zusammenhängen. Die Kanten eines Prismas sind Strecken, die zwei Eckpunkte verbinden. Die Kanten eines Prismas sind Strecken, die immer rechte Winkel bilden. Diese dekorative Schachtel hat die Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas. Anregung Bringt Schachteln mit besonderen geometrischen Formen mit. Überlegt, um welche Körper es sich handelt. Untersucht, aus welchen Formen die Oberflächen bestehen. Hinweis Zwei Kanten eines Körpers können einen Schnittpunkt haben, parallel oder windschief sein. Die Lage windschiefer Kanten ist besser erkennbar, wenn die hintere Linie beim Zeichnen ein wenig unterbrochen wird. schneidende Kanten parallele Kanten windschiefe Kanten Aus magnetischen Elementen lassen sich Modelle bauen: Elemente zum Bauen eines Würfels Kantenmodell eines Würfels Flächenmodell eines Würfels Ein Körper kann auf verschiedene Weise gebaut sein: Bei einem Kantenmodell besteht das Objekt nur aus seinen Kanten. Bei einem Flächenmodell ist nur die Oberfläche des Körpers vorhanden, innen ist er hohl. Bei einem Volumsmodell ist der Körper innen voll. 15 Ergänze die drei Bilder eines Würfels. Achte dabei auf die Lagebeziehungen der Kanten. Kantenmodell Flächenmodell, vorne offen Volumsmodell 16 Diskutiert und kreuzt an, bei welchen der folgenden Beispiele es besonders wichtig ist, dass das Seil oder die Leine gerade gespannt ist. Leine zum Wäscheaufhängen Seil, über das ein Artist balanciert Hundeleine beim Spazierengehen mit dem Hund Seil, mit dem ein Campingzelt befestigt wird Sicherungsseil beim Klettern Eine Strecke ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt ist. Beispiele dafür sind die Kanten vieler Körper. Ein Strahl ist eine gerade Linie, die durch einen Punkt begrenzt ist und auf der anderen Seite unbegrenzt ist. Beispiel dafür ist der Zahlenstrahl, der bei 0 beginnt und die positiven Zahlen darstellt. Eine Gerade ist eine auf beiden Seiten unbegrenzte gerade Linie. Beispiel dafür ist die Zahlengerade, mit der sowohl positive als auch negative Zahlen dargestellt werden. TIPP Von Strahlen oder Geraden lässt sich jeweils nur ein Teil darstellen, weil sie unbegrenzt sind. Arbeitsblatt n247wp Arbeitsblatt n2hy6x Erklärvideo my76d6 Arbeitsheft Seite 5 Arbeitsheft Seite 5 Wichtige Definitionen und Erklärungen sind gelb hervorgehoben. Anregung Zusätzliche Vorschläge Hinweis Weiterführende Informationen zum Thema Verweise auf die passenden Seiten im Arbeitsheft Tipp(s) zum Lösen der Aufgabe Erinnere dich Vorwissen aus dem Mathematikunterricht Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Inhaltsverzeichnis 1 Die Welt der Geometrie 4 2 Geometrische Objekte 6 3 Räumliches Koordinatensystem 14 4 Projektionen 16 5 Transformationen 20 6 Boolesche Operationen 26 7 Modellieren mit CAD 28 8 Frontalriss 30 9 Grundriss, Aufriss, Kreuzriss 34 10 Horizontalriss 40 11 Prisma und Pyramide 44 12 Drehzylinder, Drehkegel, Kugel 50 13 Ellipse 54 14 Perspektive 56 15 Projekte 62 16 Übersicht 63 Ausschneidebögen I bis IV Buchmitte Brücke in Bilbao, Spanien Bergisel-Schanze in Innsbruck Opernhaus in Sydney, Australien Theseustempel in Wien Android iOS QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der AppMedienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. Folgende Inhalte sind in der QuickMedia App zu finden: • Erklärvideos • Quiz • LearningApps Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen. Galileo Galilei, 1564–1642 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Die Welt der Geometrie 1 1.1 Einstieg – die Welt der Geometrie 1 Das unten abgebildete Spiel heißt Sogo. Zwei Personen setzen dabei abwechselnd Kugeln auf Stäbe. Wer zuerst 4 Kugeln (waagrecht, lotrecht oder diagonal) in eine gerade Reihe bringt, hat gewonnen. Überlegt: „Schwarz“ ist am Zug. Wohin muss „Schwarz“ die Kugel stecken, um zu gewinnen? Wenn „Schwarz“ seine Chance übersieht, hat „Weiß“ beim nächsten Zug zwei Möglichkeiten zu gewinnen. Findet ihr sie? 2 Ein Schulgebäude wird geplant. 1.Ein Blick in die Welt des Geometrischen 4 y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3 x4 Ü1 Bei dem dargestellten Spiel mit dem Namen Sogosetzen 2 Spieler abwechselnd Kugeln auf Stäbe. Gewonnen hat, wem es zuerst gelingt, 4 Kugeln in eine Gerade zu bringen (waagrecht, senkrecht oder diagonal). Überlege: „Schwarz“ ist am Zug. Wohin muss „Schwarz“ die Kugel stecken, um zu gewinnen? Wenn „Schwarz“ seine Chance übersieht, könnte „Weiß“ beim nächsten Zug gewinnen. Wieso? Dieses Spiel (mit 16 Stäbchen und je 32 schwarzen und weißen Kugeln) könntest du selber herstellen. Es hilft dir, dein räumliches Vorstellungsvermögen zu trainieren. Gerade beim geometrischen Zeichnen kommt es oft darauf an, „räumlich zu denken“. Eine Hauptaufgabe des Zeichnens ist es nämlich, räumliche Objekte abzubilden. Es kommt dabei auf Ideenreichtumsowie auf genaue und saubere Ausführung an, wie dir die folgenden Beispiele aus verschiedenen Bereichen zeigen sollen: PLANUNG EINER SCHULE Lageplan 1 Eine Skizze zeigt das ungefähre Aussehen des Eingangsbereiches. 2 Die Architektin zeichnet den Plan mittels Computer. 3 Das räumliche Modell ist durch nichts zu ersetzen. 4 Geometrische-Bilder 3+4 neu 18.07.2004 13:32 Uhr Seite 4 1.Ein Blick in die Welt des Geometrischen 4 y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3 x4 Ü1 Bei dem dargestellten Spiel mit dem Namen Sogosetzen 2 Spieler abwechselnd Kugeln auf Stäbe. Gewonnen hat, wem es zuerst gelingt, 4 Kugeln in eine Gerade zu bringen (waagrecht, senkrecht oder diagonal). Überlege: „Schwarz“ ist am Zug. Wohin muss „Schwarz“ die Kugel stecken, um zu gewinnen? Wenn „Schwarz“ seine Chance übersieht, könnte „Weiß“ beim nächsten Zug gewinnen. Wieso? Dieses Spiel (mit 16 Stäbchen und je 32 schwarzen und weißen Kugeln) könntest du selber herstellen. Es hilft dir, dein räumliches Vorstellungsvermögen zu trainieren. Gerade beim geometrischen Zeichnen kommt es oft darauf an, „räumlich zu denken“. Eine Hauptaufgabe des Zeichnens ist es nämlich, räumliche Objekte abzubilden. Es kommt dabei auf Ideenreichtumsowie auf genaue und saubere Ausführung an, wie dir die folgenden Beispiele aus verschiedenen Bereichen zeigen sollen: PLANUNG EINER SCHULE Lageplan 1 Eine Skizze zeigt das ungefähre Aussehen des Eingangsbereiches. 2 Die Architektin zeichnet den Plan mittels Computer. 3 Das räumliche Modell ist durch nichts zu ersetzen. 4 Geometrische-Bilder 3+4 neu 18.07.2004 13:32 Uhr Seite 4 1 Lageplan der Schule 2 Skizze des Eingangsbereichs 3 Räumliches Modell Besprecht und notiert, welcher der folgenden Sätze zu welchem Bild gehört. Bild A Die Form und gegenseitige Lage der Baukörper sollen von allen Seiten gut erkennbar sein. B Es wird gezeigt, wie die Teile des Gebäudes auf dem Grundstück angeordnet sind. C Eine gute Idee wurde freihändig zu Papier gebracht. Hinweis Die zweidimensionale Variante des Spiels ist unter dem Namen „4 gewinnt” bekannt. Beim geometrischen Zeichnen werden meist räumliche Objekte analysiert, bearbeitet und abgebildet. Es kommt dabei auf das „räumliche Denken“ an. y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3 x4 Eingangsbereich des fertigen Schulgebäudes Hinweis Skizzen werden freihändig zu Papier gebracht. Dynamisches Modell (zu 1) n3q958 Arbeitsheft Seite 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 3 In Architektur, Design und Kunst sind geometrische Formen allgegenwärtig. Schreibe unter jedes Bild, welche geometrischen Körper du erkennst. Haashaus am Stephansplatz in Wien Wandleuchte in einem Lokal Denkmal „Makrokern 170“ in Würzburg (Deutschland) 4 a) Auch beim Sport spielt die Geometrie eine wichtige Rolle. Gebt an, welcher geometrische Körper ein Eishockeypuck bzw. ein Tennisball ist. Besprecht, warum es nicht zweckmäßig wäre, beim Tennis einen Puck oder beim Eishockey einen Ball zu verwenden. 5 In der Bionik werden (geometrische) Formen aus der Biologie für die Technik nutzbar gemacht. 5 1.Ein Blick in die Welt des Geometrischen Geometrische Formen in der Kunst: Der Schweizer Künstler Max Bill schuf 1967 eine Plastik aus Kugelteilen und nannte sie „Strebende Kräfte einer Kugel“. GEOMETRIE IN NATUR UND TECHNIK Geometrische Formen bei einem Gebrauchsgegenstand (Zuckerbehälter) und in der Architektur (Kuppel am Gebäude des Deutschen Reichstags in Berlin) Ü2 Auf dem linken Foto siehst du vier Tennisbälle, die zu einer „Pyramide“ angeordnet sind. Aus wie vielen Bällen besteht die „Pyramide“ auf dem rechten Foto? Wie viele Bälle braucht man, um die „Pyramide“ um eine weitere Schicht höher zu machen? Schneckenhaus Suchen einer möglichst funktionsgerechten und ästhetischen Form mit Hilfe des Computers Geometrische-Bilder 3+4 neu 18.07.2004 13:32 Uhr Seite 5 Konstruktion eines Schneckenhauses Schnitt eines Schneckenhauses Schaufelrad Recherchiere mit Hilfe des Onlinelexikons Wikipedia weitere Beispiele zur Bionik. b) Wie viele Tennisbälle sind auf den beiden Bildern jeweils „pyramidenförmig“ angeordnet? Wie viele Bälle bräuchte man, um die „Pyramide“ noch um eine weitere Schicht zu vergrößern? Quiz my7q4m Dynamisches Modell (zu 4 b)) dp24ur Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 Geometrische Objekte 2 2.1 Räumliche Objekte 6 Schreibe unter jedes Bild den richtigen Namen. Ergänze, ob der Körper gerollt oder um eine Kante gekippt werden kann. Skizze Name Rollen oder Kippen 7 In der Umgebung kannst du geometrische Körper oder Teile davon entdecken. Notiere, welche Körper du auf den Fotos sehen kannst. 8 Diskutiert die folgenden Aussagen und kreuzt an: 1. Ein Kegel kann gerollt werden. ja nein 2. Eine Pyramide hat parallele Seitenkanten. ja nein 3. Ein Zylinder kann gekippt werden. ja nein 4. Die Kanten eines Würfels sind gleich lang. ja nein 5. Die Grundfläche eines Prismas ist immer ein Dreieck. ja nein 6. Ein Würfel ist ein spezieller Quader. ja nein 7. Eine Kugel kann gekippt werden. ja nein 9 Am Foto siehst du das Modell eines Würfels. Ergänze, aus welchen geometrischen Körpern es gebaut wurde: Die Kanten des Würfels sind Die Eckpunkte des Würfels sind Kreuze an, wie viele Bohrungen in den Kugeln insgesamt gemacht werden mussten, um das Modell zu bauen: 8 16 24 32 Erinnere dich … Im Unterricht hast du bisher von vielen geometrischen Körpern gelernt und ihre Eigenschaften erfahren. Alphabetisch geordnet sind das: Kegel, Kugel, Prisma, Pyramide, Quader, Würfel und Zylinder. Hinweis Dieser Ring tritt in der Praxis auch manchmal auf und wird in der Fachsprache „Torus“ genannt: Wegen der Temperaturänderungen müssen Brücken beweglich gelagert werden. So sieht ein Lager bei der Donaubrücke in Krems (NÖ) aus. Arbeitsheft Seite 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 10 Auf jedem Foto könnt ihr mehrere geometrische Körper oder Teile davon erkennen. Kreuzt an: Bürogebäude Müllverbrennung Bahnhof Würfel Quader Prisma Pyramide Zylinder Kegel Kugel Torus Würfel Quader Prisma Pyramide Zylinder Kegel Kugel Torus Würfel Quader Prisma Pyramide Zylinder Kegel Kugel Torus Großdruckerei Industriegebiet Hafengelände Würfel Quader Prisma Pyramide Zylinder Kegel Kugel Torus Würfel Quader Prisma Pyramide Zylinder Kegel Kugel Torus Würfel Quader Prisma Pyramide Zylinder Kegel Kugel Torus 11 Neben diesen einfachen geometrischen Körpern gibt es viele weitere. Oft sind komplexe Objekte aus einfachen zusammengesetzt. Als Beispiel siehst du hier einige Drehkörper, wie sie als Schachfiguren verwendet werden könnten. Welches der Bilder 1 bis 4 gehört zu welchem der darunter abgebildeten Werkstücke A, B und C? Ordne zu. Schachfiguren sind typische Beispiele für Drehkörper. Werkstück A Werkstück B Werkstück C 1 2 3 4 Arbeitsblatt mz973i Arbeitsheft Seite 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Geometrische Objekte 2 2.2 Vielecke, Körper, Modellarten Die Oberfläche vieler Körper besteht aus ebenen Figuren. Meist werden sie nach der Anzahl ihrer Eckpunkte benannt, zB Dreieck, Viereck, Sechseck. Allgemein werden sie als Vielecke bezeichnet. Über regelmäßige Vielecke erfährst du auf den Seiten 12 und 13 mehr. 12 a) Ordnet die Begriffe den Bildern zu, indem ihr sie durch Linien verbindet. Unterstreicht Vielecke rot und räumliche Objekte blau. Quader Pyramide Quadrat Dreieck Sechseck dreiseitiges Prisma b) Erklärt die Unterschiede zwischen einem Quadrat und einem Quader. 13 Die Oberfläche vieler Körper besteht aus Vielecken. Meist sind nicht alle sichtbar. Trage jeweils die Anzahl aller in Wirklichkeit vorkommenden Vielecke ein. TIPP Beachte, dass die Bilder der Vielecke meist verzerrt sind. quadratischer Pyramidenstumpf regelmäßiges sechsseitiges Prisma Würfel mit abgeschnittenen Ecken Dreiecke Rechtecke Trapeze Quadrate Parallelogramme Quadrate Trapeze regelm. Sechsecke rechtw. Dreiecke Deltoide Fünfecke gleichseit. Dreiecke 14 Eine prismenförmige Schachtel kann um ihre Kanten gekippt werden. Diskutiert und kreuzt an: richtig falsch Die Kanten eines Prismas sind Strecken, an denen zwei Flächen des Körpers zusammenhängen. Die Kanten eines Prismas sind Strecken, die zwei Eckpunkte verbinden. Die Kanten eines Prismas sind Strecken, die immer rechte Winkel bilden. Diese dekorative Schachtel hat die Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas. Anregung Bringt Schachteln mit besonderen geometrischen Formen mit. Überlegt, um welche Körper es sich handelt. Untersucht, aus welchen Formen die Oberflächen bestehen. Hinweis Zwei Kanten eines Körpers können einen Schnittpunkt haben, parallel oder windschief sein. Die Lage windschiefer Kanten ist besser erkennbar, wenn die hintere Linie beim Zeichnen ein wenig unterbrochen wird. schneidende Kanten parallele Kanten windschiefe Kanten Arbeitsblatt n247wp Arbeitsheft Seite 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Aus magnetischen Elementen lassen sich Modelle bauen: Elemente zum Bauen eines Würfels Kantenmodell eines Würfels Flächenmodell eines Würfels Ein Körper kann auf verschiedene Weise gebaut sein: Bei einem Kantenmodell besteht das Objekt nur aus seinen Kanten. Bei einem Flächenmodell ist nur die Oberfläche des Körpers vorhanden, innen ist er hohl. Bei einem Volumsmodell ist der Körper innen voll. 15 Ergänze die drei Bilder eines Würfels. Achte dabei auf die Lagebeziehungen der Kanten. Kantenmodell Flächenmodell, vorne offen Volumsmodell 16 Diskutiert und kreuzt an, bei welchen der folgenden Beispiele es besonders wichtig ist, dass das Seil oder die Leine gerade gespannt ist. Leine zum Wäscheaufhängen Seil, über das ein Artist balanciert Hundeleine beim Spazierengehen mit dem Hund Seil, mit dem ein Campingzelt befestigt wird Sicherungsseil beim Klettern Eine Strecke ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt ist. Beispiele dafür sind die Kanten vieler Körper. Ein Strahl ist eine gerade Linie, die durch einen Punkt begrenzt ist und auf der anderen Seite unbegrenzt ist. Beispiel dafür ist der Zahlenstrahl, der bei 0 beginnt und die positiven Zahlen darstellt. Eine Gerade ist eine auf beiden Seiten unbegrenzte gerade Linie. Beispiel dafür ist die Zahlengerade, mit der sowohl positive als auch negative Zahlen dargestellt werden. TIPP Von Strahlen oder Geraden lässt sich jeweils nur ein Teil darstellen, weil sie unbegrenzt sind. Arbeitsblatt n2hy6x Erklärvideo my76d6 Arbeitsheft Seite 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 Geometrische Objekte 2 2.3 Grundlagen zum Konstruieren Unterschiedliche Linienbreiten und Linienarten helfen, den räumlichen Eindruck eines Bildes zu verdeutlichen. 17 Der links abgebildete Würfel ist oben offen. Ziehe die Linien so nach, dass dies erkennbar wird (wie im Hinweis links erklärt). Der rechte Würfel ist vorne offen. Ziehe die Linien entsprechend nach. TIPPS Achte auf gespitzte Stifte und auf gleichbleibende Linienbreite. Drücke nicht fest auf, sonst gravierst du eine Vertiefung ins Blatt. Dann kannst du die Linien nur schwer wegradieren, falls dies notwendig sein sollte. Benütze einen sauberen Radierer, der deine Zeichnung nicht verschmiert. Breite Volllinie Verwende für solche Linien einen weichen Bleistift oder Feinminenstift (zB vom Härtegrad HB). Mittelbreite, strichlierte Linie Verwende einen Bleistift oder Feinminenstift mit mittlerem Härtegrad (zB H oder 2H). Schmale Volllinie Verwende einen härteren Bleistift oder Feinminenstift (zB 3H). Zur übersichtlichen Beschriftung von technischen Zeichnungen gibt es eine einheitliche Schrift, die sogenannte Normschrift. Hinweis Sichtbare Kanten werden mit breiten Volllinien (dh. durchgehend) gezeichnet. Verdeckte Kanten werden meist mit mittelbreiten strichlierten Linien ausgeführt. Anregung Färbe die Würfelbilder so, dass die räumliche Wirkung deutlicher wird. Verwende dazu jeweils drei Farben. Färbe gleichmäßig und nicht zu kräftig. ca. 4 mm ca. 1 mm Hinweis Auch beim Konstruieren mit einem CAD-Programm kannst du unterschiedliche Linienbreiten und Linienarten einstellen. ÄBCDEFGHIJKLMNÖPQRSTÜVWXYZ äbcdefghijklmnöpqrstüvwxyzß 0123456789 Großbuchstaben: Ziffern: Kleinbuchstaben: Arbeitsblatt n2v6u4 Arbeitsheft Seite 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 2.4 Bemaßung Planausschnitt: Pelletsheizung Eine technische Zeichnung dient zur Weitergabe von Informationen, zB von Maßangaben. Damit diese richtig und eindeutig “gelesen“ werden können, müssen beim Erstellen, Beschriften und Bemaßen der Zeichnung Regeln eingehalten werden: Durchmesser- und Radiusangaben: 18 Welche der Bemaßungen entsprechen nicht den oben angeführten Regeln? Begründet. 19 Diese Werkzeichnung zeigt eine Standuhr von vorne im Maßstab 1:5. Für das Anfertigen der Uhr soll die Zeichnung fertig bemaßt werden. ø950 1000 150 3200 1110 485 120 1650 1100 650 A Maßlinie (schmale Volllinie, parallel zur gemessenen Strecke) Maßzahl (steht immer oberhalb der Maßlinie, möglichst in der Mitte) Maßpfeil Maßhilfslinie 40 30 16 24 ø4 R11 26 R15 R10 R10 Maße sind beim Planen notwendig. 22 30 22 30 22 30 Hinweis Eine Werkzeichnung ist die Grundlage für die Herstellung eines Werkstückes. Bei der Bemaßung werden die Maße immer in wirklicher Größe angegeben. Arbeitsheft Seite 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Geometrische Objekte 2 2.5 Regelmäßige Vielecke 20 Das Verkehrszeichen links hat die Form eines Dreiecks. a) Sprecht darüber, was dieses Zeichen bedeutet und wo es meist angebracht ist. b) Sprecht über das Dreieck. Welche besonderen Eigenschaften hat es? 21 Konstruiere ein Dreieck wie in Aufgabe 20: Beginne mit der Strecke AB und wähle dafür selbst eine passende Länge. Überlege, wie du die Kreisbögen zeichnen musst, um zum Eckpunkt C zu gelangen. Zeichne das Dreieck und gestalte die Figur zu einem Verkehrszeichen aus. 22 Recherchiert, zu welcher Art von Verkehrszeichen die dreieckigen Schilder gehören. Kreuzt an: Hinweiszeichen Gebotszeichen Verbotszeichen Gefahrenzeichen 23 Es gibt nur ein dreieckiges Verkehrszeichen, bei dem die Spitze nach unten zeigt. a) Recherchiere, wie dieses Verkehrszeichen genau aussieht und was es bedeutet. b) Konstruiere ein Dreieck mit gleich langen Seiten, bei dem der Eckpunkt C unterhalb der Seite AB liegt. 24 Die Figur links stellt einen sechseckigen Spiegelrahmen dar. Alle Seiten des Sechsecks sind gleich lang. Überlegt, warum das Sechseck trotzdem nicht regelmäßig ist. Welche Eigenschaft müsste noch vorliegen, damit das Sechseck regelmäßig wäre? Ein Vieleck ist regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und die Winkel in jeder Ecke gleich groß sind. 25 Vierecke mit besonderen Eigenschaften haben eigene Bezeichnungen, zB Trapez, Rechteck. Nennt abwechselnd weitere besondere Vierecke und skizziert sie. Überlegt, welche Vierecke regelmäßig sind. 26 In der Figur links ist in einem Quadrat ein blau gezeichnetes Achteck zu sehen. a) Konstruiert ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 7cm. Überlegt mit Hilfe der Figur links, wie ihr in dieses Quadrat das Achteck konstruieren könnt. Notiert die einzelnen Arbeitsschritte in kurzer Form und führt sie durch. b) Messt bei euren Achtecken alle Seitenlängen. Was stellt ihr fest? Wie groß sind die Winkel in jeder Ecke des Achtecks? Um welche Art von Achteck handelt es sich? A B C Eine Stopptafel hat die Form eines regelmäßigen Achtecks. M Arbeitsheft Seite 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 27 Rechts ist ein Kreis mit dem Radius 40 mm vorgegeben. Ein Durchmesser ist eingezeichnet. a) Ergänze die Figur zu einem Sechseck: Stich mit dem Zirkel in den Endpunkten des Durchmessers oben und unten ein und zeichne jeweils einen Kreisbogen durch M bis zur Kreislinie. Verbinde die Endpunkte des Durchmessers und der Kreisbögen zu einem Sechseck. b) Miss alle Seitenlängen des Sechsecks ab. Was stellst du fest? c) Je zwei Seiten des Sechsecks bilden einen Winkel. Miss alle sechs Winkel. Was stellst du fest? Konstruiere selbständig ein Sechseck wie in Aufgabe 27: Zeichne einen Kreis mit dem Radius 50 mm und den senkrechten Durchmesser. Gehe dann wie in 27 vor. Verbinde wie im Bild drei Eckpunkte mit dem Mittelpunkt. Welches räumliche Objekt erkennst du in diesem Bild? 29 Wird eine Ebene mit (deckungsgleichen) Figuren lückenlos ausgelegt, so spricht man von einer Parkettierung. Vervollständige die Parkettierung freihändig im Gitter. Beginne jeweils mit einem regelmäßigen Sechseck und ergänze es zu einem Würfelbild. Gestalte jedes Würfelbild sorgfältig mit drei Farben. M 28 Aus Würfelbildern aufgebaute Grafik Anregung Der ungarische Künstler Viktor Vasarely (1908–1996) hat Kunstwerke ähnlichen Stils geschaffen. Informiere dich im Internet über Viktor Vasarely und erstelle eine Collage mit einigen seiner Werke. Zeichenaufgabe n2vw5e Quiz n2z5ry Arbeitsheft Seite 8, 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 Räumliches Koordinatensystem 3 30 In den Bildern ist jeweils ein Waschtisch dargestellt. Welche geometrischen Objekte sind erkennbar? Wie lässt sich die Lage des Waschtisches im Raum mit Hilfe von Boden, Wänden und Kanten beschreiben? Auf welche Schwierigkeiten stößt man? Diskutiert in der Klasse. Zur Angabe der Lage eines Punktes verwendet man ein räumliches Koordinatensystem. Dieses besteht aus den drei Achsen x, y und z. Je zwei Achsen bilden einen rechten Winkel. Der gemeinsame Schnittpunkt heißt Koordinatenursprung (0). Die Lage eines Punktes P im Raum kann durch drei Zahlen (Koordinaten) festgelegt werden. Man schreibt: A (3 | 4 | 5) = A (xA | yA | zA) Die Koordinaten xA, yA, zA geben die Länge von Strecken an, die zu den Achsen parallel sind. Dabei wählt man geeignete Einheiten. 31 Gib die ungefähren Koordinaten des roten Bechers B in der Zeichnung zu Aufgabe 30 an. Verwende die eingezeichneten Achsen und als Einheit die Seitenlänge einer Fliese. 32 Koordinatenspiel Bestimmt eine Ecke eures Klassenraums als Koordinatenursprung. Mehrere Kinder werden anschließend aus der Klasse geschickt. Die übrigen legen gemeinsam markante Punkte im Klassenraum und eine passende Längeneinheit fest. Die x- und die y-Koordinate werden zB abgeschritten, die Höhe muss geschätzt werden. Die Koordinaten werden notiert. Die hinausgeschickten Kinder werden geholt und sollen nun die Punkte mit Hilfe der Koordinaten finden. Erinnere dich … Du kannst die Lage von Punkten in einer Ebene mittels Koordinaten bestimmen, zB P (3 | 2). Ebenso kann man die Lage eines Punktes im Raum festlegen. y x 0 1 1 P(3|2) Hinweis Einen Streckenzug vom Ursprung 0 zum Punkt A nennt man Koordinatenweg, wenn er aus Strecken besteht, die jeweils parallel zu einer Achse liegen. Koordinatenwege für Gas- bzw. Wasserhauptanschlüsse dienen dazu, diese rasch zu finden. x y 0 z x 3 y 4 0 A(3|4|5) z 5 Arbeitsblatt n357r4 Dynamisches Modell n32n7u Arbeitsheft Seite 10, 11, 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 x y z 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 5 A( | | ) G( | | ) H( | | ) F( | | ) E( | | ) D( | | ) 0 B( | | ) C( | | ) 33 Zwei Quader liegen auf der xy-Ebene. Setze die Koordinaten der Eckpunkte, auf die die Pfeile zeigen, ein. 34 In der Zeichnung ist der Punkt A eingetragen. a) In der Tabelle sind die Koordinaten weiterer Punkte angegeben. Sind diese Punkte Eckpunkte des Körpers? Wenn ja, beschrifte sie in der Zeichnung. b) Alle Punkte der rot gefärbten Fläche haben die x-Koordinate 4. Suche im Bild die Fläche, auf der alle Punkte die x-Koordinate 6 haben, und färbe sie auch rot. Färbe ebenso die Fläche mit: y-Koordinate 4 1 grün, z-Koordinate 2 1 hellblau, z-Koordinate 4 1 dunkelblau x z A(6|4|2) y 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 A (6 | 4 | 2) ja B (4 | 4 | 2) C (3 | 3 | 0) D (4 | 8 | 0) E (0 | 7 | 4) F (0 | 4 | 4) 35 In der Mitte des Buches findet ihr die Ausschneidebögen I und III zur Herstellung einer Raumecke und eines Hausmodells. Baut das Hausmodell und stellt es in die gefaltete Raumecke. Fragt in Partnerarbeit nach den Koordinaten einzelner Eckpunkte. LearningApp n3ea54 Arbeitsblatt n3ey5s Arbeitsheft Seite 10, 11, 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 Projektionen 4 4.1 Vom Raumobjekt zum Bild Ein räumliches Objekt wird durch Projektion auf eine Ebene abgebildet. 36 Zeichne den Schatten der Buchstaben bei Sonneneinstrahlung. Da die Sonne sehr weit entfernt ist, sind ihre Strahlen praktisch parallel zueinander. Deshalb ist Sonnenlicht ein Beispiel für eine Parallelprojektion. Bei einer Parallelprojektion wird ein Objekt mittels paralleler Strahlen auf eine Ebene abgebildet. Das Ergebnis einer Parallelprojektion nennt man „Parallelriss“, manchmal auch „Schrägriss“. Die Bilder paralleler Kanten sind wieder parallel. Diese Eigenschaft heißt „parallelentreu“. 37 Am Abend beleuchtet ein Scheinwerfer L die Buchstabengruppe. Die Lichtstrahlen sind nicht mehr parallel zueinander. Zeichne den Schatten. Ist diese Abbildung auch parallelentreu? Begründe. Bei einer Zentralprojektion gehen die Strahlen, durch die ein Objekt abgebildet wird, von einem Punkt (Zentrum, Augpunkt) aus. Das Ergebnis der Projektion nennt man „Zentralriss“ oder „Perspektive“. Schatten eines Geländers bei Sonneneinstrahlung in Venedig (Italien) Hinweis Beispiele für Parallelrisse sind Axonometrien, Frontalrisse, Horizontalrisse, Grund-, Auf- und Kreuzrisse. Du wirst sie demnächst kennenlernen. L Der Schatten eines Bildes bei Beleuchtung mit einer Lampe entspricht einem Zentralriss. Hinweis Zentralrisse entstehen auch beim Fotografieren oder näherungsweise beim menschlichen Sehen. Ihre Eigenschaften werden im Kapitel 14 genauer beschrieben. Dynamisches Modell (zu 36, 37) n3ih2t Arbeitsheft Seite 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 4.2 Axonometrie Aus Holzstäben wurde ein Modell des räumlichen Koordinatensystems angefertigt. Durch eine allgemeine Parallelprojektion entsteht ein Bild, bei dem alle drei Achsen unterschiedlich verzerrt sind. So ein Bild heißt (allgemeine) Axonometrie. Parallelrisse von Punkten und Geraden werden meist durch ein hochgestelltes p gekennzeichnet. 38 Ein Objekt besteht aus vier Würfeln. a) Analysiere, wieso auf dem Foto unten nur drei Würfel zu sehen sind. Wo liegt der vierte Würfel? b) Einer der Würfel ist in Axonometrie dargestellt. Ergänze das Bild des links vorne liegenden Würfels mittels der Hilfslinien. Konstruiere ebenso die Bilder des Würfels rechts vorne und des Würfels oben. Ziehe die sichtbaren Kantenbilder mit einem weichen Bleistift nach. TIPPS Mit xp bezeichnet man den Parallelriss der x-Achse. Jede Hilfslinie hat bereits die erforderliche Länge. Parallele Kanten haben parallele Bilder. Eine Stiege besteht aus zwei Stufen. Einige Kantenbilder sind vorgegeben. Vervollständige die Bilder der fehlenden Kanten. Achte auf parallele Linien. Färbe die Bilder jener Flächen, auf die man jeweils den Fuß setzt. So könnte dein Bild aussehen: xp yp zp xp yp zp 39 xp yp zp Zeichenaufgabe n3jf92 Arbeitsheft Seite 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 Projektionen 4 40 Ein Gebäude besteht aus acht würfelförmigen Teilen. Die vorgegebenen Quadratbilder stellen die Grundfläche des Objekts dar. Jede der Zahlen gibt an, wie viele Würfel übereinander liegen. Das Bild einer lotrechten Würfelkante ist bereits vorgezeichnet. Vervollständige die Bilder aller Würfel. Ziehe sichtbare Kanten stärker nach. Bei einer Axonometrie sind Winkel und Strecken (im Allgemeinen) verzerrt. Während je zwei Koordinatenachsen in Wirklichkeit einen rechten Winkel bilden, schließen ihre Bilder meist andere Winkel ein. Strecken auf einer der Koordinatenachsen oder parallel dazu werden mit dem gleichen Faktor verzerrt. Die Verzerrungsfaktoren für die drei Achsen sind meist verschieden. 41 Untersuche die in Axonometrie dargestellten Würfelkörper. Kreuze an, bei welchen der drei Paare beide Körper gleich sind. 42 Bei einem Puzzle soll ein Würfel gebaut werden. Überlege, welcher der Teile A, B oder C zusammen mit dem färbigen Teil einen Würfel ergibt. Färbe diesen Teil so, dass der Würfel außen blau und innen gelb ist. Anregung So könnte das Würfelgebäude aussehen. Du könntest es zuerst aus geeigneten Würfelmodellen bauen. Hinweis Manche CAD-Programme stellen die modellierten Objekte zunächst in Axonometrie dar, andere in Perspektive. zp xp yp 1 1 1 3 2 Hinweis Übungen wie 41 und 42 trainieren dein räumliches Vorstellungsvermögen. Solche Aufgaben werden bei vielen Aufnahmetests gestellt. 1 2 3 Teil A Teil B Teil C Arbeitsheft Seite 14, 15, 16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 4.3 Isometrie Jeder Würfel ist von sechs Quadraten begrenzt. In dem Würfelbild rechts sind drei davon als deckungsgleiche Rauten dargestellt. Wie solche Bilder aus regelmäßigen Sechsecken gezeichnet werden können, ist auf Seite 13 erklärt. Eine Isometrie („iso“ bedeutet „gleich“) ist eine besondere Axonometrie: Alle drei Koordinatenachsen sind gleich verzerrt. Je zwei Achsenbilder schließen 120° ein. 43 a) Analysiere die Lage der drei Würfel im Bild links unten. Streiche bei jedem der folgenden beiden Sätze das falsche Wort durch: Die Würfel 1 und 2 liegen untereinander/nebeneinander. Die Würfel 1 und 3 liegen übereinander/hintereinander. b) Was ist bei dem Bild bewusst falsch gezeichnet, sodass die Anordnung real unmöglich ist? c) Gestalte das Bild in der Mitte so, dass die Lage der Würfel möglich ist: Die Würfel 1 und 2 sollen wieder nebeneinander liegen. Würfel 3 soll hinter Würfel 2 liegen, aber nicht mehr über Würfel 1. Ziehe die sichtbaren Kanten mit einem weichen Bleistift nach und gestalte das Bild mit drei Farben. Der schwedische Grafiker Oscar Reutersvärd (1915–2002) hat eine unmögliche Figur mit neun Würfeln gezeichnet. Man nennt so eine Zeichnung Impossibile oder Impossible. 44 Begründe, warum die Figur links unten unmöglich ist. Ziehe die Linien der rechten Figur mit einem weichen Bleistift so nach, dass das Objekt möglich ist. Im 3D-Museum in Dinkelsbühl (Deutschland) kann man die Entstehung eines Impossibile nachvollziehen. Die drei Balken sehen von einem bestimmten Standpunkt aus wie ein unmögliches Dreieck. xp yp zp 2 1 3 LearningApp n3np7i Zeichenaufgabe n3ti3m Arbeitsblatt n3v8rf Arbeitsheft Seite 17, 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 Transformationen 5 5.1 Schiebung 45 Der rote Würfel soll auf die beiden durchsichtigen gesetzt werden, damit eine Treppe entsteht. Kurt schlägt vor, den roten Würfel zunächst um 3 Einheiten gegen die x-Richtung zu schieben, dann um 2 Einheiten in y-Richtung und dann um 2 Einheiten in z-Richtung. Lisa meint, dass dies praktisch nicht möglich ist. Hat sie recht? 46 Mit welchen der folgenden Vorschläge ist obige Aufgabe praktisch durchführbar? Vorschlag 1: Helma schlägt vor, den roten Würfel zunächst in y-Richtung um 2 Felder, dann gegen die x-Richtung um 2 Felder, anschließend in z-Richtung ebenfalls 2 Felder und dann gegen die x-Richtung um 1 Feld zu verschieben. Vorschlag 2: Asmir würde den roten Würfel zuerst um 2 Felder in z-Richtung, dann um 3 Felder gegen die x-Richtung und schließlich 2 Felder in y-Richtung bewegen. Vorschlag 3: Isabell hat eine weitere Idee und schlägt vor, den roten Würfel zuerst um 3 Felder gegen die x-Richtung zu verschieben, dann um 2 Felder in z-Richtung und dann um 2 Felder in y-Richtung. 47 Der rote Würfel soll nun vom Feld P auf das Y-Feld transportiert werden. Welche der Schiebungen führt zum Ziel? A) 1 Feld in x-Richtung, 3 Felder in y-Richtung B) 2 Felder gegen die x-Richtung, 2 Felder in y-Richtung, 3 Felder in x-Richtung C) 2 Felder in y-Richtung, 1 Feld in x-Richtung Die einzelnen Bretter eines Parkettbodens haben gleiche Form und Größe. Bretter derselben Reihe können durch eine Schiebung auseinander hervorgehen. xp yp zp B C D E A G H I J F L M N O K R S T U P W X Y Z V Anregung Falls du geeignete Würfel (mit Kantenlänge 2 cm) hast, kannst du die Aufgaben 45, 46 und 47 auch in der Raumecke (Ausschneidebogen I) nachbauen. Hinweis Auf dieser und den nächsten Seiten erfährst du einiges zu Schiebung, Drehung, Spiegelung und Streckung. Diese werden als Transformationen bezeichnet. Damit können Grundkörper bewegt, verändert und komplexe neue Objekte erzeugt werden. Erklärvideo n448xi Arbeitsheft Seite 19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 48 In der Realität lassen sich Schiebungen auch ohne Koordinatensystem erkennen und festlegen. In welchen Bildern kannst du eine Schiebung erkennen? Skizziere Schiebepfeile ein. Führe die durch den Pfeil angegebene Schiebung zuerst gedanklich durch. Skizziere dann den neu entstandenen Körper darunter. Um die Sichtbarkeit zu verstärken, schattiere wie im Beispiel. Beispiel: a) b) Ein Würfelteil soll durch zwei Fräsungen hergestellt werden. Die zwei färbigen Quader sind „Werkzeuge“. Sie fräsen in der durch den Schiebepfeil angegebenen Richtung Teile des Würfels weg. Zeichne die dabei entstehenden Würfelschnitte. Gehe in der angegebenen Reihenfolge vor. Beispiel: 49 50 1 2 Ergebnis 1 Ergebnis 2 1 2 Ergebnis 1 Ergebnis 2 Erklärvideo n44wy9 Arbeitsheft Seite 19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
22 Transformationen 5 5.2 Drehung 51 Die beiden grünen Würfel sollen auf den blauen gesetzt werden. Dies wäre durch eine Schiebung möglich. Führt folgende Schiebung zum Ziel: 2 Felder in x-Richtung, dann 2 Felder gegen die y-Richtung? Lena schlägt vor, die grünen Würfel durch eine 90°-Drehung um die z-Achse an die gewünschte Position zu bringen. Ist es eine Drehung im oder gegen den Uhrzeigersinn? 52 Bertin hat das Hausmodell vom Ausschneidebogen III zusammengebaut und zwei Mal nacheinander auf die Raumecke (Ausschneidebogen I) gestellt. Durch welche Drehung kann die Veränderung erfolgt sein? Gib die Achse, den Drehwinkel und den Drehsinn an. Hinweis Eine Drehung im Raum wird durch eine Drehachse, einen Drehwinkel und einen Drehsinn angegeben. Folgende Bilder zeigen, wie der rote Quader seine Position nach Drehungen um die Achsen verändert. 90°-Drehung um die x-Achse: 90°-Drehung um die y-Achse: 90°-Drehung um die z-Achse: Der Drehsinn ergibt sich beim Blick gegen die Achsenrichtung wie folgt: 90° im Uhrzeigersinn (Schreibweise: –90°): 90° gegen den Uhrzeigersinn (Schreibweise: 90°): z x y z x y z x y z x y z x y xp yp zp B C D E A G H I J F L M N O K R S T U P W X Y Z V Arbeitsblatt n4d32w Arbeitsheft Seite 19, 20 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
23 53 In welchen Bildern kannst du eine Drehung erkennen? Skizziere das Drehzentrum bzw. die Drehachse ein. 54 Der unten skizzierte Körper wird jeweils um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Die Drehachse geht jeweils durch die Körpermitte. Führe die Drehung zuerst gedanklich durch und skizziere das gedrehte Objekt daneben. a) b) 55 Verwende die Objekte aus der Aufgabe 54 und bewege sie gedanklich so, dass die grauen Flächen unten sind. a) Skizziere die neue Lage des Objektes mit Hilfe des Isometriegitters. b) Beschreibe die Bewegung, die mit dem Objekt durchgeführt wurde. Folgende Fachbegriffe kannst du dazu verwenden: kippen, drehen, Kante, Fläche, Drehwinkel, Achse. + 90° + 90° Arbeitsheft Seite 20 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
24 Transformationen 5 5.3 Spiegelung 56 Das Bild zeigt drei Würfel und die Spiegelbilder der beiden blauen Würfel an der angedeuteten Spiegelebene. Ergänze in der Zeichnung das Spiegelbild des roten Würfels. Zeichne den Spiegelpunkt B1 von B ein. Gib die Koordinaten von A, A1, B und B1 an. A ( | | ) A1 ( | | ) B ( | | ) B1 ( | | ) 57 Spiegle das Objekt an der vorgegebenen Ebene und skizziere es in das Würfelgitter. Zeichne die Spiegelpunkte der Punkte A, B und C ein. Hinweis Spiegelungen werden im Raum meist an einer Spiegelebene ausgeführt. Ein Punkt A und sein gespiegelter Punkt A1 haben von der Spiegelebene denselben Abstand. Die Verbindungsstrecke AA1 steht normal auf die Spiegelebene. xp yp zp A1 A B Spiegelung im Wasser: Kloster Höglwörth (Bayern) A B C A B A1 B1 Beispiel für eine Spiegelung Die Griffe dieser Tür sind spiegelbildlich angebracht. Die Glastür ist die Spiegelebene. Arbeitsblatt n4ft9h Arbeitsheft Seite 21 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
25 5.4 Streckung Bei einer zentrischen Streckung wird die Größe eines Objekts verändert. Ein Punkt A und der durch die Streckung entstandene Punkt A1 liegen auf einem vom Streckzentrum Z ausgehenden Strahl. Ist der Streckfaktor größer als 1, erfolgt eine Vergrößerung. Ist der Faktor zwischen 0 und 1, erfolgt eine Verkleinerung. 58 Der blaue Würfel wird vergrößert und zwar mit dem Faktor 3. Gib die Koordinaten des Streckzentrums Z an: Z ( | | ) Beschrifte den Punkt A (5 | 0 |1) sowie den zugehörigen Punkt A1 in der Zeichnung. Gib die Koordinaten von A1 an: A1 ( | | ) 59 Der links unten vorgegebene Körper soll mit dem Faktor 2 vergrößert werden. Skizziere die Vergrößerung mit Hilfe des Isometriegitters. Zur Kontrolle verbinde die Eckpunkte des vergrößerten Körpers mit dem Streckzentrum Z. Alle Eckpunkte des ursprünglichen Körpers müssen ebenfalls auf den Strahlen liegen. 60 Entferne vom Quader rechts oberhalb einen Würfel mit Kantenlänge 2 Kästchen an beliebiger Stelle. Verkleinere den entstandenen Körper mit dem Faktor 0,5. Verwende dazu die Verbindungslinien der Eckpunkte zu Z und skizziere das verkleinerte Objekt. xp yp zp Z Z Z Quiz n4h5pm Arbeitsblatt n4zj3a Arbeitsheft Seite 21 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
26 6 Boolesche Operationen 61 Ein Siegespodest wurde aus sechs Quadern zusammengestellt. Ziehe mit einem weichen Bleistift die sichtbaren Kanten des Podests nach. Die Fugen brauchst du nicht nachzuziehen. Das Verbinden von Volumsmodellen zu einem Objekt wird Vereinigung genannt. Sie gehört wie Durchschnitt und Differenz zu den booleschen Operationen. Boolesche Operationen gibt es sowohl bei ebenen Figuren als auch bei räumlichen Objekten. Die ebenen Figuren müssen Flächen sein, die räumlichen Objekte Volumsmodelle. So sehen die booleschen Operationen am Beispiel von zwei Quadraten A und B aus. Die Ergebnisse sind gelb gefärbt: Vereinigung Durchschnitt Differenz A B A ∙ B Fläche, die zu A oder B gehört A ∩ B Fläche, die sowohl zu A als auch zu B gehört A \ B Fläche, die zu A und nicht zu B gehört B \ A Fläche, die zu B und nicht zu A gehört Boolesche Operationen am Beispiel von zwei Zylindern A und B: Vereinigung Durchschnitt Differenz A B A ∙ B Volumsmodell, das zu A oder B gehört A ∩ B Volumsmodell, das sowohl zu A als auch zu B gehört A \ B Volumsmodell, das zu A und nicht zu B gehört B \ A Volumsmodell, das zu B und nicht zu A gehört 62 Probiere mit einem CAD-Programm aus: Bei welcher booleschen Operation ist es wichtig, in welcher Reihenfolge die beiden Körper ausgewählt werden? Hinweis Eine (gerade) Kante entsteht, wenn zwei Flächen, die in verschiedenen Ebenen liegen, aufeinandertreffen. Eine Fuge entsteht, wenn zwei Flächen (zB Fliesen), die in derselben Ebene liegen, aufeinandertreffen. Die Fliesen an der Wand werden von Fugen begrenzt. Kanten Fuge 2 1 3 Hinweis Die booleschen Operationen sind nach dem englischen Mathematiker George Boole (1815–1864) benannt. Räumliche boolesche Operationen gibt es nur bei Volumsmodellen, nicht bei Flächen- oder Drahtmodellen. Viele CAD-Programme haben die booleschen Operationen als Befehle. Dieses Symbol für die Kreuzung zweier U-Bahnen in Wien besteht aus der Vereinigung zweier Würfel. Arbeitsblatt n529d3 Arbeitsheft Seite 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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